专题1.7图形的变化（2）（上海中考7个考点真题训练）中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）（解析版）

一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2005•上海）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．cotB＝【分析】Rt△ABC中，根据勾股定理就可以求出斜边AB，根据三角函数的定义就可以解决．【解答】解：由勾股定理知，AB＝＝＝．∴sinB＝，cosB＝，cotB＝．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．2．（2003•上海）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，则对角线BD＝．∴BD′＝BD＝．∴tan∠BAD’＝＝．【点评】本题主要考查了正切函数的定义．二．特殊角的三角函数值（共2小题）3．（1997•上海）求值：tan30°＝．【分析】利用特殊角的三角函数值，即可求解．【解答】解：tan30°＝．故答案是：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆是关键．4．（1999•上海）（1）计算：；（2）解不等式组：【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解答．（2）首先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求它们解集的公共部分．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝6+4；（2）不等式①的解集是x＜5，（2分）不等式②的解集是x＞，∴原不等式组的解集是＜x＜5．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值及一元一次不等式组的解法．三．解直角三角形（共15小题）5．（2020•上海）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【分析】如图，过点E作EH⊥BC于H．首先证明△ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2015•上海）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4﹣4．【分析】作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，再根据旋转的性质得AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E＝45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，所以DH＝AD﹣AH＝8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E＝45°得到EH＝CH＝4，于是可得DE＝EH﹣DH＝4﹣4．【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣30°）＝75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠ACB＝∠CAD+∠E，∴∠E＝75°﹣30°＝45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝4，∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝4﹣4．故答案为4﹣4．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．7．（2004•上海）在△ABC中，∠A＝90°，设∠B＝θ，AC＝b，则AB＝b•cotθ（用b和θ的三角比表示）．【分析】根据三角函数定义求解．【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，BC为斜边，∴AB＝AC•cot∠B＝b•cotθ．【点评】本题考查三角函数定义的应用．8．（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．【分析】（1）解锐角三角函数可得解；（2）解法一：连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF＝FD，由勾股定理可得AD＝2，EF＝2，即可求tan∠FBD．解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点．9．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝；（2）方法一：∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD＝＝，∴AD＝5﹣＝，则＝．方法二：∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝﹣1＝，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠BFD＝∠BEA，∵∠FBD＝∠EBA，∴Rt△BFD∽Rt△BEA，∴．【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，由勾股定理求出AB＝3，求出∠ADE＝∠A＝45°，由三角函数得出AE＝，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH＝BH＝BE•cos45°＝2，得出CH＝1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB＝＝即可．【解答】解：（1）∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝＝3，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝AD•cos45°＝2×＝，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣＝2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝BE•cos45°＝2×＝2，∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△CHE中，cot∠ECB＝＝，即∠ECB的余切值为．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．11．（2014•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD＝，求BE的值．【分析】（1）根据∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD＝BD，则∠B＝∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B＝∠CAH，由AH＝2CH，可得出CH：AC＝1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB＝1：，再由AB＝2，得AC＝2，则CE＝1，从而得出BE．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°∴∠BCD+∠ACH＝90°∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得AC＝CH，∴CH：AC＝1：，∴sinB＝；（2）∵sinB＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．∵∠CAH＝∠B，∴sin∠CAH＝sinB＝＝，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝2，∴BC＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．