2025年高考数学一轮复习-第二章-第二节-基本不等式-专项训练【含答案】

第二章-第二节-基本不等式-专项训练1.不等式（x－2y）＋1x－2y≥2A.x≥2y B.x＞2yC.x≤2y D.x＜2y2.若a，b都是正数，则1+ba1+4A.5 B.7C.9 D.133.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（）A.有最大值为1 B.有最小值为1C.有最大值为12 D.有最小值为4.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A.80元 B.120元C.160元 D.240元5.（多选）下列不等式一定成立的有（）A.x＋1x≥2 B.2x（1－x）≤C.x2＋3x2+1≥23－1 D.x＋6.（多选）若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A.0＜1ab≤14 B.1a＋C.log2a＋log2b＜2 D.1a27.（3－a)(a+6）（－6≤a8.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则x＋yxy9.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为1610.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：（1）xy的最小值；（2）x＋y的最小值.11.已知a，b为正实数，且a＋4b－ab－3＝0，则ab的取值范围是（）A.（－∞，2] B.［32，C.（0，32］ D.（0，112.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够利用图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a＋b2≥ab（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2ab（a＞0，bC.2aba＋b≤ab（a＞0，b＞0） D.a＋b2≤a2＋13.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（）A.a＋b＋c≤3 B.（a＋b＋c）2≥3C.1a＋1b＋1c≥23 D.a2＋b2＋c14.已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1.证明：（1）a2＋b2≥12（2）1a＋2b15.甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a元（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？参考答案与解析1.B因为不等式成立的前提条件是x－2y和1x－2y均为正数，所以x－2y＞0，即x＞22.C因为a，b都是正数，所以（1＋ba）（1＋4ab）＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab3.C因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2x·2y，即2≥22xy，xy≤12，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝12时，等号成立.所以4.C由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是4xm，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋8x）≥80＋202x·8x＝160，当且仅当2x＝85.CD对于A，当x＜0时，x＋1x＜0，故A错误；对于B，2x（1－x）＝－2x2＋2x＝－2（x－12）2＋12≤12，故B错误；对于C，x2＋3x2+1＝x2＋1＋3x2+1－1≥2（x2+1）·3x2+1－1＝23－1，当且仅当x2＝3－1时取等号，故C正确；对于D，x＋1x6.BD因为a＞0，b＞0，所以ab≤（a＋b2）2≤a2＋b22，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤（42）2＝4≤a2＋b22，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则1ab≥14，a2＋b2≥8，1a2＋b2≤18，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A、C不恒成立，D恒成立；对于B选项，1a7.92解析：当a＝－6或a＝3时，（3－a)(a+6）＝0；当－6＜a＜3时，（3－a)(a+6）≤3－a＋a+68.3＋22解析：x＋yxy＝1x＋1y＝（1x＋1y）（2x＋y）＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22，当且仅当yx＝2xy，即9.a2＋b2＝1（答案不唯一）解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件.1a2＋9b2＝（1a2＋9b2）（a2＋b2）＝1＋9＋9a2b2＋b2a2≥10＋29a2b10.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2又x＞0，y＞0，则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8当且仅当8x＝2y，即x＝16且y＝4时，所以xy的最小值为64.（2）由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y则x＋y＝8x＋2y（＝10＋2xy＋8yx当且仅当2xy＝8yx，即x＝12且所以x＋y的最小值为18.11.D因为a＋4b－ab－3＝0，所以a＋4b＝ab＋3≥2a·4b，当且仅当a＝4b时取等号，因为a，b为正实数，所以0＜ab≤12.D由题意可得圆O的半径r＝OF＝12AB＝a＋b2，又由OC＝OB－BC＝a＋b2－b＝a－b2，在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝（a－b2）2＋（a＋b2）2＝a2＋b13.BD由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±33时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－3或a＋b＋c≥3.若a＝b＝c＝－33，则1a＋1b＋1c＝－33＜23.因此A、C错误，14.证明：（1）因为a＋b＝1，a＞0，b＞0，所以a2＋b2＝12（a2＋b2＋a2＋b2）≥12（a2＋b2＋2ab）＝12（a＋b）2＝12（当且仅当a＝（2）1a＋2b＝1a＋2b（a＋b）＝3＋2ab＋ba≥3＋22ab×ba＝3＋22＝（1＋2）2（当且仅当2ab＝ba，即a＝15.解：（1）由题意，得可变成本为14v2元，固定成本为a元，所用时间为1所以y＝1000v（14v2＋a）＝1000（14v＋av），定义域为（2）y＝1000（1