河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案解析）

2024年春期六校第一次联考高二年级数学试题命题学校：社旗一高审题学校：方城五高（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知在等差数列中，，，则（）A.0 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质得到公差，从而得到答案.【详解】在等差数列中，，得，故公差，所以.故选：A.2.已知数列为递减的等比数列，且，，则的公比为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出公比，由条件利用等比数列的基本量运算列出方程组，解之即得.【详解】设等比数列的公比为，则由，，得，解得或，因为为递减数列，则.故选：C.3.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图，该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的是（）A.变量与负相关B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C.变量与有较强的线性相关性D.若选择模型二，的图象不一定经过点【答案】D【解析】【分析】对于ABC，由散点图的变化趋势分析判断；对于D，由线性回归方程的性判断.【详解】对于A，由散点图可知随年份的增大而增大，所以变量与正相关，所以A错误；对于BC，由散点图可知变量与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，所以B错误，C错误；对于D，若选择模型二：，令，则的图像一定过点，不一定过点，故D正确.故选：D.4.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用累乘法计算出答案.【详解】故选：B5.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（）A.20 B.21 C.26 D.27【答案】B【解析】【分析】设条直线相交，交点最多的个数设为，得到，，，从而得到，得到答案.【详解】条直线相交，交点最多的个数设为，则，，故，，即，，，，故7条直线相交，交点的个数最多是21个.故选：B6.某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，甲输入的为，即可求得以及，然后将正确数据代入，即可求得样本中心点，代入回归直线即可得到结果.【详解】由题意可得，假设甲输入的为，则，则，且，则，则改为正确数据时，，即，，即，所以样本中心点为，将点代入回归直线方程，得.故选：D7.设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（）A.16 B.18 C.24 D.36【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，根据等差数列的性质可求得，再根据等差数列前项和公式即可得解.【详解】由题意可得，即①，②，且等差数列满足，①②两式相加得，，则，解得.故选：A.8.已知数列满足：，，则所有可能的取值之和是（）A.6 B.7 C.9 D.17【答案】C【解析】【分析】分奇数与偶数讨论，结合已知条件，解即可.【详解】若为偶数，则由可得，若为奇数不成立，舍去；若为偶数，则由可得，若为奇数不成立，舍去；若为偶数，则由可得，若为奇数.故或8，综上，所有取值之和为9，故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（）AB.时，的最小值为2023C.有最大值D.时，的最大值为4045【答案】CD【解析】【分析】根据前项和的关系可判断，，，即可判断公差为负数，进而可判断A，根据数列的单调性，即可判断BC，根据前项和的性质即可判断D.【详解】对于A：由可得，，，故等差数列的公差，故A错误；对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，，故时，的最小值为2024，故B错误；对于C：由A得，，故是关于的二次函数，图象开口方向向下，有最大值，没有最小值，故C正确；对于D：因为数列的前2023项均为正数，且，，时，的最大值为4045，故D正确.故选：CD.10.设数列的前项和为，已知，，则（）A. B.C.数列是等比数列 D.数列是等比数列【答案】ABD【解析】【分析】根据和求得，即得A项；由递推式消去，可推得，代值检验即得B项；由需检验即可否定C项；由递推式消去，可推得，即得D项正确.【详解】对于A，，所以，故A正确；对于B，因为，则，由，可得，于是，故B正确；对于C，由B分析，，但不满足，则不是等比数列，故C错误；对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为5的等比数列，故D正确.故选：ABD.11.已知数列满足，，则下列说法正确的是（）A.当时，数列是递减数列 B.当时，数列是等差数列C.当时， D.当时，数列存在最小值【答案】BC【解析】【分析】根据题意，由等差数列以及等比数列的定义以及通项公式，对选项逐一判断，代入计算，即可得到结果.【详解】选项A，当时，，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，，数列递增，故A错误；选项B，当时，，故，即，所以数列是等差数列，故B正确；选项C，当时，，，所以是公差为1的等差数列，又，所以，所以，故C正确；选项D，当时，，，则是首项是1，公差为的等差数列，，则，则，所以为递减数列且当趋近于无穷大时，趋近于负无穷，故无最小值，D错误.故选：BC.12.将个数排成行列的一个数阵，如下图所示，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，求得的值，再结合题目的条件可求出，利用分组求和法求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，对于A,可得，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；对于B,又由，所以选项B不正确；对于C，由，所以选项C是正确的；对于D，由这个数的和为，则所以选项D是正确的，故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设正项等比数列满足，，则的最大值为______.