河北省沧州市运东四校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题【含答案解析】

2023~2024学年度第二学期高二年级期中考试试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，从集合A中选一个元素作为点P的横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有（）A.8个 B.10个 C.12个 D.16个【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解.【详解】因为点P在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合B中的负数，根据分步乘法计数原理，横坐标有4种选法，纵坐标有3种选法，则满足条件的点P共有个．故选：C．2.根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】A【解析】【分析】根据题意，由线性回归方程过样本中心点，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知，得，，又经过点，所以，解得．故选：A．3.已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以．故选：B．4.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中不放回地依次取2个数，记“第一次取到的是偶数”为事件A，“第二次取到的是奇数”为事件B，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据实际情况缩小样本空间，利用古典概型求概率公式得到条件概率【详解】在事件A发生后，只有9个数字，其中有5个奇数，所以．故选：C．5.甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A.6种 B.12种 C.15种 D.30种【答案】B【解析】【分析】采用插空法即可得答案.【详解】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座.要求每人左右均有空座，在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法.故选：B.6.已知随机变量，若，，则（）A.15 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为，，所以，即，所以，所以．故选：A．7.在的展开式中，项的系数为（）A.252 B.210 C.126 D.120【答案】B【解析】【分析】根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解.【详解】的展开式的通项为，则的展开式中项的系数为，所以的展开式中项的系数为．故选：B．8.将字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出随机变量的可能取值，再结合排列、组合及古典摡型的概率求得各个值对应的概率，利用期望的公式，即可求解.【详解】字母放入的表格中的不同结果有种，随机变量的可能的取值为，可得，则，所以随机变量的期望为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，则下列说法正确的是（）A.若相关系数，则两个变量负相关B.相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱C.决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好D.决定系数越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好【答案】AC【解析】【分析】根据相关系数的概念可判定AB，根据决定系数的概念可判定CD.【详解】对于A：因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确；对于B：根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误；对于C：决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误．故选：AC．10.随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（）A.随机变量X取值为1，2，3 B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解.【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；则，，故B错误，C正确；又，，所以．故D正确．故选：CD．11.甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】按分别求出的分布列及期望，即可逐项判断得解.【详解】X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，当时，，，，则，，AB正确；当时，，，，，，因此，，C正确，D错误．故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程（且）的解为___________．【答案】2或4【解析】【分析】结合排列数与组合数运算即可得.【详解】由题意，可知，则，所以或.故答案为：2或4.13.某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为______．（若，则【答案】2【解析】【分析】由正态分布的相关性质求解即可.【详解】由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于，由得，，由题意可知，解得，故的最大值为．故答案为：.14.“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G.Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）【答案】【解析】【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可.【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为，所以．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数.（1）求的值；（2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；（2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数.【小问1详解】二项式的展开式中第7项为，由题意得，解得.【小问2详解】令，得，所以或，解得，或（舍去）.该二项式展开式通项为，令，解得，故展开式中的系数为.16.晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；（2）2个舞蹈节目不相邻；（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.【答案】（1）1200（2）3600（3）3456【解析】【分析】（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可；（2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可；（3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可.【小问1详解】按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：先排第1个节目，有种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，最后余下的节目随便排，有种排法，由分步计数原理得共有种排法.【小问2详解】先排非舞蹈节目，有种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法.【小问3详解】前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，最后一种歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法，故共有种排法.17.某校对学生餐厅就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生：评分分组70分以下人数3273832女生：评分分组70分以下频数5353426学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．（1）由以上数据完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生的就餐满意度与性别是否有关联？满意不满意总计男生女生总计（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．附：，其中．α0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，无关联；（2）分布列见解析，．【解析】【分析】（1）根据题意得列联表，计算，由独立性检验可得结果；（2）依题意X服从超几何分布，求出其概率得分布列，根据数学期望的定义可得结果.小问1详解】由题意得列联表为：满意不满意总计男生7030100女生6040100总计13070200零假设为：学生对就餐满意与性别无关联，，根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，即学生对就餐满意度与性别无关联．【小问2详解】X的所有可能取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，则（，1，2，3）．即，，，，所以X的分布列为X0123P则．18.2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频（单位：）0.280.290.300.310.32步长（单位：909599103117）（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．参考数据：，．参考公式：，．【答案】（1），0.27秒，；（2）成立，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将代入回归方程，即可得到答案；（2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.。【小问1详解】，，，，所以回归直线方程为，将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒．【小问2详解】根据（1）得到，；，；，；，；，，所以，即步长残差和为0．对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：．19.我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一