2025年高考数学一轮复习-第九章-第六节-双曲线-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第九章-第六节-双曲线-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2－（xA.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支2.过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若｜PQ｜＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A.28B.14－82C.14＋82D.823.（2024·江西南昌）若双曲线x2－y2m＝1的离心率e∈（1，3），则实数m的取值范围为（A.（0，4）B.（0，8）C.（1，9）D.（8，＋∞）4.（2024·江西临川）已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点P（1，3），则该双曲线的标准方程为（）A.x24－y2＝1B.x214C.x212－y2＝1D.y25.（2024·贵州贵阳）双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）A.5B.2C.3D.46.（2024·河南洛阳）若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则｜PF｜＋｜PAA.8B.9C.10D.127.已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A.12C.2D.48.（多选）已知双曲线C上的点到点（2，0）和（－2，0）的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是（）A.双曲线C的标准方程为x2－y23B.双曲线C的渐近线方程为y＝±2xC.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有两个公共点9.双曲线x2－y23＝1的渐近线与圆x2＋（y－4）2＝r2（r＞0）相切，则r＝10.已知双曲线的一个焦点为F（0，5），它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为.11.已知焦点在x轴上的双曲线x28－m＋y212.F1是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B[B组能力提升练]13.（多选）已知F1（－3，0），F2（3，0），满足条件PF1－PF2＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支.则下列数据中，mA.12C.－1D.－314.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝（）A.14B.C.34D.15.（2024·四川成都）已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PFA.3B.5C.3D.216.（2020·浙江卷）已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则｜OP｜A.222B.C.7D.1017.设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左、右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点P，使得（OP＋OF1）·F1P＝0（O为坐标原点），设∠PF1F2＝α，则A.6＋5B.5＋26C.6－5D.5－2618.（多选）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为2393A.双曲线C的方程为x23－yB.双曲线y23－x2＝1与双曲线C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D.存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为319.若点P是以A（－3，0），B（3，0）为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则｜PA｜＋｜PB｜＝.20.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率是3，左右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是，∠AF21.（2024·云南下关）双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，2025年高考数学一轮复习-第九章-第六节-双曲线-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2－（xA.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支答案：A解析：设F1－2，0，F22，0，由题意知动点M满足MF1－MF2.过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若｜PQ｜＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A.28B.14－82C.14＋82D.82答案：C解析：根据双曲线定义可知，｜PF2｜－｜PF1｜＝42，｜QF2｜－｜QF1｜＝42，所以｜PF2｜＋｜QF2｜－｜PQ｜＝82，∴｜PF2｜＋｜QF2｜＋｜PQ｜＝2｜PQ｜＋82＝14＋82.3.（2024·江西南昌）若双曲线x2－y2m＝1的离心率e∈（1，3），则实数m的取值范围为（A.（0，4）B.（0，8）C.（1，9）D.（8，＋∞）答案：B解析：由已知条件，得m＞0.因为双曲线x2－y2m＝1的离心率e∈（1，3），e＝1+m，所以1＜1+m＜3，解得0＜所以实数m的取值范围为（0，8）.4.（2024·江西临川）已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点P（1，3），则该双曲线的标准方程为（）A.x24－y2＝1B.x214C.x212－y2＝1D.y2答案：B解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），则渐近线的方程为y＝±bax，所以ba＝2，所以双曲线的方程为x2a2－y24a2＝1.又点P（1，3）在双曲线上，所以1a2－34a2＝1，解得a2＝14，所以b＝2a＝1，所以双曲线的方程为x214－y2＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），则渐近线的方程为y＝±abx，所以5.（2024·贵州贵阳）双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）A.5B.2C.3D.4答案：B解析：双曲线的一条渐近线方程为y＝bax将－1,−3代入渐近线方程得b所以e＝1+ba2＝6.