新教材数学人教A选择性必修第一册课件2.5.1　直线与圆的位置关系

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学习目标1.能根据给定直线与圆的方程,判定直线与圆的位置关系.2.利用圆的几何性质探索解决直线与圆的位置关系相关问题的方法.3.能用直线与圆的方程解决一些简单数学问题与实际问题.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d=

,由

消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.1|直线与圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数①2

1②0

几何法③

d<r

④

d=r

d>r代数法Δ>0⑤

Δ=0

⑥

Δ<0

1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.2|圆的切线1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.

(

✕)提示:直线与圆有公共点,它们可能相交,也可能相切,故结论不正确.2.若直线与圆相交,则相交弦的垂直平分线经过圆的圆心.(√)提示:由直线与圆的相交弦的性质知结论正确.3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立得到的方程组无解.

(√)提示:圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程组一定无解,故结论正确.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.4.过点P和圆相切的直线有两条.

(

✕

)提示:当点P在圆的外部时,有两条切线;当点P在圆上时,有一条切线;当点P在圆内

时,没有切线.因此结论错误.5.设直线l:y=kx+m与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的交点分别为A、B,d为圆心C(a,b)到直线l的距离,则弦长|AB|=2

.

(√)提示:设线段AB的中点为D,则|CD|=d,在直角三角形ACD中,|AD|2=|AC|2-|CD|2,从而|

AB|=2|AD|=2

.因此结论正确.1|直线与圆的位置关系的判定

1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.主要区别是直线与圆的公共点

的个数.2.直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系进行判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的组数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,则通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆

的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆的位置关系满足下

列条件:①相交;②相切;③相离.解析

解法一(代数法):联立

消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).①当直线与圆相交时,Δ>0,即-

<k<

;②当直线与圆相切时,Δ=0,即k=±

;③当直线与圆相离时,Δ<0,即k<-

或k>

.解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d=

=

.由题意知,圆的半径r=1.①当直线与圆相交时,d<r,即

<1,解得-

<k<

;②当直线与圆相切时,d=r,即

=1,解得k=±

;③当直线与圆相离时,d>r,即

>1,解得k<-

或k>

.

过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率

为-

;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半

径r,解出k即可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).

切线长的求法过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长.

切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

的切线,则切线长为

.2|与圆的切线相关问题的求法

过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)

(y0-b)=r2;(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y

0y+D·

+E·

+F=0.(1)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为

(

C)A.1

B.2

C.

D.3(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为

.4解析

(1)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d=

=2

,圆的半径为1,故切线长的最小值为

=

=

.(2)由题意得圆心C的坐标为(3,1).设切点为B,则△ABC为直角三角形,又|AC|=

=

,|BC|=1,所以|AB|=

=

=4,所以切线长为4.

直线与圆相交时的弦长求法如图所示:

3|直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题几何法利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的

关系r2=d2+

解题交点法若直线与圆的交点坐标易求出,则直接用两点间

的距离公式计算弦长公式法设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),

将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数

的关系得弦长l=

|x1-x2|=

圆的中点弦问题(1)如讲解1中的图,线段AB是圆C的弦,D是弦AB的中点,则在解题中可应用以下性

质:①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,则kAB·kCD=-1;②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0=

,y0=

.(2)解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法:①利用根与系数的关系求出中点坐标;②设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程利用作差法求出斜率,此法即为点差

法;③利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦长为4

,求直线l的方程.思路点拨通过讨论直线斜率不存在的情况,可知不符合题意,则可直接设出直线的点斜式

方程.思路一:联立直线与圆的方程,消去y,得到一个关于x的一元二次方程,利用根与系

数的关系结合弦长公式,求出k,进而求出l的方程;思路二:求出圆心到直线l的距离,利用半径长、半弦长、圆心到直线的距离之间

的关系求解.解析

若直线l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切,不合题意,所以直线l的斜率存

在.设直线l的方程为y-5=k(x-5),且与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2).解法一:由

消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.又因为x1+x2=-

,x1x2=

,所以|AB|=

=

=4

.两边平方,整理得2k2-5k+2=0,解得k=

或k=2,均符合题意.故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.解法二:将直线方程y-5=k(x-5),整理成一般式为kx-y+5(1-k)=0.设圆心(0,0)到直线l的距离为d,则d=

,又d=

=

=

,所以

=

,解得k=

或k=2.所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.易错警示设直线斜率求直线方程时,要注意斜率不存在的情况,若斜率不存在时的直线符

合题意,则要注意补充.

解决实际问题的一般步骤(1)阅读理解,认真审题,了解问题的实际情境,把握问题的数学本质.(2)引进数学符号,具体分析问题中的数量关系,正确建立数学模型,将实际问题转

化为数学问题.(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答,求得结果.(4)转化为具体问题,作出解答.

用坐标法解决平面几何问题的思维过程

4|利用直线、圆的方程解决实际问题与平面几何问题一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮

船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中

心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?信息提取①台风影响的范围是以台风中心为圆心、30km为半径的圆形区域;②轮船从台

风中心正东70km处,向位于台风中心正北40km处的港口航行.数学建模以航海中的实际问题,航线及受台风影响的范围为背景,建立直线与

圆位置关系的模型.建立平面直角坐标系,将问题转化为探索圆与直线是否相交,

只需用点到直线的距离公式即可判断.解析

以台风中心为坐标原点,东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示),

其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为

+

=1,即4x+7y-28=0,圆心(0,0)到l:4x+7y-28=0的距离d=

=

,因为

>3,所以直线与圆相离.故轮船不会受到台风的影响.解题模板解决直线与圆的实际应用题的步骤1.审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.2.建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.3.求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.4.还原:将运算结果还原到实际问题中去.

利用圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析

几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离.(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设

(θ为参数),代入目标函数,利用三角函数知识求最值.5|如何解决与圆有关的最值问题已知圆C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点.(1)求

的最大值与最小值;(2)求x-2y的最大值与最小值.思路点拨(1)形如u=

形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题;(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-

x+

的截距的最