北师大版必修第二册1-3弧度制学案

1.3弧度制

新课程标准学业水平要求

1.能正确地进行弧度与角度

1.了解角的另外一种度量方的换算，熟记特殊角的弧度数.（数

法——弧度制.学抽象）

2.能够熟练地在角度制和弧2.会用弧度解决一些实际问

度制之间进行换算.题（弧长公式和面积公式的应

用）.（数学运算）

课前篇相主学习预案

1.弧度制

（1）角度制与弧度制的定义

用_______作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定

角度1

制度的角等于周角的A。

在单位圆中，把长度等于________的弧所对的________叫作1

弧度

弧度的角，用符号________表示，读作________.以________

制

作为单位来度量角的方法，叫作弧度制

⑵角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么|a|=£

2.角度制与弧度制的换算

（1）常见角度与弧度互化公式如下：

角度化弧度弧度化角度

360°=2兀rad27rrad=360°

180°=兀rad7irad=180°

续表

角度化弧度弧度化角度

兀

1°—rad^0.01745rad1rad=。仁57.30。

1OoUn

（2）一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有:

角度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7T7T7T7t7T27rA/57r3K

弧度07T27r

1806432346T

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,a（0<a<2兀）为其圆心角，则

度量单位类别a为角度制A为弧度制

@兀元

扇形的弧长1=______________

180

个白归心2

扇形的面积S=^l-R=^\a\-R

360

答案：1.(1)度1圆心角rad弧度弧度

3.\a\-R

课堂篇•研习讨论导案

研习1角度制和弧度制的概念及其转换

［典例1］(1)下列命题中，正确的命题是.

①1。的角是周角的忐，1rad的角是周角的一；

JOU271

②1rad的角等于1度的角；

③180。的角一定等于Krad的角；

④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.

(2)①把一157。30'化成弧度；

②把|兀化成度.

［自主记］

(1)［思路思拨］从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制

的定义出发解题.

［答案］①③④

［解析］对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；

对于①，因为1。=誓，1=|?,所以①正确；对于③，由弧度制规定知兀rad

JvzKJ4/U

=180°,故③正确.

(2)［解］①一157。30'=-157.5°,

TT

由于180°=K,有1°=&

兀7

所以一157.5。=一157.5X衙=一万九，

1oUo

7

即一

157°30'=-oQKrad.

+(180)

②由于兀=180°,有1rad=、J°,

所以京=言1：*(差"|°=72。，即，兀=72°.

［巧归纳］1.角度制与弧度制换算的要点

2.角度制与弧度制换算时应注意的三个问题

(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(。)

为单位表示角的大小时，度(。)不能省略不写.

(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.

(3)有些角的弧度数是兀的整数倍时，如无特别要求，不必把兀化成小数.

［练习1］(1)把112。30'化成弧度；

5jr

(2)把一年化成度.

⑪,(2251225n57r

(2)F=-3*,。=-75。.

研习2用弧度数表示角的应用

［典例2］⑴与角等终边相同的角是()

27r

A.eqB.2%兀一亍(%£Z)

2K

C.2E-4%£Z)D.(2%+1)兀+与-(%£2)

(2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于％轴的非负半轴，终边落在阴影部

分内的角的集合.(不包括边界，如图)

［自主记］

⑴［答案］C

1°冗…।2兀…।2兀

［解析］由2E口~=2麦兀-4九+亨=(2左一4)兀+行,

10兀2兀

所以角2E—亍他£Z)的终边与行相同，故选C.

⑵

［分析］利用终边相同的角将区域用不等式组的形式表示.

------角的终边落在阴影区域的

囱人闵一边界上

(如何表示区域角？

回钎用不等式来表示

区域角的表示{S3］区域角的边界如何表示？

〔一终边相同的角的表示

［解I如题图①，以0A为终边的角为*+2E(Z£Z)；以08为终边的角为

一与+2E(%£Z).

，阴影部分内的角的集合为

\a一丁+2EVQ〈Z+2Z兀,kRZr.

36

如题图②，以OA为终边的角为g+2E(Z£Z)；以0B为终边的角为,+2E(Z

eZ).不防设右边阴影部分所表示的集合为Mi，左边阴影部分所表示的集合为

兀

Mi,贝lj2E<a<g+2hr,%£Zp

A/2=|a+2kn.<a<7t-\-2kit,A：£z}.

•••阴影部分所表示的集合为

MiL)M2=<a2kn<a<j+2E,或与+2E<a<兀+2E,kGZ.