【答案】64【解析】【分析】根据题意，列出方程求得，代入公式计算，即可得到，从而得到结果.【详解】设等比数列的公比为，由可得，解得，所以，于是当或4时，取得最大值.故答案为：14.某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则______0（填“>”或“<”）.4.85.878.39.12.84.1729.111.8【答案】【解析】【分析】画出散点图，数形结合得到答案.【详解】画出散点图如下：从而可以看出中，.故答案为：.15.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式的特征可设，，，即可表示出，即可求得答案.【详解】两个等差数列和前项和分别为和，故设，，则，，所以故答案为：.16.若表示自然数的最大奇因数，例如，，，记（为自然数），则______.，的通项公式为______.【答案】①.（或）②.，（或，）【解析】【分析】由于有两种理解，第一种，第二种，对于第二种可以直接观察得解，对于第一种，首先得到的前几项，即可得到、、，再归纳猜想当时，，然后再证明，最后利用累加法求出.【详解】第一种答案：由题意，表示的最大奇因数，可得，，，，，，，，可得，，，可猜想当时，，证明如下：因为当时，.即，所以，，，…，，可得，当时，也成立，所以，第二种答案：，故答案为：（或）；，（或，）【点睛】关键点点睛：对于第一种关键是观察猜想出当时，.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.爬虫软件是一种自动抓取互联网信息的程序，它能够模拟浏览器行为，自动化地获取网页源代码，并从中提取出所需数据。爬虫软件在互联网上爬行并采集目标数据，这个过程类似于一只大蜘蛛在互联网上爬行，因此得名“爬虫”.现有某电商运营部门为分析消费能力与性别的关系，使用爬虫软件了解到，2023年第4季度在本店网购的消费者共12000名，现随机抽取100名消费者，其中男女各半.若消费者总消费金额不低于3000元，则称其为网购达人.男性消费者中，网购达人占.网购达人中，男性消费者占.（1）请完成答题卡上的列联表；性别网购达人非网购达人合计男性女性合计（2）认为是否为网购达人与性别有关犯错误的概率不超过，那么根据临界值表最精确的的值应为多少？请说明理由.参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2），理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可求出男性网购达人的人数以及网购达人人数，即可求得女性网购达人人数，即可求出列联表；（2）计算的值，与临界值表比较，即可求得答案.【小问1详解】由题意可得男性消费者50人，女性消费者50人，男性消费者网购达人有人，则男性消费者中非网购达人有人，则网购达人共有人，则女性消费者中网购达人有人，女性消费者中非网购达人有，故得列联表如下：性别网购达人非网购达人合计男性203050女性302050合计5050100【小问2详解】由（1）可得，，因为，认为是否为网购达人与性别有关系犯错的概率不超过，即p的值为.18.在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而求得，，即可求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得，然后分与，结合等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】在等比数列中，，且，所以，，即，则，因为2是与的等比中项，所以，，因为数列是递减数列，则，则，所以，，，所以，，所以，；【小问2详解】因为，当时，，.当时，，.综上所述，.19.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求出通项公式；（2）错位相减法求和得到答案.【小问1详解】①，当时，②，两式①②得：，当时，，符合上式，所以；【小问2详解】令，所以，故，，两式相减得，，故20.数列满足，，当时，，，，成等差数列.（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列满足，记，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】根据等比数列的定义求证即可，再利用累加法结合等比数列前项和公式即可求出通项；利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】由题意知，，即，，则，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，则，又当时，符合上式，；【小问2详解】由（1）得，21.如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（精确到0.01）加以说明；（2）建立关于的回归方程（精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）答案见解析（2），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.83亿吨【解析】【分析】（1）将数据代入相关系数的公式，得到相关系数，得到结论；（2）代入公式得到，得到关于的回归方程，并代入得到预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.【小问1详解】，，，因为正向趋近1，所以说明这组样本数据的线性相关程度很强；【小问2详解】由（1）可知：，，，，所以，当时，，所以关于的回归方程为，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.83亿吨22.已知数列对于任意的均有；数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，为数列的前n项和，且恒成立，求λ的最大值.【答案】（1），