2021-2022学年新教材高中数学3函数的概念与性质章末综合测评含解析新人教A版必修第一册

章末综合测评（三）函数的概念与性质

（满分：150分时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.函数=4i+x+；的定义域是（）

A.[-1,+8）B.（一8,0）U（0,+8）

C.[-l,0）U（0,+°°）D.R

[1+%20,

C[要使函数有意义，需满足即—1且%W0.]

[九W0,

3x+1,xWl,

2.已知小）=1+3,x>1,贝植3）=（）

A.7B.2

C.10D.12

D[V3>1,

.,./（3）=32+3=12.]

3.已知函数八天）=/一4x,xe[l,5],则函数式x）的值域是（）

A.[-4,+8）B.[-3,5]

C.[-4,5]D.（-4,5]

C[由兀^=/一以=（彳一2）2—4,

当无=2时，犬犬）取到最小值一4,

当x=5时，黄尤）取得最大值5,

故值域为[-4,5].]

4.函数/U）=aV+bx+4（a,6不为零），且次5）=10,则八一5）等于（）

A.—10B.—2

C.-6D.14

B「・7（5）=125〃+5b+4=10,

.,.125«+5/7=6,

：.f（-5）=-125a-5b+4

——（125。+5/?）+4

=-6+4=­2.]

5.偶函数"r）在区间[0,+8）上单调递增，若八一2）=1,则式x—2）W1的x的取值范

围是（）

A.[0,2]B.[-2,2]

c.[0,4]D.[-4,4]

C[因为函数«x)是偶函数，八一2)=1,所以式2)=1.因为八x—2)Wl,所以一2Wx—2

W2,解得0WxW4.故选C.]

6.下列选项中，两个函数表示同一个函数的是()

A.y=?y=l

B.y=(«)2,y=\x\

C.八无)=|x|,g(x)=N?

D.y=>(x-Ip,y=[(尤—

Y

C[A.y=?勺定义域为{RxWO},y=l的定义域为R,定义域不同，不是同一个函数；

B.y=(5)2的定义域为[0,+8),y=|x|的定义域为R,不是同一个函数；C.Kx)=|x|与g(尤)

定义域和对应关系相同，故是同一个函数；D.y=d(x_])2=|x—41,y—yl(x—l)3=x—

1,对应关系不同，不是同一个函数.]

7.已知二次函数—2依+1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是

()

A.QW2或B.2WaW3

C.aW—3或—2D.——2

A[y=j^-2ax+l=(x—tz)2+1—a2,

由已知得，或a》3.]

8.如果函数八x)=f+"+c对于任意实数/都有汽2+。=/(2—力，那么()

A.月2)勺(1)勺(4)B.汽1)勺(2)勺(4)

C.八4)勺(2)勺(1)D.汽2)勺(4)勺(1)

A[由12+。=/(2—。，可知抛物线的对称轴是直线x=2,再由二次函数的单调性，可

得#2)勺(1)勺(4).]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()

A.y=xB.y=j1?

C.y=~~D.y=x4

AB[对于A,y=x为其定义域上的增函数，是奇函数，A正确；对于B,y=%3为其

定义域上的增函数，是奇函数，B正确；对于C,y=一：为奇函数，但只在(一8,0)和(0,

+8)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除C;对于D,为偶函数，排

除D,选AB.]

10.函数y=/在［T,l］上是（）

A.增函数B.减函数

C.奇函数D.偶函数

AC［由赛函数的性质知，当a>0时，y=;1a在第一象限内是单调递增的，所以

在（0,1］上单调递增.令y=/（x）=xH,尤曰一1,1］,则五一x）=（一尤）==—x==—/（尤），所以八尤）

=x于是奇函数.

,3,

因为奇函数的图象关于原点对称，所以当尤C［—1,0）时，y=x号也是单调递增的.

当x=0时，y=0,又当尤<0时，y=x~<0,当x>0时，y=x=>0,所以>=尤丁在［一

1,1］上是增函数.

故y=x1■在［—1,1］上是增函数且是奇函数.］

11.函数40是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（）

A.式0）=0

B.若兀0在［0,+8）上有最小值—1,则八尤）在（-8,0］上有最大值1

C.若五X）在［1,+8）上单调递增，则五X）在（一8,—1］上单调递减

D.若x>0时，/（x）=x2—2%,则x<0时，f（x）=—^—2x

ABD［/（X）为R上的奇函数，则犬0）=0,A正确；其图象关于原点对称，且在对称区

间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D,x<0时，

—x>0,八一x）=（——2（—x）=/+2x,又|-x）=-/（x）,所以/（x）=—/-2x,即D正确.］

12.已知二次函数人尤）=加+2℃+1在区间［—2,3］上的最大值为6,则a的值为（）

A.3B.

C.5D.-5

BD［/（X）=QX2+2QX+1=〃（％+1>+1—a,对称轴％=—1,

当〃>0时，图象开口向上，在［-2,3］上的最大值为

7（3）=9〃+6〃+1=6,所以

当〃<0时，图象开口向下，在［-2,3］上的最大值为

f（—1）=〃一2〃+1=6,所以〃=—5.

综上，〃的值为4或一5.］

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

f2x+l,x20,

13.已知函数人工）=彳/八则八一3）=______.

照十2）,x<0,

3[V-3<0,.-./-3)=/(-3+2)=/(-1)=/(-1+2)=/(1).

Vl>0,.*.X1)=2X1+1=3,.•・/(—3)=3.]

