2020-2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步1141直线与平面垂直学案新人教B版必修第四册

11.4空间中的垂直关系

11.4.1直线与平面垂直

新课程标准学业水平要求

★水平一

1.能够了解用数学语言表达的线面垂直的判定与性质定

理.（数学抽象）

1.借助长方体，通过直观2.了解线面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑

感知，了解直线与平面垂关系.（逻辑推理）

直的关系,并归纳出线面3.掌握一些基本命题的证明，并有条理地表述论证过程.（逻

垂直的判定与性质定理.辑推理）

2.能运用直观感觉、定理★水平二

和已获得的结论证明空1.能够理解用数学语言表达的线面垂直的判定与性质定

间基本图形位置关系的理.（数学抽象）

命题.2.理解线面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑

关系,（逻辑推理）

3.对于一些基本命题，能选择合适的论证方法表述论证过程，

能够通过举反例说明某些数学结论不成立.（逻辑推理）

必备知识-自主学习

1.如何求两条直线所成的角？

2.两条垂直直线一定相交吗？

导思3.直线与平面垂直的定义是什么？怎样判断直线与平面垂直。

4.线面垂直的性质定理是什么？

5.如何求直线与平面所成的角？

1.直线与直线所成角

（1）异面直线所成角的定义

一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直

线a',b',则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.

（2）两条直线的夹角

两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.

(3)两条直线垂直

空间中两条直线所成角的大小为90°时,称这两条直线垂直.

思考7

(1)在异面直线所成角的定义中，角的大小与点0的位置有关系吗？

提示:根据等角定理可知,a'与b'所成角的大小与点0的位置无关.但是为了简便，点0常取

在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).

(2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化？

提示:有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况.

(3)两条异面直线所成角0的范围是什么?两条宜线夹角6的范围是什么？

提示：两条异面直线所成角e的范围是0°<0W90°;两条直线夹角6的范围是

0°.

2.直线与平面垂直及其判定定理

(1)直线1与平面a垂直的充要条件

文字表示符号表示图形表示

直线1与平面a垂直的

/

充要条件是,直线1与平1±a<=>Vmca,

/

z

面a内的任意直线都垂11m

直

(2)直线与平面垂直的判定定理

文字表示符号表示图形表示

如果一条直线与一个BCa,nca,

/

平面内的两条相交直mQnW。，

线垂直，则这条直线与1.Lm,l±n,z

这个平面垂直则l_La

思考7

(1)定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗?

提示：“任何一条宣线”与“所有直线”是同义语；“任何一条直线”与“无数条直线”不是

同义语.

(2)判定定理的条件中，把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗？

提示:不可以.若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直

线与平面垂直.例如,正方体ABCD-A.B^iD,中,AB】与平面ABCD内无数条直线垂直(与直线AD平

行或重合的所有直线)，但是AB.与平面ABCD不垂直.

3.直线与平面垂直的性质

(1)直线与平面垂直的性质定理

文字表示符号表示图形表示

如果两条直线垂直/

1±a,m±a,m

于同一个平面,那么

则l〃m.V

这两条直线平行

(2)斜线段、斜足的定义

如果A是平面a外一点,C是平面c内一点，且AC与a不垂直，则称AC是平面a的斜线段(相

应地，直线AC称为平面a的斜线)，称C为斜足.

(3)直线在平面内的射影、直线与平面所成的角

设AB是平面a的垂线段,B是垂足;AC是平面a的斜线段,C是斜足，则直线BC称为直线AC

在平面a内的射影.特别地，/ACB称为直线AC与平面a所成的角.

思考？

(1)线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依

据吗?

提示:

-La]

①a\\b\卜江。；②a\\尸卜a_LB;③,〃卜0〃8.

aA.a)a_La>Q-"J

(2)若图中的/POA是斜线PO与平面a所成的角，则需具备哪些条件?

提示:需要PA_La,A为垂足,0A为斜线P0的射影，这样NP0A就是斜线，0与平面a所成的角.

J基础小测:.

