全国统考高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质1备考试题文含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是()(1)若函数y=f(x)在〖1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是〖1,+∞).(2)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1-x2)〖f(x1)-f(x2)〗>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6)若T为函数y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期.A.3 B.4 C.5 D.62.〖2019北京,3,5分〗〖文〗下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x12 B.y=2C.y=log12x D.y3.〖2019全国卷Ⅱ,6,5分〗〖文〗设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+14.〖2020山东,8,5分〗若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.〖-1,1〗∪〖3,+∞) B.〖-3,-1〗∪〖0,1〗C.〖-1,0〗∪〖1,+∞) D.〖-1,0〗∪〖1,3〗5.〖2021大同市调研测试〗已知函数f(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1)+3的最大值为5,则f(x)的最小值为(A.-5 B.1 C.2 D.36.〖2020福州3月质检〗已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称.给出以下关于f(x)的结论:①f(x)是周期函数;②f(x)满足f(x)=f(4-x);③f(x)在(0,2)上单调递减;④f(x)=cosπx2其中正确结论的个数是()A.4 B.3 C.2 D.17.〖2018江苏,9,5分〗函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2〗上,f(x)=cosπx2,0<x≤2拓展变式1.(1)函数f(x)=-x2-ax-(2)〖2016天津,13,5分〗已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是2.(1)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用〖x〗表示不超过x的最大整数,则y=〖x〗称为高斯函数.例如:〖-2.1〗=-3,〖3.1〗=3.已知函数f(x)=2x+31+2x+1,则函数y=〖f(x)A.(12,3) B.(0,2〗 C.{0,1,2}(2)已知函数f(x)=sinπx22x-1+2-3.〖新课标全国Ⅰ,5分〗设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数4.〖2021陕西模拟〗若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则()A.f(-2)<f(-3)<g(-1) B.g(-1)<f(-3)<f(-2)C.f(-2)<g(-1)<f(-3) D.g(-1)<f(-2)<f(-3)5.〖2021贵阳市摸底测试〗已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12).则f(8)=A.-2 B.-1 C.0 D.26.(1)〖2021山东新高考模拟〗已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)A.m+n>1 B.m+n<1C.m-n>-1 D.m-n<-1(2)〖2020广西师大附中4月模拟〗已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),当x∈(-1,1)时,f(x)=-x2+2x,0≤x<1,ax2+bx,-1<x答案第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质1.B对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1-x2)〖f(x1)-f(x2)〗>0⇔x1>x2,f(x1)>f(x2)或x1<x2,f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间D上是增函数,故(2)正确;对于(3),若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故(3)正确;对于(4),若函数y=f(x+b)是奇函数,则f2.A对于幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A正确;选项D中的函数y=1x可转化为y=x-1,所以函数y=1x在(0,+∞)上单调递减,故选项D不符合题意;对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递减,当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2-x可转化为y=(12)x,因此函数y=2-x在(0,+∞)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=log123.D解法一依题意得,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,选D.解法二依题意得,f(-1)=-f(1)=-(e1-1)=1-e,结合选项知,选D.4.D解法一由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为〖-1,0〗∪〖1,3〗,选D.解法二当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除A,C.故选D.5.B由题意可知,函数f(x)的定义域为R.令g(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1),则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+cln〖(-x)+(-x)2+1〗=-ax3-bsinx+cln(-x+x2+1)(x+x2+1)x+x2+1=-ax3-bsin所以函数g(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1)为奇函数又f(x)max=g(x)max+3=5,所以g(x)max=2,于是g(x)min=-2,所以f(x)min=g(x)min+3=-2+3=1,故选B.6.B因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又其图象关于点(1,0)对称,所以f(-x)=-f(2+x),则f(x+2)=-f(x),由此可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,所以①正确;f(-x)=f(x)=f(x+4),把x替换成-x可得f(x)=f(4-x),所以②正确;f(x)=cosπx2是定义在R上的偶函数,且(1,0)是它的图象的一个对称中心,所以④正确;不妨令f(x)=-cosπx2,此时f(x)满足题意,但f所以正确结论的个数是3.故选B.7.22因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以4为函数f(x)的周期.因为在区间(-2,2〗上,f(x)=cosπx2,0<x≤2,|x+12|,-1.(1)-3≤a≤-2由题意,得-a2≥1,(2)(12,32)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(-2),且f(-2)=f(2),所以-2<2|a-1|<2,则|a-1|<12,所以2.(1)Cf(x)=2x+31+2x+1=12(1+2x+1)+521+2x+1=1〖易错警示〗本题的易错点是没有理解取整的意思,求出函数的值域后就迫不及待地选择A,从而导致失分.有关此类新定义问题,一定要读懂新定义的含义,并看清题干中所举的例子的特征,才可有效避开此类错误.(2)12因为f(x)=sinπx22x-1+2-x+1,设f1(x)=2x-1+2-x+1,所以f1(x)=2x-1+12x-1≥22x-1·12x-1=2,当且仅当2x-1=12x-1,即x=1时取等号,即当x=1时,f1(x3.B因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选B.4.D因为函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex①,所以f(-x)+2g(-x)=e-x,即f(x)-2g(x)=e-x②.