3

14.函数/(%)=不力在［—5,—4］上的值域是.

_3-133

—5，—1［函数在(-8,—2)上单调递减，:一4,I.—4+2

3金，

3r3

即一—1,值域为一］,—1.］

/+而，

1'若五2—。2)次a),则实数。的取值范围是_______.

{4x—X2,x<0,

fx2+4x,xNO,

(—2,1)「・・危)=/2n

［4x—x2,x<0,

由函数图象(图略)知«X)在(-8,+8)上是增函数，

・,•由12—*次〃)，得/+〃一2<0,解得一2<a<l.］

16.已知函数/(x—l)=/+(2〃一2)%+3—2a

(1)若函数兀0在区间［—5,5］上为单调函数，则实数〃的取值范围为；

(2)若兀I)在区间［—5,5］上的最小值为一1,则〃的值为.(本题第一空2分，第

二空3分)

⑴(一8,-5］U［5,+8)(2)+73［令］—1=4则x=/+l,加)=«+1)2+(2〃-2〉«

+1)+3—2«=Z2+2^+2,所以7(X)=X2+2QX+2.

(1)因为/(x)图象的对称轴为x——a,

由题意知一aW—5或一。25,

解得或—5.

故实数4的取值范围为(一8,-5］U［5,+8).

14

(2)当a>5时，加0最小值=7(—5)=27—104=-1,解得〃=歹(舍去)；

当一时，/(%)最小值=/(—a)=一层+2=-1,解得

14L

当〃<—5时，段)最小值=/(5)=27+10Q=—1,解得Q=一弓"(舍去).综上，a=±\!3.］

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)对于任意％£R,函数“x)表示一x+3,$+；，X2—4x+3中的

较大者，求八入)的最小值.

31

［解］“函数於)表示一x+3,永+京X2-4X+3中的较大者”是指对某个区间而言,

函数/(尤)表示一x+3,玄+；,/—4x+3中最大的一个.

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3),8(1,2),C(5,8).

从图象观察可得函数犬x)的表达式：

,■X2—4尤+3(xW0),

一尤+3(0<xW1),

危)=<3,1,入、

那+］(1<%・5),

'X2—4x+3(x>5).

«r)的图象是图中的实线部分，

图象的最低点是点5(1,2),所以加)的最小值是2.

18.(本小题满分12分)已知函数八x)=|尤一l|+|x+l|Q6R),

(1)证明：函数式方是偶函数；

(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象;

⑶写出函数的值域.

［解］(1)由于函数定义域是R,,a.X-x)=|-x-l|+|-x+l|=|x+l|+|x-l|=Xx).

是偶函数.

~2x,x<—1,

(2)f(x)=<2,—IWxWl,

lx,x>\,

图象如图所示：

(3)由函数图象知，函数的值域为［2,+°°).

cix\h］

19.（本小题满分12分）已知函数人工）为R上的奇函数且式1）=亍

⑴求by

（2）判断大元）在［1,+8）上的单调性并证明；

（3）当了£［—4,一1］时，求«x）的最大值和最小值.

［解］⑴:危）为R上的奇函数，

・・・川）=0,得6=0,

a+b1

又於1）="2-=29••a=1»

•.①。、）一齐二？

（2讥尤）在［1,+8）上为减函数，证明如下：

设工2>%121,

•依2fx产嬴一品

（曷+1）%2-（元+1）%1

（Xl+1）（^+1）

国2一或冷+X2—即

（%1+1）（%2+1）

（Xl—X2）（X1、2-1）

=（后+1）（始+1）.

•.”2>X121,.\X1X2~1>0,即一X2〈0,

.\y（X2）-Axi）<0,即八%2）〈人为），

・・.“X）在［1,+8］上为减函数.

（3）・・・危）为奇函数且/（X）在［1,+8）上是减函数，

・,./（%）在（一8,—1］上为减函数，

又工£［—4,-1］,

41

・7/（x）的最大值为八-4）=-F，7（%）的最小值为八一D=~2-

20.（本小题满分12分）大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到

12km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在一55℃.

（1）当地球表面大气的温度是。℃时，在xkm的上空为>℃,求〃、％、y间的函数关系

式；

（2）问当地表的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？

［解］（1）由题设知，可设y—〃=fcv（0W九W12,左V0）,即y="+Ax

依题意，当％=12时，y=-55,

—55="+12k,

55+a

解得k=121

Y

当0WxW12时，一五(55+〃).

又当x>12时，>=一55.

工所求的函数关系式为

x

。一五(55+〃)，0WxW12,

、一55,x>12.

3

(2)当〃=29,%=3时，y=29一适(55+29)=8,

即3km上空的温度为8℃.

21.(本小题满分12分)已知1%)是二次函数，且满足人0)=2,加+l)-/(x)=2x+3.

(1)求函数次元)的解析式；

(2)设/i(x)=«r)—2比，当尤e［1,3］时，求函数力。)的最小值.

［解］⑴设二次函数式为=加+加：+。(0/0),.7/(0)=c=2,

••7(x+l)-Ax)=2x+3,

［a(x+l)2+/?(x+l)+c］—(ojr+te+^^Zx+S,

即2or+a+b=2尤+3,

=2,

==

J•ct\fZ?2,

〔Q+A=3,

：.f(x)=^+2x+2.

(2)由(1)知7z(x)=^+(2-20x+2,xG［1,3］,

.•./z(x)的对称轴为X=t—lf

当KI