新高考数学二轮复习专题培优练习专题19 立体几何客观题中的角度与截面问题（解析版）

专题19立体几何中的角度与截面问题一、单选题1．（2024届】四川省仁寿高三上学期模拟）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0互相垂直，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.故选C.

2．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）在四面体ABCD中，已知SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，斜边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】

如图，取AB中点M，连接CM，DM因为SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为等腰直角三角形所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即为二面角SKIPIF1<0的平面角.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.故选D.3．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，E为CD1上的动点，则AE与平面SKIPIF1<0所成角的正切值不可能为（

）

A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，

在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．显然SKIPIF1<0，故D不可能．故选D4．（2024届湖南省衡阳市高三上学期阶段性测试）如图所示，圆锥底面半径为2，SKIPIF1<0为底面圆心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为底面圆SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（或其补角）为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选A.5．（2023届河南省五市高三下学期第二次联考）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥SKIPIF1<0是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】正三棱柱内切球半径即为SKIPIF1<0内切圆半径SKIPIF1<0，

由等面积法可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0外接圆的圆心，则SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，圆锥轴截面面积SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，即轴截面面积的最小值是SKIPIF1<0.故选C6．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为SKIPIF1<0，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0都与面SKIPIF1<0垂直，如图②，则经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设三点SKIPIF1<0在底面上的射影分别为SKIPIF1<0，因为面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0都与面SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0三边中点，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0全等，且所在平面互相平行，所以经过三个顶点SKIPIF1<0的球的截面圆与SKIPIF1<0的外接圆相同，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆的半径为SKIPIF1<0，则经过三个顶点SKIPIF1<0的球的截面圆的面积为SKIPIF1<0.故选B.

7．（2024届广东省阳江市高三上学期调研）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】取SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.故选A.8．（2023届陕西省西安市高三高考综合测试）在三棱锥SKIPIF1<0中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面SKIPIF1<0截三棱锥SKIPIF1<0所得截面为SKIPIF1<0，给出下列结论：①截面SKIPIF1<0的形状为正方形；②截面SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0；③异面直线PA与BC所成角的余弦值为SKIPIF1<0；④三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积等于SKIPIF1<0．其中所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0四点共面，且四边形SKIPIF1<0为平行四边形，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如下图所示：

易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为正方形，即截面SKIPIF1<0的形状为正方形，所以①正确；由正方形面积公式可知，四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，即②错误；设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为SKIPIF1<0，即③正确；易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；所以可得外接球球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积等于SKIPIF1<0，即④正确；所有正确结论的序号是①③④.故选C9．（2023届河南省TOP二十名校高三下学期3月调研）正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一动点，若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成锐二面角相等，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先证明一个结论：若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.证明：作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.

设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成锐二面角为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则三角形SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影是三角形SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内的射影是三角形SKIPIF1<0，根据以上结论得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0边上高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为与SKIPIF1<0平行且距离为SKIPIF1<0的两条直线，所以SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0.

故选C10．（2023届四川省成都市玉林中学高三适应性考试）如图，圆台SKIPIF1<0的上、下底面圆半径分别为1、2，高SKIPIF1<0，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（

）

A．该圆台的体积为SKIPIF1<0B．直线SA与直线SKIPIF1<0所成角最大值为SKIPIF1<0C．该圆台有内切球，且半径为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角正切值的最大值为SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，则A选项正确．对于B选项，如图（1），过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于下底面于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角即为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角，即SKIPIF1<0为所求，而SKIPIF1<0，由圆的性质得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则B选项错误．

对于C选，设上底面半径为SKIPIF1<0，下底面半径为SKIPIF1<0，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为SKIPIF1<0，易得等腰梯形的腰为SKIPIF1<0，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为SKIPIF1<0，所以圆台存在内切球，且内切球的半径为SKIPIF1<0，则C选项正确；

对于D选项，如图（3），平面SKIPIF1<0即平面SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0做SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0垂直于下底面，而SKIPIF1<0含于下底面，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角即为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．根据复合函数的单调性，可知函数SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0，所以D选项正确．

故选B.11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期调研）已知一个棱长为2的正方体，点SKIPIF1<0是其内切球上两点，SKIPIF1<0是其外接球上两点，连接SKIPIF1<0，且线段SKIPIF1<0均不穿过内切球内部，当四面体SKIPIF1<0的体积取得最大值时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径SKIPIF1<0，依题意知，SKIPIF1<0最长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最长为内切球的直径2，由三角形面积公式SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为定值时，SKIPIF1<0时面积最大，画出图形如图所示，其中SKIPIF1<0分别是所在正方形的中心，SKIPIF1<0是内切球与外接球的球心，

由正方体性质知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故此时四面体SKIPIF1<0的体积取得最大，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，故选D12．（2023届河北省承德市高三下学期4月高考模拟）如图，正六棱柱SKIPIF1<0的各棱长均为1，下列选项错误的是（

