2023-2024学年广西百色市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西百色市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=3+i1+i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(

)A.(2,−1) B.(2,−2) C.(2,1) D.(2,2)2.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则(

)

A.男生投篮水平比女生投篮水平高

B.女生投篮水平比男生投篮水平高

C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定

D.男女同学投篮命中数的极差相同3.若|a|=2，|b|=4，向量a与b的夹角为120°，则向量a在向量bA.−34b B.−14b4.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为(

)A.415 B.715 C.8155.设D为△ABC所在平面内一点，BD=2DC，M为AD的中点，则MB=A.56AB−13AC B.16.如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光.某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且AB=307米，∠AOB=150°，则雁鸣塔的高度OP=(

)A.30米 B.302米 C.303米7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2−aA.33 B.233 8.足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中AB=AA1=2，A1B1=4，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体ΩA.16π

B.323π

C.48π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是(

)A.当α⊥β时，若β//γ，则α⊥γ

B.当m⊥α，n⊥β时，若α//β，则m//n

C.当m⊂α，n⊂β时，α//β，则m，n是异面直线

D.当m//n，n⊥β时，若m⊂α，则α⊥β10.《数术记遗》记述了积算(即筹算)、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间(单位：min)分别为93，93，88，81，94，91，90.则这组时间数据(

)A.极差为13 B.中位数为81 C.平均数为90 D.方差为2511.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=23，且b2+A.A=π3

B.△ABC面积的最大值为332

C.若D为边BC的中点，则AD的最大值为3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩分别为85，93，99，101，103，130，90，116，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为______．13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−bc−a=sinAsinC+sinB，则B=14.已知在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别是边BC，AC上的动点，且CN=BM，则AM⋅MN的最大值是______四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，

(1)求a⋅b的值；

(2)16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PC的中点，PD=AD=BD=2，∠ADB=90°．

(1)PA//平面BDE；

(2)求三棱锥P−BDE的体积．17.(本小题15分)

某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；

(2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率．18.(本小题17分)

在①asinB=bsin(A−π3)；②(a+b)(sinA−sinB)=(b+c)sinC；③3bsinB+C2=asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．

问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____．

(1)求角A；

(2)若A的角平分线19.(本小题17分)

如图，正四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．

(Ⅰ)求证：AC⊥SD；

(Ⅱ)求二面角P−AC−D的大小；

(Ⅲ)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC．

若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．

参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.B

8.D

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.109.5

13.π314.−415.解：(1)已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，

则a⋅b=|a||b|cos〈a,b〉=2×6×12=6；

(2)设向量a−b与b的夹角为16.解：(1)证明：连接AC∩BD=F，连接EF，

∵底面ABCD是平行四边形，∴F为AC的中点，又E为PC的中点，

∴PA/​/EF，又PA⊄平面BDE，且EF⊂平面BDE，

∴PA/​/平面BDE；

(2)∵PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PC的中点，

又PD=AD=BD=2，∠ADB=90°，

∴三棱锥P−BDE的体积为VP−BDE=V17.解：(1)成绩落在[70,80)的频率为：

1−(0.3+0.15+0.10+0.05)=0.40，

补全频率分布图如下：

∴这800名学生的平均成绩为：

55×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67(分)；

(2)抽取的40名学生在，成绩在[80,90)内的有800×0.1×40800=4(人)，记为a，b，c，d，

成绩在[90,100]内有800×0.05×40800=2(人)，记为e，f，

从这6人中任选2人，不同的取法有15种，分别为：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，

设事件A表示“至少有1名学生成绩不低于90分”，

则事件A包含的基本事件有9个，分别为：

(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，

∴至少有1名学生成绩不低于18.解：(1)若选①，因为asinB=bsin(A−π3)，所以sinAsinB=sinBsin(A−π3)，

因为sinB≠0，所以sinA=sin(A−π3)，

所以A=A−π3，(舍去)或A+A−π3=π，

可得A=2π3．

若选②，因为(a+b)(sinA−sinB)=(b+c)sinC，

所以(a+b)(a−b)=(b+c)c，整理可得b2+c2−a2=−bc，

可得cosA=b2+c2−a22bc=−12，

又A∈(0,π)，

所以A=2π3．

若选③，因为3bsinB+C2=asinB，可得3sinBsinB+C219.解：

(Ⅰ)证明：连接BD

交AC

于O，连接SO；

∵四棱锥S−ABCD是正四棱锥，且底面是正方形；

∴OB，OC，OS三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系；

设OB=1，由已知可得：A(0,−1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(−1,0,0)，S(0,0,3)，P(−34,0,34)；

∴AC⋅SD=(0,2,0)⋅(−1