1.辨析记忆(对的打“J”，错的打“X”)

(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面.

(2)垂直于同一个半面的两条直线一定共血.

(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.

(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.

提示：(1)X.若三角形的两边垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能构成三角形.

(2)J.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.

(3)J.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直

线平行,应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.

(4)J.由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出，该命题正确.

2.如图所示,若斜线段AB是它在平面a上的射影B0的2倍,则AB与平面a所成的角是

A.60°B.45°C.30°I).120°

1

【解析】选A.由题意知，在RtAABO中，NAOB=90°,B0二一AB,所以NAB0=600.

2

3.(教材二次开发:例题改编)如图,设0为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面ABCD外一

点,且有PA=PC,PB=PD,则P0与平面ABCD的关系是.

【解析】因为PA=PC,所以PO±AC,又PB二PD,

所以PO_LBD.所以POJ•平面ABCD.

答案：垂直

关键能力-合作学习

类型一线面垂直的定义及线线角、线面角的求解（数学运算、直观想象）

题组训练、

1.下列说法中正确的个数是

①如果直线1与平面a内的两条相交直线都垂直，则1Ia：

②如果直线1与平面a内的任意一条直线垂直,则1_La；

③如果直线1不垂直于a,则a由没有与1垂直的直线；

④如果直线1不垂直于a,则a内也可以有无数条直线与1垂直.

A.0B.1C.2D.3

2.若正方体ABCD-A.B.C.D,的棱长为1,则B.D与CG所成角的正切值为.

3.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中，直线BG与平面ABCD所成的角为

A.30°B.45°C.60°D.135°

【解析】1.选D.由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确;

当1与a不垂直时，1可能与a内的无数条直线垂直，故③不对;④正确.

2.如图，B.D与CC.所成的角为ZBBD.

BD伉

因为△DBBi为直角三角形，所以tanNBBD=---二72.

RR1

答案:迎

3.选B.在正方体ABCD-ABCD中平面ABCD,B3在平面ABCD中的射影为BC,所以

ZBC.B,即为直线B3与平面ABCD所成的角,在等腰直角三角形BBC中，ZBClB1=45°.

.解涯南

1.理解线面垂直判定定理要注意的两个问题

(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直

线垂直即可.

(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否

与已知直线有交点,是无关紧要的.

2.求异面直线所成角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角一一用平移法,遇题设中有中点，常考虑中位线;若异面直线依

附于某几何体,且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相

交直线.

(2)求一一转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

⑶结论一一设由⑵所求得的角的大小为。.若0°<0W90°,则0为所求；若

90°<0<180°,则180°-0为所求.

【补偿训练】

1.如图所示，正方体ABCD-A.B.C.D1中，E,F分别是棱BC,CC.的中点,则异面直线EF与

所成的角为.

［解析】连接可知为的中位线,

BCi,ADbABbEF△BCG

所以EF/7BC,.

又因为ABCDCD,

所以四边形ABC,Di为平行四边形.

所以BCi#ADi.所以EF/7ADi.

所以NADB为异面直线EF和BD所成的角或其补角.

在△ABD中，易知ABkBD尸AD】，

所以△ABD为正三角形，所以NADB=60°.

所以EF与BD所成的角为60°.

答案：60°

2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等

于.

【解析】因为PA_L平面ABC,

所以NPBA为PB与平面ABC所成的角，又PA=AB,

所以NPBA=45°.

类型二直线与平面垂直的判断与性质(逻辑推理、直观想象)

.…角.度L…直线与平面垂直的判定....

［典例］1.若三条直线0A,OB,0C两两垂直,则直线0A垂直于

A.平面OABB.平面0AC

C.平面OBCD.平面ABC

2.如图，FAJ_平面ABCD,底面ABCD为矩形,AEXEB于E,Ab±EC于卜.

(1)求证:PC_L平面AEF;

⑵设平面AEF交PD于G,求证:AG_LPD.

【思路导引】1.利用线面垂直的判定定理,由线线垂直,证明线面垂直.

