浙教版九年级上册数学3.3 垂径定理知识点分类训练

3.3垂径定理知识点分类训练班级：姓名：考点一：垂径定理的概念例1．下列说法正确的是（）A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心变式1-1．下列说法正确的是（

）A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧变式1-2．下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④考点二：垂径定理的推论例2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则CD的长为（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸变式2-1．如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（A．AC=CB B．OC=CN C．AN=BN D．AM=BM变式2-2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是要（）A．CE=ED B．BC=BD C．OE=BE 考点三：利用垂径定理求值例3．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（

）A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米变式3-1．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BDA．42 cm B．9−42cm C．变式3-2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（

）A．32 B．3 C．4 D．考点四：垂径定理的实际应用例4．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm

A．4.8cm B．5cm C．5.2cm变式4-1．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和AB所围成的区域为种植区．已知AB=30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9变式4-2．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若⊙O的半径为25，AB=36，BC=14，A．20 B．40 C．60 D．80

参考答案考点一：垂径定理的概念例1．下列说法正确的是（）A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心【答案】D【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断．【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．故选：D．变式1-1．下列说法正确的是（

）A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可．【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误；C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误；D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确．故选D．变式1-2．下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根据圆周角定理、垂径定理及确定圆的条件，结合题意进行判断即可．【详解】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①正确；垂直于弦的直径平分这条弦，故②正确；平分弦的直径垂直于弦，这个弦需要排除直径，故③错误;不在同一直线上的三点确定一个圆，故④错误；综上可得正确的是①②故选A考点二：垂径定理的推论例2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则CD的长为（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸【答案】A【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出设圆O的半径OA的长为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．【详解】解：连接OA，∵AB⊥CD∴AE=BE=5，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CE=1，∴OE=x−1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2−x−1即2x=26，解得：x=13，∴CD=26（寸）．故选：A．变式2-1．如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（A．AC=CB B．OC=CN C．AN=BN D．AM=BM【答案】B【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知MN为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．【详解】解：根据MN为⊙O的直径，且MN⊥AB，垂足为C，则MN是垂直于弦AB的直径，满足垂径定理．所以MN是AB的垂直平分线，因而AC=CB，AN=BN，AM=BM，都是正确的．所以选项B、OC=CN不一定成立．故选：B．变式2-2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是要（）A．CE=ED B．BC=BD C．OE=BE 【答案】C【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于AB⊥CD，根据垂径定理有CE=ED，BC=BD，因为OA、OB都为圆的半径，可得OA=OB，不能得出【详解】解：∵AB⊥CD，∴CE=ED，BC=只有当CD垂直平分OB时，OE=BE，所以C选项符合题意；∵OA、OB都为圆的半径，∴OA=OB，所以D选项正确，不符合题意．故选：C．考点三：利用垂径定理求值例3．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（

）A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点O作ON⊥AB于点N，过点C作CM⊥ON于点M，由垂径定理得AN=NB=12AB=0.9，证明四边形CDNM是矩形，得到MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2【详解】解：如图，过点O作ON⊥AB于点N，过点C作CM⊥ON于点M，则AN=NB=12AB=0.9∵CD⊥AB，∴∠CDN=90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2米，设该圆的半径为r米，根据题意得：ON解得：ON=1.2r=1.5即此月亮门的半径为1.5米，故选：C．变式3-1．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BDA．42 cm B．9−42cm C．【答案】C【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接OA、AC，过点O作OE⊥BD，交BD于点E，交AC于点F，交⊙O于点G，易得四边形ABDC、四边形ABEF均为矩形，由垂径定理可得AF=7cm，在Rt△AOF中，由勾股定理可解得OF的长度，进而可计算OE的长度，然后计算圆盘离桌面【详解】解：连接OA、AC，过点O作OE⊥BD，交BD于点E，交AC于点F，交⊙O于点G，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥∵AB=CD=7 cm∴四边形ABDC为平行四边形，又∵AB⊥BD，∴∠ABD=90°，∴四边形ABDC为矩形，∴AC∥BD，∠CAB=∠ABD=90°，∵OE⊥BD，∴OE⊥AC，∴AF=CF=1由∵OA=OG=r=9cm∴在Rt△AOF中，OF=∵OE⊥BD，∴∠BEF=∠CAB=∠ABD=90°，∴四边形ABEF为矩形，∴FE=AB=7cm∴OE=OF+FE=4∴GE=OE−OG=42即圆盘离桌面BD最近的距离是42故选：C．变式3-2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（

）A．32 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接OC,OA,过O作OH⊥AB于H,过O作OQ⊥CD于Q,再利用垂径定理求解OQ=OH=3,再证明四边形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，连接OC,OA,过O作OH⊥AB于H,过O作OQ⊥CD于Q,∵AB=CD=8,∴CQ=1∵OC=OA=5,∴OQ=O∴OQ=OH,∴AB⊥CD,OQ⊥CD,OH⊥AB,∴四边形OQEH是正方形，∴OH=EH=3,∴OE=3故选A．考点四：垂径定理的实际应用例4．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm

A．4.8cm B．5cm C．5.2cm【答案】B【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出BN，CM的长，设ON=x，由勾股定理得到x2+22=(3.5−x)2【详解】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，

∴MN=3.5cm，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CM=12CD=设ON=xcm∴OM=MN−ON=3.5−x∵OM2+M∴OM∴(3.5−x)∴x=1.5，∴ON=1.5cm∴OB=O∴纸杯的直径为2.5×2=5cm故选：B．变式4-1．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和AB所围成的区域为种植区．已知AB=30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作OC⊥AB交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，然后利用勾股定理求出CO，最终可求得CD的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键．【详解】解：如图，作OC⊥AB交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA在⊙O中，∵OC⊥AB∴AC=BC=∵AO=17∴CO=∴CD=OD−CO=17−8=9则种植区的最大深度为9故选：D．变式4-2．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形AB