（2024·河南洛阳）若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则｜PF｜＋｜PAA.8B.9C.10D.12答案：B解析：由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为（－4，0），设双曲线的右焦点为B，则B（4，0），由双曲线的定义知｜PF｜＋｜PA｜＝4＋｜PB｜＋｜PA｜≥4＋｜AB｜＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B7.已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A.12C.2D.4答案：C解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x1，x1），B（x2，－x2），所以AB中点坐标为x1＋x22，x1－x22，所以x1＋x222－x1－x222＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝12｜OA｜·8.（多选）已知双曲线C上的点到点（2，0）和（－2，0）的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是（）A.双曲线C的标准方程为x2－y23B.双曲线C的渐近线方程为y＝±2xC.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有两个公共点答案：AC解析：根据双曲线的定义，得c＝2，2a＝2，所以a＝1，b＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线C的方程为x2－y23＝1，A正确.由双曲线C的方程为x2－y23＝1，得双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，B错误.双曲线C的一个焦点坐标为（2，0），则其到渐近线的距离d＝｜±23｜1+3＝3，C正确.圆x2＋y2＝49.双曲线x2－y23＝1的渐近线与圆x2＋（y－4）2＝r2（r＞0）相切，则r＝答案：2解析：渐近线的方程为3x±y＝0，圆心（0，4）到渐近线的距离等于r，则r＝｜±4｜10.已知双曲线的一个焦点为F（0，5），它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为.答案：y24－x2解析：设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），由题意得c＝5，ab=211.已知焦点在x轴上的双曲线x28－m＋y2答案：（0，2）解析：对于焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），它的焦点（c，0）到渐近线bx－ay＝0的距离为｜bc｜b2＋a2＝b.双曲线x28－m＋y24－m＝1化为x28－12.F1是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B答案：1+解析：设F1（－c，0），A（0，b），双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，由题意可得直线AB的斜率为ab.由A，B，F1三点共线，可得kAF1＝bc＝ab，即ac＝b2＝c2－a2.由e＝ca，可得e2－e－1＝0，解得[B组能力提升练]13.（多选）已知F1（－3，0），F2（3，0），满足条件PF1－PF2＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支.则下列数据中，mA.12C.－1D.－3答案：BC解析：由双曲线的焦点坐标F1（－3，0），F2（3，0），可得2c＝6，要使得满足条件PF1－PF2＝2m－则满足2m－1<6，2m－1≠0，解得－52结合选项，选项B，C符合题意.14.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝（）A.14B.C.34D.答案：C解析：由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，又｜PF1｜＝2｜PF2｜，所以｜PF1｜＝42，｜PF2｜＝22.在△PF1F2中，｜F1F2｜＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝｜PF115.（2024·四川成都）已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PFA.3B.5C.3D.2答案：C解析：设过F2与双曲线的一条渐近线y＝bax平行的直线交双曲线于点P由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，由｜PF1｜＝3｜PF2｜，可得｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由tan∠F1F2P＝ba可得cos∠F1F2P＝11+b在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF2｜·｜F1F2｜cos∠F1F2P，即有9a2＝a2＋4c2－2a×2c×ac，化简可得c2＝3a2所以双曲线的离心率e＝ca＝316.（2020·浙江卷）已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则｜OP｜A.222B.C.7D.10答案：D解析：因为｜PA｜－｜PB｜＝2＜4，所以点P在以A，B为焦点、实轴长为2、焦距为4的双曲线的右支上，由c＝2，a＝1可得，b2＝c2－a2＝4－1＝3，即双曲线的右支方程为x2－y23＝1（x＞0），而点P还在函数y＝34－x即｜OP｜＝134＋2717.设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左、右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点P，使得（OP＋OF1）·F1P＝0（O为坐标原点），设∠PF1F2＝α，则A.6＋5B.5＋26C.6－5D.5－26答案：B解析：双曲线x24－y2＝1的a＝2，b＝1，c＝5，设｜PF2｜＝n，｜PF1｜＝m，由双曲线的定义可得n－m＝2a＝4.由（OP＋OF1）·F1P＝0，即为（OP＋OF1）·（OP－OF1）＝0，可得OP2－OF12＝0，即｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，则∠F1PF2＝90°，可得m2＋n2＝4c2＝20，解得m＝6－2，18.（多选）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为2393A.双曲线C的方程为x23－yB.双曲线y23－x2＝1与双曲线C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D.存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3答案：ABD解析：依题意可知M533，4对于A，将M，N的坐标分别代入x2a2－y得253a2－16b2=1，133所以双曲线C的方程为x23－y2其渐近线为y＝±3x，故A正确；对于B，由y23－x2＝可知其渐近线为y＝±3x，故B正确；对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；对于D，设双曲线上一点P（x0，y0），y0≠0，则x023－y029＝1，即y由题可知D（－3，0），E（3