2.PA_L平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AE_LPB,AF_LPCnAEJL面PBC;若一条直线垂直于一个平

面,则垂直于这个平面内的所有直线.

【解析】1.选C.由线面垂直的判定定理知0A垂直于平面OBC.

2.(1)因为PAJ•平面ABCD,BCc平面ABCD,

所以PA_LBC.又AB_LBC,PAClAB=A,

所以BCJ■平面PAB,又AEu平面PAB,

所以AE_LBC.又AE_LPB,PBClBC=B,

所以AEJ■平面PBC,又PCc平面PBC,

所以AE_LPC.又因为PC_LAF,AECIAF二A,

所以PCJ■平面AEF.

⑵由⑴知PC_L平面AEF,所以PCJLAG,

同理CDJ■平面PAD,AGc平面PAD,

所以CD_LAG,PCnCD=C,

所以AGJ■平面PCD,又PDc平面PCD,

所以AG_LPD.

♦变直探究

若本例2中,底面ABCD是菱形,H是线段AC上任意一点,AF_LPC于点C,求证:BD_LFH.

【证明】因为四边形ABCD是菱形，

所以BD_LAC,又PA_L平面ABCD,BDc平面ABCD,

所以BD_LPA,

因为PAu平面PAC,ACc平面PAC,且PADAC二A,

所以BDJ•平面PAC,又FHc平面PAC,

所以BD_LFH.

.…角.度2…直线与平面垂直的性质....

(典例］如图所示,正方体ABCD-A.B.C.D,中，EF与异面直线AC,A,D都垂直相交.求证:EF〃B».

【思路导引】证明EF与BDi都与平面ABC垂直.

【证明】连接AB“B£,BD,BD,如图所示.

因为DD」平面ABCD,ACc平面ABCD,

所以DDJAC.

又因为AC±BD,BDADDFD,

所以ACJ■平面BDDB,

所以ACJLB”.

同理BD」B,C,又ACflBC二C,

所以BD」平面ABC

因为EF_LAQ,且A,D〃BC,

所以EF_LBC

又因为EF±AC,ACDBiC=C,

所以J■平面ABiC,所以上卜〃Bl.

♦解整略

1.线面垂直的判定方法

(1)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义.

②线面垂直的判定定理.

③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.

④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.

(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：

①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；

②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

③根据判定定理得出结论.

2.利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直.

【拓展延伸】

1.空间几何体中，确定线面角的关键是什么？

提示:在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足

确定,则射影确定,线面角确定.

2.求斜线与平面所成角的步骤

(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和

斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.

(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

【拓展训练】

在正方体ABCD-ABCD中,

(1)求直线AC与平面ABCD所成的角的正切值.

(2)求直线AB与平面BDDB所成的角.

【解析】(1)因为直线AAJ■平面ABCD,

所以NACA为直线AiC与平面ABCD所成的角,

设AiA=1,AC=V2,所以tanZAiCA=­.

2

(2)在正方形ABCD中，AC_LBD,

因为BBi_L平面AiBiCiDi,

AiGu平面A1B1C1D1,

所以BB,±AiCb又BBIPB.DFBI,

所以AC_L平面BDDB,垂足为0.

所以NAB0为直线AB与平面BDDB所成的角,

11

在RtAAiBO中，AQ二一AC=-AB,

22

所以NA：BC30°,

即AB与平面BDDB所成的角为30°.

题组训练、

1.如图,BC是RtAABC的斜边,PA1平面ABC,PD1BC,则图中直角三角形的个数是

A.8B.7C.6D.5

【解析】选A.易知PA_LAC，PA_LAD,PA_LAB,BC_LAD,BC_LPD,AC_LAB.图中的直角三角形分另“为

△PAC,APAD,APAB,AADC,AADB,APCD,APDB,AABC,共8个.

2.四棱锥P-ABCD中,PA_L平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=2,则四楂锥的侧面积

是.