12．（2012•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cosA＝．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；（2）由于D为AB上的中点，求出AD＝BD＝CD＝，设DE＝x，EB＝y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可．【解答】解：（1）∵AC＝15，cosA＝，∴cosA＝＝，∴AB＝25，∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD＝（或12.5）；（2）方法一：∵BC2＝AB2﹣AC2＝400AD＝BD＝CD＝，∴设DE＝x，EB＝y，∴，解得x＝，∴sin∠DBE＝＝＝．方法二：∵AC＝15，cosA＝，∴AB＝15÷＝25，∴BC＝20，cos∠ABC＝＝，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠ABC，∴cos∠DCB＝cos∠ABC＝，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴cos∠DCB＝，即＝，∴CE＝16，∴DE＝CE﹣CD＝16﹣12.5＝3.5，∴sin∠DBE＝＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，综合性较强．13．（2009•上海）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，连接AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．【分析】（1）当AD＝2时，AD＝AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；（2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求；AQ＝2﹣x，BC＝3，则△APQ与△BPC的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式，由于AB＝2，AD＝，所以，＝，而点P在线段BD上，所以PC有最大值和最小值，即可确定出PQ的最大值和最小值，即可得出结论．（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证Rt△PCF∽Rt△PQE，则∠EPQ＝∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC＝90°．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ABC＝90°．当AD＝2时，AD＝AB，∴∠D＝∠ABD＝45°，∴∠PBC＝∠D＝45°．∵，∴PQ＝PC，∴∠C＝∠PQC＝45°，∴∠BPC＝90°．∴PC＝BC•sin45°＝3×．（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFP是矩形．∴PF＝BE．又∵∠BAD＝90°，∴PE∥AD，∴Rt△BEP∽Rt△BAD．∴．设BE＝4k，则PE＝3k，∴PF＝BE＝4k．∵BQ＝x，∴AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x．∴S△AQP＝AQ•PE＝（2﹣x）•3k，S△BPC＝BC•PF＝×3×4k＝6k．∵，∴，即y＝﹣x+．过D作BC的垂线DM，在直角△DCM中，DC＝＝＝．当P在D点时，x最大，则PC＝DC＝，而，得PQ＝，利用勾股定理得到AQ＝，所以此时BQ＝∴0≤x≤．（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFP是矩形．∴PF＝BE，∠EPF＝90°．又∵∠A＝90°，∴PE∥AD．∴Rt△BEP∽Rt△BAD．∴，∴．∴．又∵，∴．∴Rt△PCF∽Rt△PQE，∴∠EPQ＝∠FPC．∵∠EPQ+∠QPF＝∠EPF＝90°，∴∠FPC+∠QPF＝90°，即∠QPC＝90°．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．14．（2009•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．（1）求tan∠ACB的值；（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．【分析】（1）作梯形的一条高AE，发现30°的直角三角形ABE，根据锐角三角函数求得BE，AE的长，再进一步求得CE的长，从而完成求解过程；（2）显然MN是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可．再作梯形的另一条高，根据全等三角形和矩形的性质求得梯形的上底．【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E．在Rt△ABE中，BE＝AB•cosB＝8×cos60°＝4，AE＝AB•sinB＝8×sin60°＝4，∴CE＝BC﹣BE＝12﹣4＝8．在Rt△ACE中，tan∠ACB＝．（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．∴AD＝EF，DF＝AE．∵AB＝DC，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）∴CF＝BE＝4，EF＝BC﹣BE﹣CF＝12﹣4﹣4＝4，∴AD＝4．又∵M、N分别是AB、DC的中点，∴MN是梯形ABCD的中位线，∴MN＝（AD+BC）＝（4+12）＝8．【点评】（1）结合等腰梯形的特点，构造直角三角形，然后根据三角函数的定义来求∠ACB的正切值．（2）在等腰梯形上添加辅助线，将等腰梯形划分为两个全等的直角三角形和一个矩形，然后求得AD的长，再由梯形的中位线的性质求线段MN的长．15．（2007•上海）如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝．求：（1）点B的坐标；（2）cos∠BAO的值．【分析】作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的三角函数值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再代入三角函数进行求解．【解答】解：（1）如图，作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH＝3．∴OH＝4，∴点B的坐标为（4，3）；（2）∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6，在Rt△AHB中，∵BH＝3，∴AB＝3，∴cos∠BAO＝．【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．16．（2006•上海）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C＝∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，在Rt△ABD中，∵sinB＝，AD＝12，∴，∴AB＝15，∴BD＝，又∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝5；（2）在Rt△ACD中，∵E为斜边AC的中点，∴ED＝EC＝AC，∴∠C＝∠EDC，∴tan∠EDC＝tanC＝．【点评】此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”等知识点．17．（2003•上海）将两块三角板如图放置，其中∠C＝∠EDB＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，AB＝DE＝6，求重叠部分四边形DBCF的面积．