2023-2024学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x2+xA.32 B.34 C.522.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为(

)A.0.75 B.0.6 C.0.52 D.0.483.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2A.852 B.85 C.170 D.4.已知命题p：∀x∈(0,π2),2πx<sinx<xA.真，￢p：∃x∈(0,π2)，2πx≥sinx≥x

B.真，￢p：∃x∈(0,π2)，2πx≥sinx或sinx≥x

C.假，￢p：∃x∈(0,π25.已知随机变量ξ,η,ξ∼B(9,13),η∼N(μ,σ2)，且E(η)=D(ξ)，若A.0 B.−1 C.1 D.26.集合{x∈Z|ex+1≤x+e}的子集个数为(    )(其中e为自然对数的底数A.2 B.4 C.8 D.167.设数列{an}满足a1=1,an=ln(A.m≥2 B.1≤m≤2 C.m≥3 D.2≤m≤3二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.已知定义在R上的单调递增的函数f(x)满足：任意x∈R，有f(1−x)+f(1+x)=2，f(2+x)+f(2−x)=4，则(

)A.当x∈Z时，f(x)=x

B.任意x∈R，f(−x)=−f(x)

C.存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x+T)=f(x)

D.存在非零实数c，使得任意x∈R，|f(x)−cx|≤19.等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是A.{ln|an|}为等差数列 B.若a2>a1且a5>10.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得−1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜.在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的.若规定两人起始分都为2分，记Pi(i=0,1,2,3,4)为“甲累计总分为i时，甲最终获胜”的概率，则(

)A.一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5 B.P(0)=0，P(4)=1

C.Pi=0.2Pi+111.已知函数f(x)=x(ex−a)2，A.若a=0，则f(x)≥x

B.∃a∈R，使得f(x)在(−∞,+∞)上单调递增

C.若x=1为f(x)的极值点，则a=e

D.∀a∈R，坐标平面上存在点P，使得有三条过点P的直线与f(x)的图象相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E(X)=______．13.设正实数x，y满足x2+xy−1=0，则x214.设高斯函数[x]表示不超过x的最大整数(如[2.1]=2，[3]=3，[−1.7]=−2)，已知an=[37×10n],b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为p(0<p<1)，每局比赛没有平局．

(1)若赛制为3局2胜，p=23，求最终甲获胜的概率；

(2)若赛制为5局3胜，记f(p)为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求f(p)的最大值及此时p的值．16.(本小题15分)

已知数列{an}满兄an+1=anan+1，a1=12，数列{bn}的前n项和为Sn，且2S17.(本小题15分)

目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车.为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．

(1)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．好评差评合计青年20中老年10合计40100(2)设消费者的年龄为x，对无人驾驶出租车的体验评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.5x+15，且年龄x的方差为sx2=9，评分y的方差为sy2=25.求y与x的相关系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱(当|γ|≥0.75时，认为相关性强，否则认为相关性弱)．

附：b​=i=1nP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(本小题17分)

已知函数f(x)=(lnx)2+a(lnx+1)x,a>0．

(1)求证：x>0时，ex>x2；

(2)讨论f(x)19.(本小题17分)

已知函数f(x)，定义：对给定的常数a，数列{an}满足a1>a，f′(an+1)=f(an)−f(a)an−a，则称数列{an}为函数f(x)的“L(a)−数列”.(f′(x)为f(x)的导函数)

(1)若函数f(x)=x2，数列{an}为函数f(x)的“L(−1)−数列”，且a1=1，求{an}的通项公式；

(2)若函数g(x)=lnx，数列{an}为函数g(x)参考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.C

6.C

7.A

8.ABD

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.6513.214.4285

2

15.解：(1)设前两局比赛甲赢为事件A，

可得P(A)=(23)2=49；

设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B，

可得P(B)=C21×23×13×23=827，

则甲胜的概率为P(A)+P(B)=2027；

(2)若恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利，

此时前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢，

所以f(p)=C32p2(1−p)p=316.解：(1)∵an+1=anan+1，∵1an+1=1an+1，

∴数列{1an}是以1a1=2为首项，1为公差的等差数列，

∴1an=1a1+(n−1)=2+n−1=n+1，

∴an=1n+1；

∵2Sn=3n+1−3，

当n=1时，217.解：(1)根据题意可得2×2列联表如下：好评差评合计青年203050中老年401050合计6040100∴K2=100(20×10−30×40)250×50×60×40≈16.667>10.828，

∴有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关；

(2)∵sx2=1100i=1100(xi−x−)218.(1)证明：设g(x)=x2e−x，x>0，则g′(x)=x(2−x)e−x，x>0，

当g′(x)>0时，0<x<2，则g(x)在(0,2]上单调递增，

当g′(x)<0时，x>2，则g(x)在[2,+∞)上单调递减，

所以g(x)≤g(2)=4e2<1，

即x2e−x<1⇒ex>x2．

(2)解：由题意f(x)定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=2xlnx+−alnxx2=(2x−a)lnxx2，x>0，a>0，

①当a=2时，函数f′(x)=2(x−1)lnxx2，

当0<x≤1时，(x−1)lnx≥0；当x>1时，(x−1)lnx≥0，

故当x>0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；

②0<a<2时，

当x∈(0,a2)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,a2)和(1,+∞)上单调递增；

当x∈(a2,1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(a2,1)上单调递减；

③a>2时，

当x∈(0,1)∪(a2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,1)和(a2,+∞)上单调递增；

当x∈(1,a2)时，f′(x)<0，函数f(x)在(1,a2)上单调递减；

(3)证明：由(2)知：

①当a=2时，f(x)在(0,+∞)19.解：(1)f(x)=x2⇒f′(x)=2x，由题意，有2an+1=an2−1an+1=an−1，

则an+1+1=12(an+1)，又a1+1=2，所以{an+1}是以2为首项、以12为公比的等比数列，

所以an+1=12n−2，从而an=12n−2−1．

(2)证明：由题可得1an+1=lnanan−1，

①设φ(x)=lnx−x+1，φ′(x)=1x−1，

可知当x