【解析】如图，

由已知PAJL平面ABCD,又CDU平面ABCD,

则CDJLPA,又CDJLAD,且PAAAD=A,

所以CDJ■平面PAD,又PDc平面PAD,

所以CD_LPD,即4PCD是直角三角形，

同理aPBC也是直角三角形，且aPBC和4PCD的面积相同，四棱维的侧面积S=2SAPW)+2SAPC0=2X

-X2X2+2X-X2XV22+22=4+4V2.

22

答案：4+46

3.如图,在三棱锥S-ABC+,NABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.

s

(1)求证:SD_L平面ABC.

(2)若AB=BC,求证:BD_L平面SAC.

【证明】⑴因为SA=SC,D是AC的中点,

所以SD_LAC在RtAABC中，AD二BD,

由已知SA二SB,所以AADS0Z\BDS,

所以SD_LBD.

又ACnBD=D,AC,BDc平面ABC,

所以SDJ_平面ABC.

(2)因为AB=BC,D为AC的中点,

所以BDJ_AC由⑴知SD_LBD.

又因为SDClAC=D,SD,ACc平面SAC,

所以BDJ■平面SAC.

【补偿训练】

如图,AB是。0的直径,PA垂直于CO所在的平面,M是圆周上任意一点,AN_LPM,垂足为N.

求证:AN_L平面PBM.

【证明】设。。所在的平面为a,

因为PA_La,且BMua,所以PA_LBM.

又因为AB为00的直径，点M为圆周上一点，

所以AMXBM.由于直线PAHAM=A,

所以BMJ■平面PAM,而ANc平面PAM,

所以BM±AN.

所以AN与平面PBM内的两条相交直线PM,BM都垂直.

所以ANJ•平面PBM.

类型三直线与平面垂直的判定与性质的编合应用(逻辑推理、直观想象)

【典例】如图，直三棱柱ABC-ABG中,AC=BC=1,ZACB=90°,AA,=V2,D,F分别是A,BbBBi的中

点.

(1)求证:GDJ_AB].

(2)求证:AB」平面CiDF.

【思路导引】(1)要证C(D±ABb需证GDJ_平面AABB,需证C.D1A.B,,CtD±AA,,由已知可证.

(2)要证AB>±平面C)DF,需证AB.XDF,需证A.B1AB.,需证四边形AABB为正方形，由已知可证.

【证明】(1)因为ABC-ABG是直三棱柱，

所以AiCi=B,Ci=1,且NACB产90°.

又D是AB的中点，所以GD_LAB,

因为AAiJ■平面AiB,Ci,CiDc平面A.BiCi,

所以AA」GD,又因为AAICIAIBFAI,

所以CD_L平面AABB,又因为ABC平面AABB,

所以GDJ_ABL

⑵连接AiB,

因为D,F分别是ABi,BBi的中点，所以DF〃AB.

nnn

又直角三角形ABG中，A—1=AIQ+BIQ,

所以AIBI=V2,所以AIBFAAI,即四边形AAiB.B为正方形，所以ABi±AiB,即ABJDF,

又（1）已证CiD±AB）,又DFPGD=D,

所以AB,JL平面CiDF.

.解值略

线线、线面垂直问题的解题策略

(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察

图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.

(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题

时一定要体现出来.

跟踪训练、

如图所示,在正方体ABCD-A.B.C.D.+,M是AB上一点,N是A.C的中点,MN_L平面A.DC.

MB

求证:MN〃AD].

【证明】因为四边形ADDA为正方杉，所以ADi_LAD

又因为CDJ■平面ADDA,所以CD±ADi.

因为A4)ACD=D,所以AD」平面AiDC.

又因为MNJ_平面A。C,所以MN〃AD.

备选类型距离问题(数学运算、直观想象)

【典例】如图所示，直角AABC所住平面a外有一点匕NACB=90°,PC=Z4,H)垂直AC于

D,PE±BC于E,且PD=PE=6V10,求P点到平面a的距离.

【思路导引】作PO_La于0,则PC的长为P点到平面a的距离，构造直角三角形列方程组求

解.