联立①②,解得f(x)=ex+e-x2,g(x)=ex-e-x4,所以f(-2)=5.D因为当x>12时,f(x+12)=f(x-12),所以当x>12时,f(x)的周期为1,所以f(8)=f(7×1+1)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-〖(-1)36.(1)C因为f(-x)=e-x-exe-x+ex=-ex-e-xe-x+ex=-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)=ex-e-xex+e-x=1-2e2x+1,所以f(2)34当0<x<1时,-1<-x<0,f(x)=-x2+2x,f(-x)=a(-x)2+b(-x)=ax2-bx,由f(-x)=-f(x),得ax2-bx=-(-x2+2x),求得a=1,b=2.又函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数.所以f(logba)+f(a)+f(2021b)=f(log21)+f(1)+f(20212)=f(0)+f(1)+f(1010+12)=f(0)+〖-f(0)〗+f(12)=f第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是()(1)若函数y=f(x)在〖1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是〖1,+∞).(2)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1-x2)〖f(x1)-f(x2)〗>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6)若T为函数y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期.A.3 B.4 C.5 D.62.〖2019北京,3,5分〗〖文〗下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x12 B.y=2C.y=log12x D.y3.〖2019全国卷Ⅱ,6,5分〗〖文〗设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+14.〖2020山东,8,5分〗若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.〖-1,1〗∪〖3,+∞) B.〖-3,-1〗∪〖0,1〗C.〖-1,0〗∪〖1,+∞) D.〖-1,0〗∪〖1,3〗5.〖2021大同市调研测试〗已知函数f(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1)+3的最大值为5,则f(x)的最小值为(A.-5 B.1 C.2 D.36.〖2020福州3月质检〗已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称.给出以下关于f(x)的结论:①f(x)是周期函数;②f(x)满足f(x)=f(4-x);③f(x)在(0,2)上单调递减;④f(x)=cosπx2其中正确结论的个数是()A.4 B.3 C.2 D.17.〖2018江苏,9,5分〗函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2〗上,f(x)=cosπx2,0<x≤2拓展变式1.(1)函数f(x)=-x2-ax-(2)〖2016天津,13,5分〗已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是2.(1)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用〖x〗表示不超过x的最大整数,则y=〖x〗称为高斯函数.例如:〖-2.1〗=-3,〖3.1〗=3.已知函数f(x)=2x+31+2x+1,则函数y=〖f(x)A.(12,3) B.(0,2〗 C.{0,1,2}(2)已知函数f(x)=sinπx22x-1+2-3.〖新课标全国Ⅰ,5分〗设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数4.〖2021陕西模拟〗若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则()A.f(-2)<f(-3)<g(-1) B.g(-1)<f(-3)<f(-2)C.f(-2)<g(-1)<f(-3) D.g(-1)<f(-2)<f(-3)5.〖2021贵阳市摸底测试〗已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12).则f(8)=A.-2 B.-1 C.0 D.26.(1)〖2021山东新高考模拟〗已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)A.m+n>1 B.m+n<1C.m-n>-1 D.m-n<-1(2)〖2020广西师大附中4月模拟〗已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),当x∈(-1,1)时,f(x)=-x2+2x,0≤x<1,ax2+bx,-1<x答案第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质1.B对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1-x2)〖f(x1)-f(x2)〗>0⇔x1>x2,f(x1)>f(x2)或x1<x2,f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间D上是增函数,故(2)正确;对于(3),若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故(3)正确;对于(4),若函数y=f(x+b)是奇函数,则f2.A对于幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A正确;选项D中的函数y=1x可转化为y=x-1,所以函数y=1x在(0,+∞)上单调递减,故选项D不符合题意;对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递减,当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2-x可转化为y=(12)x,因此函数y=2-x在(0,+∞)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=log123.D解法一依题意得,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,选D.解法二依题意得,f(-1)=-f(1)=-(e1-1)=1-e,结合选项知,选D.4.D解法一由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为〖-1,0〗∪〖1,3〗,选D.解法二当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除A,C.故选D.5.B由题意可知,函数f(x)的定义域为R.令g(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1),则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+cln〖(-x)+(-x)2+1〗=-ax3-bsinx+cln(-x+x2+1)(x+x2+1)x+x2+1=-ax3-bsin所以函数g(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1)为奇函数又f(x)max=g(x)max+3=5,所以g(x)max=2,于是g(x)min=-2,所以f(x)min=g(x)min+3=-2+3=1,故选B.6.B因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又其图象关于点(1,0)对称,所以f(-x)=-f(2+x),则f(x+2)=-f(x),由此可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,所以①正确;f(-x)=f(x)=f(x+4),把x替换成-x可得f(x)=f(4-x),所以②正确;f(x)=cosπx2是定义在R上的偶函数,且(1,0)是它的图象的一个对称中心,所以④正确;不妨令f(x)=-cosπx2,此时f(x)满足题意,但f所以正确结论的个数是3.故选B.7.22因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以4为函数f(x)的周期.因为在区间(-2,2〗上,f(x)=cosπx2,0<x≤2,|x+12|,-1.(1)-3≤a≤-2由题意,得-a2≥1,(2)(12,32)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(-2),且f(-2)=f(2),所以-2<2|a-1|<2,则|a-1|<12,所以2.(1)Cf(x)=2x+31+2x+1=12(1+2x+1)+52