2025年高考数学一轮复习-6.5.2-余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练【含答案】

余弦定理、正弦定理应用举例一、单项选择题1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502m B．503mC．252m D．2522．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m3．火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法．由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键．位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥．工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，过长会影响火箭发射)，如图，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一高为h的标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B的俯角分别为α，β.则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为()A．ℎsinαcosβC．ℎcosαcosβ4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985)()A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m二、多项选择题5．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的点C与点D(点B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC6．如图，甲船从A1出发以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距52nmile.当甲船航行12min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5nmile，下面说法正确的是()A．乙船的行驶速度与甲船相同B．乙船的行驶速度是152nmile/hC．甲、乙两船相遇时，甲行驶了1+D．甲、乙两船不可能相遇三、填空题7．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝________．8．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600m到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________m.9．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题(如图1)：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD＝800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH＝________步．(古制单位：180丈＝300步)10．如图，某湖有一半径为1km的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距2km的点A处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且∠BAC＝90°，AB＝AC.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________km2.四、解答题11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．(1)求此山的高度；(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tanθ.12．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝2π3，∠CBD＝π4，CD＝26(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①∠CDE＝7π12；②cos∠DBE＝(2)在(1)条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)，最长为多少？参考答案1．A[由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝2．B[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得ABsin∠ACB＝则BC＝2100012×sin15°＝105006−2，因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(6−2)3．C[在Rt△BCD中，BC＝CDcos∠BCD＝在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝π2－α由正弦定理可得：ABsin∠ACB＝即ℎsinα−β＝CDcos所以CD＝ℎcos4．B[如图，设球的半径为R，则AB＝3R，AC＝Rtan∵BC＝Rtan10∴R＝1001tan＝100sin10°2sin30°−10°＝50sin∴2R＝500.985≈5．ACD[解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.对于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解Rt△ABC得到AB的值；对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值；对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE.由于cos∠ACB＝CBAC，cos∠BCD＝CEBC，cos∠ACE＝CEAC，所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC6．AD[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×1260＝5(nmile)，而B2A2＝5nmile，∠A1A2B2则△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5nmile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝52nmile，由余弦定理得：B1B2＝A1B12+A1B22−2A1延长B1B2与A1A2延长线交于O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10(nmile)，OB2＝53(nmile)，OB1＝5(3＋1)(nmile)，所以甲船从出发到点O用时t1＝1025＝25(h)，乙船从出发到点O用时t2＝53+125＝3+157．53−54[在△PAD中，由正弦定理得PD＝ADsin∠APD·sin15°＝252在△PDC中，PC＝10，故sin∠PCD＝sin45°PC·PD因为cosθ＝sin∠PCD，所以cosθ＝538．10015[由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝12CD＝300，BC＝32CD＝300又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin45°＝CDsin60°，所以在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×所以AB＝10015.]9．3280[由题可知BC＝DE＝48×300180＝80步，BF＝100步，DG＝120步，BD在Rt△AHF中，AHHF＝BCBF＝在Rt△AHG中，AHHG＝DEDG＝所以HF＝54AH，HG＝32则HG－HF＝800－100＋120＝820＝14AH所以AH＝3280步．]10．5+52[在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cosθ，AB＝5−4cos∴S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC＝12·OA·OB·sinθ＋12·AB2，∴S四边形OACB＝sinθ－2cosθ＋52，则S四边形OACB＝5sin(θ－φ)＋52(其中tanφ＝2)，当sin(θ－φ)＝1时，S四边形OACB取最大值5+52，所以“直接监测覆盖区域11．解：(1)设此山高hkm，则AC＝ℎtan在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4.根据正弦定理得ACsin∠ABC＝即ℎsin120°解得h＝2(6+(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE.则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin45°，DC＝AC·tan30°，所以tanθ＝DCCE＝612．解：(1)在△BCD中，由正弦定理知BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴解得BD＝6.选①：∵∠BCD＝2π3，∠CBD＝∴∠BDC＝π－(∠BC