【解析】作P0±a于0,则P0的长为P点到平面a的距离，连接0C,ZPC0为PC和平面a所成

的角，连接OE,OD.

因为PD=PE,PE±BC于E,PD±AC于D,

所以PD,PE在平面a上的射影OE=OD,且OE±BC,OD±AC,即在四边形ODCE中，OE=OD,且NOEC二

Z0DC=ZACB=90°,

所以四边形ODCE为正方形,OOYAE.

设0P=x,0C2=PC-0P2=242-X2,

OE2=PE-OP2=(6V10)-x2,

OC=V2OE,

解①②③组成的方程组得x=12（舍去负值），即P点到平面a的距离为12.

.解遇略

距离问题一直是高考的重点与热点问题，本题考查了各种距离,其中求点到平面的距离关键

是作出点到平面的垂线,线到面的距离关键是转化为点到面的距离，各种距离的基础是点与点

的距离.

跟踪训练,

已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD_L平面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PAB的距离为

小,点D到平面PAC的距离为d2,BC到平面PAD的距离为d3,则九d2,d3三者之间的大小关系

是.

［解析】如困，点C到平面PAB的距离就是点D到平面PAB的距离，

过点D作DE1PA,则DE_L平面PAB,

V2

所以DE的长就是点D到平面PAB的距离，故d.=DE=—；

2

令ACPIBD二M,在平面PDB内作DFJ_PM,

V3

则DF_L平面PAC,所以点D到平面PAC的距离d=DF=­；BC到平面PAD的距离，即C到平面PAD

23

的距离，所以ch=1,故有d2<di<d3.

答案：d2〈d〈d3

课堂检测-素养达标

1.在正方体ABCD-A.B,C,D.的六个面中，与AA,垂直的平面的个数是

A.1B.2C.3D.6

【解析】选B.正方体ABCD-ABCD的六个面中与AAi垂直的平面是平面ABCD与平面ABCD.

2.下列说法中，错误的个数是

①若直线m〃平面a,直线l_Lm,则l_La;

②若直线1和平面a内的无数条直线垂直,则直线1与平面a必相交；

③过平面a外一点有且只有一条直线和平面a垂直；

④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.

A.0B.1C.2D.3

【解析】选C.①错误，若直线m〃平面Q,直线lJ_m,则1与a平行、相交或1在a内都有

可能；

②错误,若直线1和平面a内的无数条直线垂直,则直线1与平面a平行、相交或1在a内

都有可能;③®正确.

3.如图，aClB=1,点A,CWa,点B£B,且BA_La,BC_LB,那么直线1与直线AC的关系是

A.异面B.平行C.垂直D.不确定

【解析】选C.因为BA±a,anB=l,1<=H,所以BA±1.同理BC±1.又BAABC;B,所以1_L平

面ABC.

因为ACu平面ABC,所以1_LAC.

4.（教材二次开发:练习改编）如图，在正方体ABCD-A.B,C.D.中,AB】与平面ADDA所成的角等

于,AB,与平面DCC1D,所成的角等于________.

【解析】NBIAAI为AB1与平面ADDA1所成的角，即45°;ABi与平面DCCD平行，即所成的角为

00.

答案：45°0°

5.如图所示,在四棱锥P-ABCI）中,底面ABCD是矩形,PA_L平面ABCI）,AP=AB=2,BC=2A/2E,F分

别是AD,PC的中点.证明:PC_L平面BEF.

【证明】连接PE,EC,在RtAPAE和RtACDE中，PA=AB=CD,AE=DE,所以PE二CE,

即4PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,

所以EF_LPC.又BP=Vi4P2+AB2=2V2=BC,

F是PC的中点，所以BF_LPC.又BFPlEF=F,所以PC_L平面BEF.

