新高考数学二轮复习专题培优练习专题08 函数中的情景题与数学文化题（解析版）

专题08函数中的情景题与数学文化题一、单选题1．（2023届福建省三明市高三三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在SKIPIF1<0的素数中，当SKIPIF1<0，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，SKIPIF1<0是素数，其它都是合数.除了SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在SKIPIF1<0型素数研究中所做的开创性工作，就把SKIPIF1<0型的素数称为“梅森素数”，记为SKIPIF1<0.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数SKIPIF1<0，第8个梅森素数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0约等于（参考数据：SKIPIF1<0）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【答案】D【解析】由已知可得SKIPIF1<0.故选D2．（2023届海南省高三上学期期末学业水平诊断）天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，一个望远镜能看到的最暗的天体星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等M与其口径D（即物镜的直径，单位：mm）近似满足关系式SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0口径的望远镜的极限星等约为10.3．则SKIPIF1<0口径的望远镜的极限星等约为（

）A．12.8 B．13.3 C．13.8 D．14.3【答案】B【解析】由题意SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故选B.3．（2023届四川省绵阳市高三下学期3月月考）通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量SKIPIF1<0（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当SKIPIF1<0时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时SKIPIF1<0约为（SKIPIF1<0）（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】解析根据题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选C4．（2023届陕西省咸阳市武功县高三下学期5月模拟）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为样本距今年代，SKIPIF1<0为现代活体中碳14放射性丰度，SKIPIF1<0为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度SKIPIF1<0，该人类骨骼碳14放射性丰度SKIPIF1<0，则该骨骼化石距今的年份大约为（

）（附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．3353 B．3997 C．4125 D．4387【答案】B【解析】由题知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选B.5．（2024届重庆市第八中学校高三上学期测试）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行SKIPIF1<0次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行SKIPIF1<0次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0秒 B．SKIPIF1<0秒 C．SKIPIF1<0秒 D．SKIPIF1<0秒【答案】B【解析】设所需时间为SKIPIF1<0秒，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0秒，故选B.6．（2024届江西省宜春市丰城市江西省丰城中学高三上学期开学考）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示每一轮优化时使用的学习率，SKIPIF1<0表示初始学习率，SKIPIF1<0表示衰减系数，SKIPIF1<0表示训练迭代轮数，SKIPIF1<0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为SKIPIF1<0，衰减速度为SKIPIF1<0，且当训练迭代轮数为SKIPIF1<0时，学习率为SKIPIF1<0，则学习率衰减到SKIPIF1<0以下（不含SKIPIF1<0）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：SKIPIF1<0）（

）A．75 B．74 C．73 D．72【答案】C【解析】由题设可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以所需的训练迭代轮数至少为SKIPIF1<0次．故选C．7．（2023届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为SKIPIF1<0，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星编号12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8实测值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由表格可得SKIPIF1<0，故选D8．（2023届上海市七宝中学高三5月第二次模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量SKIPIF1<0与时间t的关系为SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0SKIPIF1<0的大小评价在SKIPIF1<0这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（

）

A．在SKIPIF1<0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；B．在SKIPIF1<0时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；C．在SKIPIF1<0时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；D．甲企业在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这三段时间中，在SKIPIF1<0的污水治理能力最强【答案】D【解析】设甲企业的污水排放量SKIPIF1<0与时间t的关系为SKIPIF1<0，乙企业的污水排放量SKIPIF1<0与时间t的关系为SKIPIF1<0.对于A选项，在SKIPIF1<0这段时间内，甲企业的污水治理能力SKIPIF1<0，乙企业的污水治理能力SKIPIF1<0.由图可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；对于B选项，由图可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时刻的切线斜率小于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时刻的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在SKIPIF1<0时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；对于C选项，在SKIPIF1<0时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；对于D选项，由图可知，甲企业在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这三段时间中，在SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的差值最大，所以在SKIPIF1<0时的污水治理能力最强，故D选项正确，故选D.9．（2023届安徽省A10联盟高三最后一卷）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量SKIPIF1<0进制随机数据中，以SKIPIF1<0开头的数出现的概率为SKIPIF1<0，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的值为（SKIPIF1<0）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依题意，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选B．10．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为SKIPIF1<0.经测定，刚下课时，空气中含有SKIPIF1<0的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为SKIPIF1<0，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数SKIPIF1<0描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（

）（参考数据SKIPIF1<0）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小整数值为SKIPIF1<0.故选B11．（2024届陕西省渭南市富平中学高三上学期开学考试）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的SKIPIF1<0倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（

