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文档简介
2023~2024学年度第二学期高二年级期中考试试卷数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第三册.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,从集合A中选一个元素作为点P的横坐标,从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标,若点P落在第三或第四象限,则满足条件的点P有()A.8个 B.10个 C.12个 D.16个【答案】C【解析】【分析】根据题意,结合分步乘法计数原理,即可求解.【详解】因为点P在第三或第四象限,所以纵坐标只能选集合B中的负数,根据分步乘法计数原理,横坐标有4种选法,纵坐标有3种选法,则满足条件的点P共有个.故选:C.2.根据3对数据,,绘制的散点图知,样本点呈直线趋势,且线性回归方程为,则()A.10 B.9 C.8 D.7【答案】A【解析】【分析】根据题意,由线性回归方程过样本中心点,代入计算,即可得到结果.【详解】由已知,得,,又经过点,所以,解得.故选:A.3.已知离散型随机变量X的分布列为(,2,3),则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1,代入计算即可.【详解】因为,所以,所以.故选:B.4.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不放回地依次取2个数,记“第一次取到的是偶数”为事件A,“第二次取到的是奇数”为事件B,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据实际情况缩小样本空间,利用古典概型求概率公式得到条件概率【详解】在事件A发生后,只有9个数字,其中有5个奇数,所以.故选:C.5.甲、乙两人要在一排7个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则不同的坐法有()A.6种 B.12种 C.15种 D.30种【答案】B【解析】【分析】采用插空法即可得答案.【详解】一排共有7个座位,现有两人就坐,故有5个空座.要求每人左右均有空座,在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐,即有种坐法.故选:B.6.已知随机变量,若,,则()A.15 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为,,所以,即,所以,所以.故选:A.7.在的展开式中,项的系数为()A.252 B.210 C.126 D.120【答案】B【解析】【分析】根据二项式定理可得的展开式中项的系数为,再结合组合数的性质即可得解.【详解】的展开式的通项为,则的展开式中项的系数为,所以的展开式中项的系数为.故选:B.8.将字母放入的表格中,每个格子各放一个字母,若共有行字母相同,则得分,则所得分数的均值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出随机变量的可能取值,再结合排列、组合及古典摡型的概率求得各个值对应的概率,利用期望的公式,即可求解.【详解】字母放入的表格中的不同结果有种,随机变量的可能的取值为,可得,则,所以随机变量的期望为.故选:B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.两个具有线性相关关系的变量的一组数据为,,,,则下列说法正确的是()A.若相关系数,则两个变量负相关B.相关系数r的值越小,成对样本数据的线性相关程度越弱C.决定系数越大,残差平方和越小,模型的拟合效果越好D.决定系数越小,残差平方和越小,模型的拟合效果越好【答案】AC【解析】【分析】根据相关系数的概念可判定AB,根据决定系数的概念可判定CD.【详解】对于A:因为r的符号反映相关关系的正负性,故A正确;对于B:根据相关系数越接近1,变量相关性越强,故B错误;对于C:决定系数越大,残差平方和越小,效果越好,故C正确,D错误.故选:AC.10.随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食,设所投放的食物均落在器皿内,随机变量X为空器皿个数,则下列说法正确的是()A.随机变量X取值为1,2,3 B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式,结合排列组合求解个数,即可求解分布列,进而结合选项即可逐一求解.【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0,1,2,3,故A错误;则,,故B错误,C正确;又,,所以.故D正确.故选:CD.11.甲盒中装有3个蓝球、2个黄球,乙盒中装有2个蓝球、3个黄球,同时从甲、乙两盒中取出个球交换,分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为,,则下列结论正确的是()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】按分别求出的分布列及期望,即可逐项判断得解.【详解】X表示交换后甲盒子中的蓝球数,Y表示交换后乙盒子中的蓝球数,当时,,,,则,,AB正确;当时,,,,,,因此,,C正确,D错误.故选:ABC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.方程(且)的解为___________.【答案】2或4【解析】【分析】结合排列数与组合数运算即可得.【详解】由题意,可知,则,所以或.故答案为:2或4.13.某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布(质量单位:g).检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品,其中的食盐为合格品,其他为不合格品,要使不合格率小于4.55%,则σ的最大值为______.(若,则【答案】2【解析】【分析】由正态分布的相关性质求解即可.【详解】由正态分布性质可知,要使不合格率小于4.55%,则合格率不低于,由得,,由题意可知,解得,故的最大值为.