课时素养评价

+A直线与平面垂直

@I蕃硼通关=水理一》（15分钟・30分）

1.下列条件中，能使直线m_La的是（）

A.m_Lb,m±c,bUa,cUa

B.m±b,b#a

C.mAb=A,b_La

D.m//b,b_La

【解析】选D.对于A,缺b与c相交;对于B,还可能得出m//a,m与a相交或mCa;对于C,

可能有m//a或mCa或m与a相交.

【补偿训练】

已知两条直线m,n,两个平面a,B,给出下列四个说法：

①m〃n,mIa=>nIa:

②a〃B,mCa,nCB=^m//n;

®m±n,m//a今n〃a；

④。〃B,m〃n,m±a=>n±B.

其中正确说法的序号是（）

A.①③B.②④C.©©【）.②③

【解析】选C.①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证.根据②中条件可知,m与n平行或

异面，所以②错.③中由m_Ln,m〃a,可知n〃a或nUa,或n与a相交，故③错，所以①©正

确.

2.在正方体ABCD-A.B,C,D,中,E是CC的中点,则直线BE与平面B.BD所成的角的正弦值为（）

【解析】选B.取BQ的中点0,连接E0（图略），

则E0/7AC,因为ACJ•平面BED,

所以E0J■平面BBD,则NEB0就是直线BE与平面B.BD所成角的平面角,

EO回

所以sinZEB0=

EB~5

【补偿训练】

如图,在直三棱柱ABC-A.BiCi中，D为A.B,的中点,AB=BC=4,BBFI,402函,则BD与AC所成的角

为)

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】选C.取BC的中点M,连接BM,DM,

则DM〃AC〃AC,

所以异面直线BD与AC所成角为NBDM,

因为DM=^AC=V5,BD=Vl2+22=V5,

2

BM=V12+22=V5,所以NBDM=60°,

即异面直线BD与AC所成的角为60°.

3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA_L平面ABC,AB±BC,PA=AB,1)为PB的中点,则下列结论正确的有

()

①BC_L平面PAB;②A[)_LPC;③AD_L平面PBC;④PB_L平面ADC.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】选D.因为PAJL平面ABC,BCU平面ABC,

则PA±BC,又人8_1801人0八8认故BCJ_平面PAB,①正确；因为BCJ■平面PAB,ADU平面PAB,

所以BC±AD,因为PA=AB,D为PB的中点，故AD±PB,又BCC1PB二B,故ADJ■平面PBC,因为PCC

平面PBC,故ADJ_PC,②③正确；若PBJ■平面ADC,因为CDU平面ADC,故PB-LCD,因为D为PB

的中点,故CB=CP,又POAOBC,故CB=CP不成立，故④错误.

【补偿训练】

在正四棱锥S-ABCD中,E.M,N分别是BC,CD,SC的中点.动点P在线段MN上运动时，下列四个结

论，不一定成立的为（）

①EP_LAC;②EP〃BD;③EP〃平面SBD;④EP_L平面SAC.

A.①③B.③④C.①②D.@®

【解析】选D.作出如图所示的轴联线.

对①,在正四棱锥S-ABCD中,

因为AC_LBD,AC_LSO,BDU平面SBD,

SOU平面SBD,且SOPBD=O,故ACJ■平面SBD.

又因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，

故平面EMN〃平面SBD,故ACJ•平面EMN,

因为EPU平面EMN,故EP±AC成立.故①成立.

对②，当且仅当P与M重合时，EP〃BD.故②不一定成立.

对③，由①有平面EMN〃平面SBD,

又EPU平而EMN,故EP〃平面SBD.故③成立.

对④，当且仅当P与M重合时，才有EP_L平面SAC.故④不一定成立.

4.如图所示,平面anB=CD,EA±a,垂足为A,EB±B,垂足为B,则CD与AB的位置关系

是.

c

【解析】因为EA_La,CDUa,

根据直线和平面垂直的定义，则有CD_LEA.

同理，因为EBJLB,CDUB,

则有EB_LCD.又EADEB二E,所以CD_L平面AEB.

又因为ABU平面AEB,所以CD±AB.

