新高考数学二轮复习专题培优练习专题18 立体几何中的正方体（解析版）

专题18立体几何中的正方体一、单选题1．（2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面SKIPIF1<0上运动，满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则线段PQ的最小值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0满足要求，所以线段PQ的最小值为SKIPIF1<0.故选A

2．（2024届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）在正方体SKIPIF1<0中，过点B的平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0截该正方体所得截面的形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】A【解析】连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，又四边形SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，同理可证明SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0即为平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0截该正方体所得截面的形状为三角形.故选A

3．（2024届江西省万安中学高三上学期开学考试）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，E为线段SKIPIF1<0的中点，F为线段SKIPIF1<0的中点．直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）．

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,因此直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，如图，以SKIPIF1<0点为坐标原点，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，建立直角坐标系.

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选D.4．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，E为CD1上的动点，则AE与平面SKIPIF1<0所成角的正切值不可能为（

）

A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，

在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．显然SKIPIF1<0，故D不可能．故选D5．（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为上底面SKIPIF1<0内的动点，下列判断正确的是（

）①三棱锥SKIPIF1<0的体积是定值；②若SKIPIF1<0恒成立，则线段SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹为双曲线的一部分；A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【解析】如图（1）所示，因为点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，又由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的一半，因为正方体的棱长为4，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0（定值），所以①正确；

如图（2）所示，以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，线段SKIPIF1<0取得最大值，最大值为SKIPIF1<0，所以②正确；因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的所成的角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹为抛物线的一部分，所以③错误.故选A.

6．（2024届四川省成都外国语学校高三上学期入学考试）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别在线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（

）个

①SKIPIF1<0的最小值为1②四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0③存在无数条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直④点SKIPIF1<0为所在边中点时，四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①:因为SKIPIF1<0是正方体，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公垂线段，因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，所以当SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0最短为1，故①正确;对于②,因为SKIPIF1<0是正方体，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动时，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离不变，距离SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离不变，所以SKIPIF1<0的面积不变，所以SKIPIF1<0所以②错误;对于③,连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0不在线段SKIPIF1<0端点时，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,

因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，所以存在无数条直线SKIPIF1<0，故③正确;对于④,如图,以点SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,

则SKIPIF1<0的外接圆的半径为SKIPIF1<0所以可得等腰SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0,设四面体SKIPIF1<0的外接球球心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以可设四面体SKIPIF1<0的外接球球心为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的外接球的半径为SKIPIF1<0故④错误.故选B.7．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的靠近点SKIPIF1<0的三等分点，点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0上运动，当平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角相等时，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，以SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正方体的性质可得平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角相等，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.综上SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选A8．（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，则四面体SKIPIF1<0的体积最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四面体PQAD的体积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，其最大值为SKIPIF1<0.故选A.

9（2023届河南省TOP二十名校高三下学期3月调研模拟）正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一动点，若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成锐二面角相等，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先证明一个结论：若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.证明：作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.

设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成锐二面角为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则三角形SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影是三角形SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内的射影是三角形SKIPIF1<0，根据以上结论得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0边上高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为与SKIPIF1<0平行且距离为SKIPIF1<0的两条直线，所以SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0.

故选C10．（2023届河南省商丘市等2地高三三模）设正方体SKIPIF1<0的棱长为1，点E是棱SKIPIF1<0的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果SKIPIF1<0，则点M的轨迹所围成图形的面积为SKIPIF1<0；②如果SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，则点M的轨迹所围成图形的周长为SKIPIF1<0；③如果SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，则点M的轨迹所围成图形的周长为SKIPIF1<0；④如果SKIPIF1<0，则点M的轨迹所围成图形的面积为SKIPIF1<0．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0所有直线，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在边长为SKIPIF1<0的正△SKIPIF1<0的边上，故轨迹图形面积为SKIPIF1<0，①对；

若SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，由正方体的性质易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面，且SKIPIF1<0为平行四边形，故面SKIPIF1<0即为面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在△SKIPIF1<0的边上，所以轨迹长为SKIPIF1<0，②错；

若SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面，即SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0内任意直线都与面SKIPIF1<0平行，要使SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在四边形SKIPIF1<0的边上运动，此时轨迹长为SKIPIF1<0，③对；

若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，并依次连接，易知SKIPIF1<0为正六边形，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0所有直线，要使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在边长为SKIPIF1<0的正六边形SKIPIF1<0边上运动，所以轨迹图形面积为SKIPIF1<0，④对；

故选C11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知一个棱长为2的正方体，点SKIPIF1<0是其内切球上两点，SKIPIF1<0是其外接球上两点，连接SKIPIF1<0，且线段SKIPIF1<0均不穿过内切球内部，当四面体SKIPIF1<0的体积取得最大值时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径SKIPIF1<0，依题意知，SKIPIF1<0最长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最长为内切球的直径2，由三角形面积公式SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为定值时，SKIPIF1<0时面积最大，画出图形如图所示，其中SKIPIF1<0分别是所在正方形的中心，SKIPIF1<0是内切球与外接球的球心，

由正方体性质知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故此时四面体SKIPIF1<0的体积取得最大，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，故选D12．（2023届浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”高三下学期3月联考）在正方体SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0经过点B、D，平面SKIPIF1<0经过点A、SKIPIF1<0，当平面SKIPIF1<0分别截正方体所得截面面积最大时，平面SKIPIF1<0所成的锐二面角大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】平面SKIPIF1<0经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0重合，证明：设平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的二面角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，记平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，显然平面SKIPIF1<0截正方体所得截面面积最大时，截面为面SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0截正方体所得截面面积最大时截面为面SKIPIF1<0，同理平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0时，截正方体所得截面面积最大时截面为面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成锐二面角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所成角大小为二面角SKIPIF1<0大小，因为SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成锐二面角大小为SKIPIF1<0.故选C．二、多选题13．（2024届甘肃省白银市靖远县高三上学期10月月考数）如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，若点M在线段SKIPIF1<0上运动，则下列结论正确的是（

）

A．直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0的体积之和为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的周长的最小值为SKIPIF1<0D．当点M是SKIPIF1<0的中点时，CM与平面SKIPIF1<0所成角最大【答案】ABD【解析】A：如下图所示：因为SKIPIF1<0是正方体，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理由SKIPIF1<0是正方体可得SKIPIF1<0，同理可证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本选项正确；

B：如下图所示：过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正方形，所以可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此本选项正确；

C：将平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0展成同一平面，如下图所示：

当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长的最小值为SKIPIF1<0，因此本选项不正确；D：当点M是SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，CM与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，因此本选项正确，故选ABD14．（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积是SKIPIF1<0B．线段SKIPIF1<0的长的取值范围是SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】建立如图所示空间直角坐标系：

因为棱长为2，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,对于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0,故点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等价于点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0及SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,取平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确.故选SKIPIF1<015．（2023届云南省曲靖市第二中学学联体高三下学期第二次联考）如图，点SKIPIF1<0是棱长为2的正方体SKIPIF1<0的表面上一个动点，则（

）

A．当SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上运动时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，当SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上运动，且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0长度的最小值是SKIPIF1<0D．使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A：SKIPIF1<0的面积不变，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为正方体棱长，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积的体积不变，且SKIPIF1<0，所以A正确；对于B：以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0，所以B正确；对于C，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，等号成立，所以C错误.对于D：因为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0内，因为SKIPIF1<0，故不成立；在平面SKIPIF1<0内，点SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0；在平面SKIPIF1<0内，点SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0；在平面SKIPIF1<0时，作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图所示，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点SKIPIF1<0的轨迹的长度为SKIPIF1<0，综上，点SKIPIF1<0的轨迹的总长度为SKIPIF1<0，所以D正确；故选ABD.16．（2024届广东省四校高三上学期第一次联考）如图，正方体SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（

）

A．存在点P，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在点P，使SKIPIF1<0C．四面体SKIPIF1<0的体积为定值D．二面角SKIPIF1<0的余弦值取值范围是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，

SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，故A错误.由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，故B正确.SKIPIF1<0为定值.故C正确.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故D错误.（几何法）记棱SKIPIF1<0中点分别为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0