故答案为:.14.“算两次”是一种重要的数学方法,也称做富比尼(G.Fubini)原理.“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷),即将一个量“算两次”.由等式,,,利用“算两次”原理可得______.(结果用组合数表示)【答案】【解析】【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可.【详解】因为,因此是展开式中项的系数,而的展开式中项的系数为,所以.故答案为:.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数.(1)求的值;(2)若该二项式展开式中各项系数之和为,求展开式中的系数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用题给条件列出关于的方程,解之即可求得的值;(2)先利用题给条件求得a的值,进而即可求得展开式中的系数.【小问1详解】二项式的展开式中第7项为,由题意得,解得.【小问2详解】令,得,所以或,解得,或(舍去).该二项式展开式通项为,令,解得,故展开式中的系数为.16.晚会上共有7个节目,其中有4个不同的歌唱节目,2个不同的舞蹈节目和1个相声节目,分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.(1)其中舞蹈节目第一个出场,相声节目不能最后一个出场;(2)2个舞蹈节目不相邻;(3)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.【答案】(1)1200(2)3600(3)3456【解析】【分析】(1)采用分步计数原理,特殊元素先排计算出结果即可;(2)采用分步计数原理,特殊元素先排,再用插空法即可;(3)先分三类,一种为1个歌唱节目,2个舞蹈节目;另外一种为2个歌唱节目,1个舞蹈节目;最后一种为歌唱节目,舞蹈节目、相声节目各1个;再分步计算,最后求和即可.【小问1详解】按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步:先排第1个节目,有种安排方法,再排最后一个节目,可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后,有种排法,最后余下的节目随便排,有种排法,由分步计数原理得共有种排法.【小问2详解】先排非舞蹈节目,有种排法,将2个舞蹈节目插到6个空中,有种排法,故种排法.【小问3详解】前3个节目共三种情况:一种为1个歌唱节目,2个舞蹈节目,有种排法,另外一种为2个歌唱节目,1个舞蹈节目,有种排法,最后一种歌唱节目,舞蹈节目、相声节目各1个,有种排法,故共有种排法.17.某校对学生餐厅就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升,随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分(满分100分)调查,调查结果统计如下表:男生:评分分组70分以下人数3273832女生:评分分组70分以下频数5353426学校规定:评分大于或等于80分为满意,小于80分为不满意.(1)由以上数据完成下面的列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断学生的就餐满意度与性别是否有关联?满意不满意总计男生女生总计(2)从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研,记X为3人中男生的人数,求X的分布列及数学期望.附:,其中.α0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)表格见解析,无关联;(2)分布列见解析,.【解析】【分析】(1)根据题意得列联表,计算,由独立性检验可得结果;(2)依题意X服从超几何分布,求出其概率得分布列,根据数学期望的定义可得结果.小问1详解】由题意得列联表为:满意不满意总计男生7030100女生6040100总计13070200零假设为:学生对就餐满意与性别无关联,,根据小概率的独立性检验,没有充分证据推断不成立,故可以认为成立,即学生对就餐满意度与性别无关联.【小问2详解】X的所有可能取值为0,1,2,3,X服从超几何分布,则(,1,2,3).即,,,,所以X的分布列为X0123P则.18.2023年全国竞走大奖赛(第1站)暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究,得到相应的试验数据:步频(单位:)0.280.290.300.310.32步长(单位:909599103117)(1)根据表中数据,得到步频和步长近似为线性相关关系,求出关于的回归直线方程,并利用回归方程预测,当步长为时,步频约是多少?(2)记,其中为观测值,为预测值,为对应的残差,求(1)中步长的残差的和,并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.参考数据:,.参考公式:,.【答案】(1),0.27秒,;(2)成立,证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件求得回归方程的系数,即可得回归方程,将代入回归方程,即可得到答案;(2)结合题中数据进行计算,可求得步长的残差和,从而可得结论,结合回归方程系数的计算公式即可证明.。【小问1详解】,,,,所以回归直线方程为,将代入得,解得,所以当步长为时,步频约是0.27秒.【小问2详解】根据(1)得到,;,;,;,;,,所以,即步长残差和为0.对任意具有线性相关关系的两个变量都成立,证明如下:.19.我们学过二项分布,超几何分布,正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布,设一组独立的伯努利试验,每次试验中事件发生的概率为,将试验进行至事件发生次为止,用表示试验次数,则服从负二项分布(也称帕斯卡分布),记作.为改善人口结构,落实积极应对人口老龄化国家战略,保持中国的人口资源优势,我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来,某市的人口出生率得到了一
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