答案：CD_LAB

5.如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,过A点作平面A.BD的垂线,垂足为点H,有下列三个结

论：

①点H是AABD的中心；

②AH垂直于平面CBD;

③AG与4C所成的角是90。.

其中正确结论的序号是.

【解析】①正确，因为AHJ■平面AiBD,AAi=AB=AD,

所以RtAAHA,^RtAAHD^RtAAHB,

所以HA,=HB=HD,

所以点H是AABD的外心，又因为A1B=BD=DAb

所以点H是△ABD的中心.②正确，易证平面ABD〃平面CBD,

又因为AHJ■平面ABD,

所以AH垂直于平面CBU.③止喇，易证AiDJ■平面ABGDi,所以AGJLAiD,又AiD〃&C,

所以AG_LB£,所以AG与BC所成的角是90°.

答案:①②®

6.如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD,庆£3_平面CDE.

求证:AB_L平面ADE.

【证明】因为AE_L平面CDE,CDU平面CDE,

所以AE_LCD,又在正方形ABCD中，CDJ_AD,

AEClAD=A,所以CDJ■平面ADE,

又在正方形ABCD中，AB〃CD,

所以ABJ■平面ADE.

@［能力进阶=水平二»（30分钟-60分）

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.如图，设平面an平面B=PQ,EG_L平面a,FHJ_平面a,垂足分别为G,H.为使PQ_LGH,则需

增加的一个条件是（）

A.EF_L平面aB.EF_L平面B

C.PQXGED.PQ1FH

【解析】选B.因为EGJ•平面a,PQU平面Q,所以EG±PQ.若EFJ■平面B,则由PQU平面0,

得EF_LPQ.

又EG与EF为相交直线，所以PQ_L平面EFHG,

所以PQ_LGH.

2.在正方体ABCD-ABCD中，点P在侧面BCCB及其边界上运动,并且总保持AP±BDb则动点P

的轨迹是（）

A.线段B.C

B.线段BCi

C.BBi中点与CCi中点连成的线段

D.BC中点与BC中点连成的线段

【解析】选A.如图，由于B»_L平面ABC,故点P一定位于BC上.

3.如图,在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,若直线AB与平面

1

ACD所成角的正弦值为g,则点B到平面ACD的距离为()

V24

A.—B.-

23

【解析】选B.因为AB_LBC,ABLBD,

所以ABJ■平面BCD,故AB±CD,

因为CD±BE,CD±AB,可得CDJ•平面ABE,

则AB在平面ADC上的射影与AE在一条直线上，故直线AB与平面ACD所成角即为ZBAE.

在RtAABE中，BE=V2,sinZBAEA故可得AE=3瓶,AB=4,故VA-BC(FVB-ACO,设点B到平面ACD

3

11

的距离为x,则一S-sXAB二-S&CDXX,

33

4

整理得2AB=6h,解得h=-.

3

4.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将4ADE沿直线DE翻折成AADE.若M为线

段A£的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有（）

①总存在某个位置，使CE_L平面A.DIi;

②总有BM〃平面ADE;

③存在某个位置，使DE±AtC.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解析】选A.在①中，总存在某个位置，使CE_L平面AQE,①正确；在②中，取CD中点F,连接

1

MF,BF,则MF/7AiDJLMF=~AiD,FB〃ED且FB二ED,由MF〃AQ与FB/7ED,可得平面MBF〃平面ADE,

2

所以总有BM〃平面AQE,故②正确;在③中，AC在平面ABCD中的射影为AC,AC与DE不垂直,

所以DE与A,C不垂直，故③错误.

二、多选题（每小题5分，共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分）

5.如果一条直线垂直于一个平面内的,则能得出直线与平面垂直（）

A.三角形的两边B.梯形的两边

C.圆的两条直径D.正六边形的两边

【解析】选AC.由线面垂直的判定定理知，直线垂直于平面内三角形的两边，因为这两边是相交

的，所以能得出直线与平面垂直，所以A选项正确；直线垂直于梯形的两边，因为梯形的两边可

能平行，所以不能得出直线与平面垂直，所以B选项不正确；直线垂直于圆的两条直径，因为任

何一个圆的两条直径是相交的，所以能得出直线与平面垂直，所以C选项正确；直线垂直于正六

边形的两边，因为正六边形的两边可能平行，所以不能得出直线与平面垂直，所以D选项不正

确.