［巧归纳］1.用弧度数表示象限角

象限角集合表示

兀

第一象限Va2E<a<2Z7r+g,%£Z,

第二象限Va2E+1<a<24兀+兀，

3冗

第三象限

a2阮+7r<a<2A：7t+2，%£Z)

3兀

第四象限*a2E+~2<a<2kn+2兀，攵£Z»

2.弧度制下与角a终边相同的角的表示

在弧度制下，与角a的终边相同的角可以表示为｛■正=2E+a,kS］，即

与角a终边相同的角可以表示成a加上2兀的整数倍.

3.弧度制下，终边落在坐，示轴上的角的集合表示

终边的位置集合表示

X轴正半轴{a|a=2E,2£Z}

%轴负半轴{a|a=2E+jt,kGZ}

兀

y轴正半轴<aa=2hr+],%£Z>

y轴负半轴aa—2kii+2,kGZ、

X轴{a\a=kn,%£Z}

JI

y轴aa=E+2,kGZ

ku

坐标轴Iaa—2，k£Z1

［练习2］1.将一1500。表示成2E+a(0Wa<2jr,%£Z)的形式，并指出它是

第几象限角.

IT7Sir5TT

角翠：—1500°=—1500X-r^=——IOTTH-Y.

1ouJJ

•.5号7r是第四象限角，.—l500。是第四象限角.

2.用弧度制表示终边落在如图阴影部分的角p的集合.

解：由图知阴影部分所在区域的边界角的集合为

71/71

,aa=2Z7r+g,kGZ，与］aa=2kit—干kGZ\,

所以所求角£的集合为

TiJi

邛2E—4W2br+于.

研习3扇形弧长与面积公式的应用

2冗

［典例3］已知扇形的圆心角为竽弧度，半径为2,则扇形的面积是()

A.eqB.eqB.D.eq2兀D.^-

［自主记］

［答案］D

2冗47r1147r47r

［解析］由/=r以=2*彳=彳，所以扇形的面积5=5>=5，彳，2=-^,故选

JJJ，J〜J

D.

［巧归纳］灵活运用扇形弧长公式、面积公式列式求解是解决此类问题的关

键.有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表

示为半径厂的函数，转化为r的二次函数求最值问题.

其步骤为：

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l=\a\r,5=5/(0<6£<2兀)和S=%(这

里a必须是弧度制下的角).

(2)分析题目中的已知量和待求量，灵活选择公式.

(3)根据条件列方程(组)求解.

［练习3］已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，

才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的圆心角为仇半径为r,弧长为/,面积为5,则/+2-=40,

.,.Z=40-2r(0<r<20).

S=；/r=gX(40—2r)r=20r—r2=—(r—10)2+l00.

当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm?,此时。=:=

40—2X10

10=2(rad).

达标篇•课堂速测演习

l.eq化为a+2E(0Wa<2m%£Z)的形式是()

兀4兀

A.eq=g+5兀B.eq="Y+47r

02兀।、77rle

C.eq=-y+67rD.eq="y十3兀

答案：B

167r4+124.

用牛析：=--兀=弓兀+4兀

2.扇形的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则()

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

答案：B

I21

解析：a=-=—=a9故圆心角不变.

TT

3.如图所示，点A,B,。是圆。上的点，且AB=4,NAC3=j,则劣弧AB

的长为.

答案：y

解析：连接AO,0B,

TT

因为NACB=d，

7T

所以NAOB=q.

又OA=OB,所以△408为等边三角形，

7T4兀

故圆0的半径r=A8=4,劣弧AB的长为4=亍.

4.扇形A08的周长为10cm,

⑴若这个扇形的面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数；

(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.

解：设扇形圆心角的弧度数为伏0＜。＜2兀)，弧长为/,半径为r,面积为5.

p+2r=10,①

(1)依题意有＜1,，八

3r=4,②

由①，得/=10—2r,代入②，得r2—5r+4=0,解得口=1,-2=4.

当r=l时，/=8(cm),此时，6=8rad＞2?rrad,舍去；

21

当r=4时，/=2(cm),此时，e=a=1(rad).

(2)由/+2r=10,得/=10—2「，

5=^/r=^(10—2r)-r=5r—r2

=—|^2+^-(0<r<5).

5255

当时，S取得最大值丁，这时/=10—2X］=5,

25

e=；=g=2(rad).

2

课后自读方案

［误