2023-2024学年四川省成都市青羊区石室联中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年成都市青羊区石室联中教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。1.如果a>b，那么下列各式中正确的是(

)A.a−3<b−3 B.a3<b3 C.2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(

)A.(2−x)(−2−x)=x2−4 B.x2−1+y4.如图，平行四边形ABCD中，∠A+∠C=260°，则∠A的度数为(

)A.130°

B.100°

C.80°

D.50°5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若BC=52，PB′=3，则BB′=(

)A.2 B.22 C.36.一次函数y=mx−n的图象如图所示，则关于x的不等式mx−n<0的解集是(

)A.x>2

B.x<2

C.x>3

D.x<37.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是(

)

A.12 B.1 C.65 8.在平面直角坐标系xOy中，将点A(4,−2)先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点B，则点B的坐标是(

)A.(2,2) B.(2,−6) C.(6,2) D.(6,−6)二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.因式分解：2x2−8=10.若一个正多边形的内角和等于外角和的两倍，则该正多边形的边数是______．11.若分式x−3x的值为0，则x的值为______．12.如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为______．13.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若AE=2，OC=3，则ED=______．14.已知a−b=4，ab=−2，则a3b−2a215.已知关于x，y的方程组x+2y=2m+12x+y=m+2的解满足不等式x−y>2，则m的取值范围为______．16.有6张大小形状相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5，6这6个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为m，能使关于x的分式方程2x−mx−1=3的解为正整数的概率是______．17.小明在研究中点问题时，进行了以下探索：

(1)【问题感悟】如图1，四边形BDEC中，BD//CE，BD=2，CE=3，点N、M分别是BC、DE的中点，小明利用中点的特点，作射线DN、EC交于G.请帮小明求出MN的长，则MN=______；

(2)【迁移应用】如图2，四边形BDEC中，BD与CE不平行，BD=CE=2，延长BD、CE交于点A，夹角∠A=60°(AC>AB>2)，点N、M分别是BC、DE的中点，则线段MN的长为______．18.如图，在△ABC中，AC=4，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AD平分∠CAB交BC于点D，则AD的长为______，若P为直线AB上一动点，以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，则CQ的最小值为______．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.（12分）(1)解方程：2−xx−3+13−x=2；

(2)20.（6分）先化简.再求值：(xx−1−1)÷x2−xx21.（8分）如图，平面直角坐标系中、已知点A(−2,4)，B(−4,1)，C(0,1)．

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；

(2)将△A1B1C1绕C22.（10分）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交于点A(−33,0)，与y轴交于点B，且与正比例函数y=233x的图象交于点C(m,6)．

(1)求m的值和一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；

(2)求△OBC的面积；

(3)在x轴上是否存在点M，平面内是否存在一点23.（12分）数学活动课上，老师组织同学们进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的学习活动，在三角形卡片ADO中，∠ADO=90°，AD=2，将△ADO绕O旋转180°得到△CBO，连接CD、AB，量得∠ABD=30°．

(1)如图1，求△ABC的面积；

(2)将等腰直角三角形卡片ACE(∠ACE=90°,CA=CE)的一条直角边与AC重合，直角顶点与C重合，与四边形ABCD拼成如图2所示的平面图形，请求出点E到直线CD的距离；

(3)一斜边长度与AD相等的等腰直角三角板ADE(∠E=90°,∠ADE=45°)如图3摆放，再将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，△AED旋转后的三角形记为△AE′D′，在旋转过程中，直线D′E′所在的直线与直线BD，AB交于P，Q两点，当PQ=BQ时，请求出E′Q的长．24.（8分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同．

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？25.（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+6与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．

(1)求证：△BOC≌△CED；

(2)如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；

(3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.（12分）小明同学了解到旋转的“瓜豆原理”后，联想到翻折，进行了如下探索与应用．

(1)【联系与探索】如图1，△ADC为等边三角形，点B在射线CD上运动，将△ABD沿直线AD翻折得△AB′D，再把线段AB′沿直线AC翻折将到线段AE，连接DE交AC于F，连接B′F，同时把线段AD绕点A逆时针旋转120°得到线段AD′，直线D′E与直线BC交于M．

①请写出∠BAE=______度：

②求证：四边形AD′MC为菱形；

③猜想线段AF与线段BC的数量关系，并证明；

(2)【整理与应用】如图2，在(1)的条件下，若AC=12，求2AE+EM的最小值(直接写出)．

参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.B

6.C

7.B

8.A

9.2(x+2)(x−2)