6.（2020•惠州高一检测）如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现

在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,下列

说法正确的是（）

A.AG_L平面EFHB.AH_L平面EFH

C.HF_L平面AEHD.HG_L平面AEF

【解析】选BC.由题意可得:AH_LHE,AH_LHF.

所以AHJ■平面EFH,而AG与平面EFH不垂直，所以B正确，A不正确.

又HFJLHE,所以HF_L平面AHE,C正确.

HG与AG不垂直，因此HGJ■平面AEF不正确，D不正确.

【补偿训练】

（多选题）如图,在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是)

【解析】选BD.对于A,由AB与CE所成南为45°,

可得直线AB与平面CDE不垂直；

对于B,由AB_LCE,AB_LED,CEDED=E,

可得ABJ■平面CDE；对于C,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直；

对于D,连接AC,由ED_L平面ABC,

可得EDJLAB,同理可得EC1AB,

又EDC1EC=E,所以ABJ■平面CDE.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA_L平面ABC,PA=2AB,则下列结

论:①PB_LAE;②平面ABCJ_平面PBC;③直线BC〃平面PAE;@ZPDA=45°.

其中正确的有（把所有正确的序号都填上）.

【解析】对于①，因为PA_L平面ABC,所以PA_LAE,又EA_LAB,PAGAB=A，所以EAJ_平面PAB,从

而可得EA_LPB,故①正确.对于②，由于PA_L平面ABC,所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，

故②不正确.对于③，由于在正六边形中BC〃AD,所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE

有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行,故③不正确.对于④，由条件得Z\PAD为直角三角形，

且PA±AD,又PA=2AB二AD,所以NPDA=45°.故④正确.

答案:①®

8.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖嚅.在如图所示的鳖膈P-ABC中

PAJ_平面ABC,ZACB=90°,CA=4,PA=2,D为AB中点,E为APAC内的动点（含边界），且PC_LDE.

当E在AC上时,AE=;点E的轨迹的长度为.

【解析】当E在AC上时，

因为PAJ■平面ABC,故PAXDE,又PC±DE,故DEJL平面PAC.故DE_LAC.

又ZACB=90°,故DE〃BC,D为AB中点，

1

所以E为AC中点.故AE=~AC=2.

2

取AC中点F,则由（1）有DFJL平面PAC,故PC_LDF,又PC_LDE,

设平面DEFCIPSG,

则有PCJL平面DGF.故点E的轨迹为FG.

PA11

又此时CF=2,tanZPCA=―=-故sinNPCA='

AC2Vl2+22Vs'

22V5

所以FG=CF•sinZPCA=-==-------.

V55

2V5

答案：2

5

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD_L平面ABE,F为CE上的点，且BF_L平面ACE.求证:AE_LBE.

【证明】因为AD_L平面ABE,AD〃BC,

所以BCJ■平面ABE.又AEU平面ABE,

所以AE_LBC.

因为BFJ■平面ACE,AEU平面ACE,

所以AE_LBF.

又因为BFU平面BCE,BCU平面BCE,BFABC=B,

所以AEJ•平面BCE.

又BEU平面BCE,所以AE±BE.

【补偿训练】

如图所示,四边形ABBA为圆柱的粕截面（过圆柱轴的截面）,C是圆柱底面圆周上异于A,B的任

意一点.求证:AC_L平面BBiC.

【证明】因为四边形ABBA为圆柱的轴裁面，

所以BB」底面ABC.因为ACU底面ABC,

所以BBi_LAC.因为AB为底面圆的直径，

所以NACB=90°,所以BC_LAC.

又因为BB,ABC=B,BBiU平面BB,C,BCU平面BB&

所以ACJ■平面BBiC.

10.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2