）．（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．8037年 B．8138年 C．8237年 D．8337年【答案】B【解析】由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选B.12．（2024届湖南省衡阳市第八中学高三上学期开学检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.若数列SKIPIF1<0，则下列结论:①SKIPIF1<0的函数图像关于直线SKIPIF1<0对称；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0.其中正确的是（

）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤【答案】D【解析】对于①：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0对称，若SKIPIF1<0为无理数，则SKIPIF1<0也是无理数，SKIPIF1<0，也关于SKIPIF1<0对称，若SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0是既约的真分数，则SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0是互质的，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是真分数，若SKIPIF1<0不是既约分数，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0必定存在公约数SKIPIF1<0，不妨假设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0存在大于1的公约数，与题设矛盾，故SKIPIF1<0也是既约分数，SKIPIF1<0，即关于SKIPIF1<0对称，故①正确；对于②，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故②错误；对于③，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，故③错误；对于④，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故④正确；对于⑤，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故⑤正确；故选D.二、多选题13．（2024届】湖南省长沙市高三上学期入学考试）济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则下列关于悬链线函数SKIPIF1<0的性质判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0为偶函数 B．SKIPIF1<0为奇函数C．SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】AC【解析】∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为偶函数，A正确，B错误；又∵SKIPIF1<0在R上单调递增，且SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0，C正确；则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为a，D错误；故选AC.14．（2024届贵州省遵义市凤冈县第二中学高三上学期9月月考）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，SKIPIF1<0等星的星等值为SKIPIF1<0.已知两个天体的星等值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和它们对应的亮度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<0，关于星等下列结论正确的是（

）A．星等值越小，星星就越亮B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于SKIPIF1<0D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对选项A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以星等值越小，星星就越亮，故A正确；对选项B，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B正确；对选项C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，C错误；对选项D，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D正确.故选ABD.15．欧拉函数SKIPIF1<0的函数值等于所有不超过SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0互素（两个数的最大公约数为1）的正整数的个数，例如SKIPIF1<0.欧拉函数具有以下性质：如果SKIPIF1<0是互素的正整数，那么SKIPIF1<0.下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0为素数，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0为奇数，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】在不超过5的正整数中与5互素的正整数有1，2，3，4，所以SKIPIF1<0，在不超过8的正整数中与8互素的正整数有1，3，5，7，所以SKIPIF1<0，5与8互素，所以SKIPIF1<0，故A正确；若SKIPIF1<0为素数，则SKIPIF1<0与其前面SKIPIF1<0个正整数互素，所以SKIPIF1<0，故B正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错误；因为在不超过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0互素的正整数有1，3，5，…，SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选ABD16．麦克斯韦妖（Maxwell＇sdemon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…n）SKIPIF1<0，定义X的信息熵SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（

）A．n=1时SKIPIF1<0B．n=2时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0正相关C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且SKIPIF1<0（j=1,2,…,m）则SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，A正确；对于B，当n=2时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0正相关，B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C错误；对于D，若SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的所有可能的取值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，D正确.故选ABD17．（2023届河北省衡水中学高三第四次综合素养测评）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，对于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，若存在正整数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个周期为SKIPIF1<0的周期点.给出下列四个结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0存在唯一个周期为1的周期点；B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0存在周期为2的周期点；C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不存在周期为3的周期点；D．若SKIPIF1<0，则对任意正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不是SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0的周期点.【答案】AD【解析】解：对于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，2，3，SKIPIF1<0，若存在正整数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个周期为SKIPIF1<0的周期点．对于①，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0周期为1的周期点，SKIPIF1<0，故A正确；对于②，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0周期为2的周期点，则SKIPIF1<0解得,SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0不存在在周期为2的周期点，故B错误；对于③，当SKIPIF1<0时，易见有两个周期点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0时，周期点有4个，SKIPIF1<0同理，SKIPIF1<0时，周期点有8个，SKIPIF1<0故③错误；对于④，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是周期点，故D正确．故选AD．三、填空题18．（2023届广东省六校联考）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间SKIPIF1<0均分为三段，去掉中间的区间段SKIPIF1<0，记为第一次操作；再将剩下的两个区间SKIPIF1<0分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于SKIPIF1<0，则需要操作的次数SKIPIF1<0的最小值为.（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】12【解析】由题意可知，每次操作剩下的区间长度为都是原来的SKIPIF1<0，第n次操作后剩下的区间长度为SKIPIF1<0，则所有去掉的区间长度之和为SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两边取对数得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又n为整数，∴n的最小值为12．19．（2023届江苏省淮安市淮安区高三上学期期中）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时min．【答案】35【解析】根据题意，不妨设直线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35min.20．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为SKIPIF1<0，一年四季均可繁殖，繁殖间隔SKIPIF1<0为相邻两代间繁殖所