10.6

11.3

12.5

13.3+14.−32

15.m<−1

16.1617.2.5

318.6

219.解：(1)2−xx−3+13−x=2，

2−x−1=2(x−3)，

解得：x=73，

检验：当x=73时，x−3≠0，

∴x=73是原方程的根；

(2)x−2≤2x①−1+x3>x−1②，

解不等式①得：x≥−2，

20.解：(xx−1−1)÷x2−xx2−2x+1

=x−(x−1)x−1⋅(x−1)2x(x−1)

=x−x+1x−1⋅(x−121.(1)如图，△A1B1C1即为所求．

由图可得，点A1的坐标为(−2,−4)．

(2)如图，△22.解：(1)∵将点C(m,6)代入y=233x，

∴6=233m，

∴m=33，

∴C(33,6)，

将A(−33,0)，C(33,6)代入一次函数的解析式为y=kx+b得：

−33k+b=033k+b=6，

解得k=33b=3，

∴一次函数y=kx=b(k≠0)的表达式为y=33x+3；

(2)在y=33x+3中，令x=0得y=3，

∴B(0,3)，

∴S△OBC=123.解：(1)∵∠ADO=90°，

∴△ABD是直角三角形，

在Rt△ABD中，AD=2，∠ABD=30°，

∴BD=ADtan30∘=23，

∴S△ABC=12S▱ABCD=S△ABD=12AD⋅BD=12×2×23=23，

∴△ABC的面积为23；

(2)过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，

∵∠ACE=90°，

∴∠ACM+∠ECM=90°，

又∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠CAM=∠ECM，

∵CM⊥CD，EH⊥DC，

∴CM//EH，

∴∠ECM=∠CEH，

在△ACM和△ECH中，

∠M=∠CHE=90°∠CAM=∠CEHAC=CE，

∴△ACM≌△ECH(AAS)，

∴AM=EH，

∵∠ADO=90°，AD//BC，

∴∠CBD=90°，

∵∠ABD+∠CBM=90°，∠ABD=30°，

∴∠CBM=60°，AB=ADsin30∘=4，

∴BM=BC⋅cos60°=1，

∴AM=AB+BM=4+1=5，

∴点E到直线CD的距离为5；

(3)当24.解：(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，

根据题意，得90x=15040−x，

解得x=15，

经检验x=15是原方程的解．

∴40−x=25．

答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；

(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，

根据题意，得960<15y+25(48−y)≤1000，

解得20≤y<24．

∵y是整数，

∴y取20，21，22，23，共有4种方案．

方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，

方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，

方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，

方案四：购进甲种玩具2325.证明：(1)∵线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，

∴CB=CD，∠BCD=90°，

∴∠BCO+∠DCE=90°，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠DCE=∠OBC，

在△OBC和△ECD中，

∠BOC=∠CED∠OBC=∠ECDBC=CD，

∴△OBC≌△ECD(AAS)，

(2)∵y=−12x+6与x轴、y轴相交于A、B两点，

∴A(12,0)，B(0,6)，

设OC=m，

由(1)知△OBC≌△ECD，

∴OC=DE，CE=OB，

∴D(6+m,m)，

∵点D在直线AB上，

∴−12(6+m)+6=m，

解得m=2，

∴D(8,2)，C(2,0)，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则b=62k+b=0，

∴k=−3b=6，

∴直线BC得到解析式为y=−3x+6，

设B′C′的解析式为y=−3x+n，

∵点D在直线B′C′上，

∵−3×8+n=2，

∴n=26，

∴直线B′C′的解析式为y=−3x+26，

∴C′(263,0)，

∴OC′=263，

∴CC′=OC′−OC=263−2=203，

∴△BCD平移的距离为203．

(3)∵C(2,0)，D(8,2)，

当CD为平行四边形的一边时，如图，

∴P1Q1可看成CD平移得到，

∴Q1横坐标为6，

当x=6时，y=3，

∴Q1(6,3)，

26.(1)①120；

②证明：线段AD绕点A逆时针旋转120°得到线段AD′，

∴∠DAD′=120°，AD′=AD，

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=60°，AC=AD，

∴AD′=AC，

∵∠DAC=60°，

∴∠CAD′=60°，

∴∠CAD′=∠ACD，

∴AD′//CM，

由①知，

∠BAE=120°，

∴∠BAE=∠DAD′，

∴∠BAD=∠D′AE，

∵AB=AB′=AE，

∴△ABD≌△AED′(SAS)，

∴∠D′=∠ADB=180°−∠ADC=120°，

∴∠D′+∠CAD′=180°，

∴AC//D′M，

∴四边形AD′MC是平行四边形，

∴▱AD′MC是菱形；

③解：BD=2AF，理由如下：

由②知，

AC//D′M，四边形AD′MC是菱形，BD=D′E，

∴DFEF=CDCM=1，CM=AC=BC，AC=D′M，

∴DF=EF，AF+CF=EM+D′E，D′M=CD