【分析】观察可看出，所求四边形的面积等于等腰直角三角形的面积减去S△ADF，从而我们只要求出这两个三角形的面积即可，这要求我们综合利用解直角三角形，直角三角形的性质和三角函数的灵活运用来解答．【解答】解：在△EDB中，∵∠EDB＝90°，∠E＝30°，DE＝6，∴DB＝DE•tan30°＝6×＝2，∴AD＝AB﹣DB＝6﹣2．又∵∠A＝45°，∠AFD＝45°，得FD＝AD．∴S△ADF＝AD2＝×（6﹣2）2＝24﹣12．在等腰直角三角形ABC中，斜边AB＝6，∴AC＝BC＝3，∴S△ABC＝AC2＝9，∴S四边形DBCF＝S△ABC﹣S△ADF＝9﹣（24﹣12）＝12﹣15．【点评】此题要求我们综合利用解直角三角形，直角三角形的性质和三角函数的灵活运用来解答．18．（2002•上海）如图，已知四边形ABCD中，BC＝CD＝DB，∠ADB＝90°，cos∠ABD＝．求S△ABD：S△BCD．【分析】设BD＝4x，则可以得到AB，AD的长，从而利用三角形的面积公式分别求得两个三角形的面积，从而就可求得面积比．【解答】解：设BD＝4x∵cosABD＝，∴AB＝5x．则AD＝3x，在等边△BCD中，BD边上的高为2x，∵S△ABD＝×3x×4x＝6x2，S△BCD＝×4x×2x＝4x2，∴S△ABD：S△BCD＝6x2：4x2＝：2．【点评】此题考查学生对等边三角形的性质及综合解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．19．（2001•上海）如图，在△ABC中∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．【分析】根据，就是已知CD：AD＝3：5，因而可以设CD＝3x，AD＝5x，AC＝4x．根据BD＝4，就可以得到关于x的方程，就可以求出x，求出各线段的长度，求出sinB的值．【解答】解：（1）在直角△ACD中，＝，因而可以设CD＝3x，AD＝5x，根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，解得x＝2，因而BC＝10，AC＝8，CD＝6；（2）在直角△ABC中，根据勾股定理得到AB＝2，∴sinB＝＝＝．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，正确求出图形中的线段的长是解决本题的关键．四．解直角三角形的应用（共4小题）20．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．21．（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB＝计算即可；（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得＝＝＝，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD＝DC＝9m，AD＝6m，∴AB＝＝＝3m，∴sinB＝＝＝．（2）∵EF∥AD，BE＝2AE，∴＝＝＝，∴＝＝，∴EF＝4m，BF＝6m，∴DF＝3m，在Rt△DEF中，DE＝＝＝5m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ＝PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP＝39m．在直角△APH中，PH＝＝＝36（米）；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH＝AH•cot30°＝15（米）．在Rt△CDQ中，DQ＝＝＝78（米）．则PQ＝PH+HQ＝PH+DQ﹣DH＝36+78﹣15≈114﹣15×1.7＝88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少约需要89米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠EAH＝53°，则∠EAH＝53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH＝AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．∵∠EAB＝143°，∠BAG＝90°，∴∠EAH＝∠EAB﹣∠BAG＝53°．在△EAH中，∠EHA＝90°，∠AEH＝90°﹣∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•cos∠AEH≈1.2×0.80＝0.96（米），∵AB＝1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96＝2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）24．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2.4，AE＝10米，AE⊥BD，∵i＝＝，∴BE＝24米，∴在Rt△ABE中，AB＝＝26（米）．故答案为：26．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．25．（2005•上海）如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为20sinα米（结果用含α的三角比表示）．【分析】利用所给角的正弦函数求解．【解答】解：∵sinα＝，∴BC＝AB•sinα＝20sinα．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．26．（2004•上海）某山路坡面坡度i＝1：，沿此山路向上前进200米，升高了10米．【分析】根据垂直高度与水平宽度的比得到垂直高度与斜坡的比，代入相应的数值计算求解．【解答】解：∵坡面坡度i＝1：，∴山坡的垂直距离：山坡的水平距离＝1：．设斜面高为t，斜坡水平距离为t，由勾股定理的：＝20t∴山坡的坡长：山坡的垂直距离＝20：1．沿山路行进200米，坡长＝200米．∴山坡的垂直距离应为10米，即升高了10米．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中进行解决．要注意的是坡度是坡角的正切函数．27．（2008•上海）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．（1）请你帮助小王在图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i＝1：0.75是坡面CE的坡度），求r的值．【分析】（1）由图形是关于半径OC所在直线为对称轴的轴对称图形，将图形补画完整．（2）由坡面CE的坡度求得CH、EH的长，再在△DOH中，运用勾股定理求得圆O的半径r．【解答】解：（1）补全图形如下：（2）解：由已知OC⊥DE，垂足为点H，则∠CHE＝90°．∵i＝1：0.75，∴．在Rt△HEC中，EH2+CH2＝EC2．设CH＝4k，EH＝3k（k＞0），又∵CE＝5，得（3k）2+（4k）2＝25，解得k＝1．∴EH＝3，CH＝4．∴DH＝DE+EH＝7，OD＝OA+AD＝r+7，OH＝OC+CH＝r+4．在Rt△ODH中，OH2+DH2＝OD2，∴（r+4）2+72＝（r+7）2．解得：r＝．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数、勾股定理的运用能力．28．（1999•上海）有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1＝1：1.2，斜坡BC的坡度i2＝1：0.8，大堤顶宽DC为6米．为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图）．当新大堤顶宽EF为3.8米时，大堤加高了几米？【分析】分别过E、F作DC的垂线，设垂足为G、H；可设大坝加高了x米，在Rt△DEG和Rt△FHC中，分别用坡面的铅直高x和坡比表示出各自的水平宽，即DG、CH的长，进而可表示出DC的长，已知了DC长6米，由此可列出关于x的方程，即可求出大堤加高的高度．【解答】解：作EG⊥DC，FH⊥DC，G、H分别为垂足，（1分）那么四边形EFHG是矩形；∴GH＝EF＝3.8．（1分）设大堤加高x米，那么EG＝FH＝x米．（1分）∵i1