）A．过A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面SKIPIF1<0截该六棱柱的截面面积为SKIPIF1<0B．过A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面SKIPIF1<0将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为SKIPIF1<0D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为SKIPIF1<0【答案】B【详解】对于A：过点A作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则过A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面SKIPIF1<0截该六棱柱的截面即为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故截面面积SKIPIF1<0，故A正确；对于B：连接CE，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，则其体积SKIPIF1<0，四棱柱SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，三棱柱SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0下半部分的体积SKIPIF1<0，正六棱柱SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故B错误；对于C：因为球的半径为1，则球只与侧面SKIPIF1<0、侧面SKIPIF1<0和底面SKIPIF1<0相交，因为SKIPIF1<0，在侧面SKIPIF1<0、侧面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0个圆，在底面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0个圆，半径均为1，故交线的长为SKIPIF1<0，故C正确；对于D：因为球的半径为2，显然球不与侧面SKIPIF1<0、侧面SKIPIF1<0相交，由选项A可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则球与侧面SKIPIF1<0、侧面SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则球与侧面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0个圆，且半径为1，同理可得：球与侧面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0个圆，且半径为1，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则球与底面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0个圆，且半径为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则球与底面SKIPIF1<0的交点为D，所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为SKIPIF1<0，故D正确；故选B.二、多选题13．（2023届广东省惠州市惠东县高三上学期第二次教学质量检测）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，E为SKIPIF1<0中点，F为SKIPIF1<0中点，下面说法正确的是（

）A．异面直线SKIPIF1<0与EF所成角的正切值为SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0截正方体SKIPIF1<0截得的多边形是菱形D．点B到直线EF的距离为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由题意，在正方体SKIPIF1<0中，棱长为2，E为SKIPIF1<0中点，F为SKIPIF1<0中点，建立空间直角坐标系如下图所示，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A项，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴异面直线SKIPIF1<0与EF所成角的正切值为：SKIPIF1<0，A正确；B项，

由图及几何知识得，SKIPIF1<0，故B错误；C项，补全平面SKIPIF1<0截正方体SKIPIF1<0截得的多边形如下图所示，

由几何知识得，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是菱形，故C正确；D项，连接SKIPIF1<0如下图所示，

设点B到直线EF的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，由几何知识得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故D正确.故选ACD.14．（2023届河北省盐山中学高三三模）在棱长为6的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为梯形B．四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0C．从点SKIPIF1<0出发沿正方体的表面到达点SKIPIF1<0的最短路径长为SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于选项A，如图1所示，CE在底面内延长与DA的延长线相交，该点在截面内，连接该点与F点，与SKIPIF1<0相交于H点，与SKIPIF1<0的延长线交于一点，该点在后侧面内，再次连接该点与C点交SKIPIF1<0于G点，连接SKIPIF1<0,则该截面形状为五边形，故A错误；对于选项B，四面体SKIPIF1<0的外接球以SKIPIF1<0为直径，即SKIPIF1<0，则表面积SKIPIF1<0，故B正确；对于选项C，因该几何体为正方体，点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最短路径，考察的是侧面展开图的问题，可以右侧面与上底面展开，是两个正方形合一起，可以是下底面与左侧面展开，也是两个正方形合一起，只能是左侧面与后侧面的展开图，为一个正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路径最短如图2所示，SKIPIF1<0，故C正确；对于选项D，结合选项A，记平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图3所示，则SKIPIF1<0，故D正确.

故选BCD.15．（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图，在多面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一个动点（含端点SKIPIF1<0），则下列说法正确的是（

）A．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值是SKIPIF1<0D．当点SKIPIF1<0自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0处运动时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角逐渐增大【答案】ACD【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0正方向为SKIPIF1<0轴，可建立如图所示空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；对于A，假设存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，A正确；对于B，假设存在点SKIPIF1<0，使得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，方程无解；所以不存在点SKIPIF1<0，使得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，B错误；对于C，连接SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；又点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正确；对于D，由上分析知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0处运动时，SKIPIF1<0的值由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0变大，此时SKIPIF1<0也逐渐增大，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0也逐渐增大，故D正确.故选ACD.16．（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点，平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0三点，则下列命题正确的是（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积不变B．平面SKIPIF1<0平面ABEC．当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0截此三棱柱的外接球所得的截面面积为SKIPIF1<0；D．存在点SKIPIF1<0，使得直线BC与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0．【答案】ABC【解析】A选项，由于SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点，故SKIPIF1<0为定值，又SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为2，故SKIPIF1<0为定值，A正确；

B选项，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；C选项，连接SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故此三棱柱的外接球即为以SKIPIF1<0为长宽高的长方体的外接球，则此点SKIPIF1<0即为外接球球心，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，外接球半径为SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0截此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为SKIPIF1<0，故截面面积为SKIPIF1<0.

故当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0截此三棱柱的外接球所得的截面面积为SKIPIF1<0，C正确；D选项，设SKIPIF1<0，由B选项可知，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，假设存在点SKIPIF1<0，使得直线BC与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，方程无解，故直线BC与平面SKIPIF1<0所成角的大小不为SKIPIF1<0，D错误.故选ABC17．（2024届江西省红色十校高三上学期9月联考）如图，在多面体SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0与四边形SKIPIF1<0是全等的直角梯形，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）

A．SKIPIF1<0 B．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0 D．多面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】AD【解析】对于A，由正方形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A正确；对于B，显然SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角（或其补角），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B错误；对于C，以点SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值不是SKIPIF1<0，C错误；对于D，由选项C知，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以多面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正确.故选AD三、填空题18．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面SKIPIF1<0所成的角都相等，则平面SKIPIF1<0截此正方体所得截面面积的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角是相等的，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边长为SKIPIF1<0，所以其面积为SKIPIF1<0.19．（2023届海南省高三全真模拟）如图，四棱锥SKIPIF1<0内接于圆柱，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为圆柱