2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【原卷版】[A级基础达标]1.在△ABC中，sin2A=sinA.12 B.−12 C.322.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=2,c=23,A=π6，且b<cA.3 B.2 C.22 D.33.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是114，110，A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在4.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinC=45，c=4,B=A.1 B.2 C.1或7 D.2或145.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.若acosA=B.若sin2A=C.若a=1，b=2，A=30D.若△ABC是锐角三角形，则sinA+6.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:47.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若A=π3，c=4,△ABC的面积为23，则△ABC8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)⋅cosC=c(cosA+cosB)，a=4,9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,c=3（1）求角A；（2）若a=7,b+c=19,求△ABC的面积[B级综合运用]10.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13A.31010 B.1010 C.−101011.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cA.A=πB.A=πC.当a=4时，△ABC面积的最大值为23D.当b−c=3a312.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若AF=1，FD=2，则AB=.13.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,从下列四个条件①a=2c；②C=π6；③cosB=−24；④b=7中选出三个条件，能使满足所选条件的14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且3a−2c（1）求角C；（2）设AC=6，BC=4，若P为AB上一点，且满足AP=CP，求AP的长.[C级素养提升]15.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sinB=5sinC,A=2C，则△ABC的周长为，若O为△ABC的内心，则16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足①C=2B;②bcosA=acos（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；（2）若D为线段AB上一点，且∠BCD=12B，CD=4注:若（1）中选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】[A级基础达标]1.在△ABC中，sin2A=sin2B+A.12 B.−12 C.32[解析]选B.因为sin2A=所以由正弦定理得a2=则cosA=b2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=2,c=23,A=π6，且b<c，则b=A.3 B.2 C.22 D.3[解析]选B.由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA⇒4=b2+12−6b，即b23.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是114，110，15A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在[解析]选C.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c，且a,b,c边上的高分别为114,110,1则12a⋅令a=14，则b=10，c=5,所以cosA=100+25−1962×10×5<0，所以A4.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinC=45，c=4,B=π4A.1 B.2 C.1或7 D.2或14[解析]选C.由csinC=bsin因为sinC=45，所以cosC=−3所以sinA=sin(B+C)=sinπ4cosC+所以S△ABC=12bc5.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(AD)A.若acosA=B.若sin2A=C.若a=1，b=2，A=30D.若△ABC是锐角三角形，则sinA+[解析]选AD.由正弦定理可知asinA=bsin所以acosA=asinA，可得tanA=1因为2A∈(0,2π)，2B∈(0,2π)，且内角2A，2B所以由sin2A=sin2B可知，2A=2B或2A+2B=π，即A=B所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；由正弦定理可得sinB=b因为B∈(0,π)，所以B=因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>π2即π2>A>又y=sinx在(0,所以sinA>sin(πsin(π2−A)=cos6.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4[解析]设内角A，B，C的对边分别为a,b,c,因为sinA:sinB:sinC=3:2:4，所以a:b:c=3:2:4，设a=3k,b=2k,c=4k,k>07.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若A=π3，c=4,△ABC的面积为23，则△ABC[解析]由S△ABC=12bcsinA由余弦定理a2=b2+所以a=23,由正弦定理，得△ABC外接圆的半径R=a8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)⋅cosC=c(cosA+cosB)，a=4,[解析]由正弦定理得(sinA+所以sinAcos所以sinAcosC−sinC又A，B，C是三角形的内角，A−C+C−B=A−B∈(−π,π)所以A−C=C−B，所以A+B=2C，所以C=π3，由余弦定理得c2=a9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,c=3（1）求角A；[答案]解：因为c=3asinC−ccos又sinC≠0,所以1=3sinA−cos又A∈(0,π)，所以A=（2）若a=7,b+c=19,求△ABC的面积[答案]因为a=7,b+c=19,A=所以由a2=b2+c2−2bccosA所以S=12[B级综合运用]10.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则A.31010 B.1010 C.−1010[解析]选C.设△ABC中角A，B，C的对边分别是a,b,c，由题意可得13a=csinπ4=22c,则a=322c11.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cacosA.A=πB.A=πC.当a=4时，△ABC面积的最大值为23D.当b−c=3a3[解析]选BD.由3cacosB=tanA+tan即3(tanA+tanB)所以tanA=3,又A∈(0,π)若a=4，由b2+c2−即bc≤16，当且仅当b=c=4时，等号成立，所以S△ABC=即△ABC面积的最大值为43由b−c=3a3得b=c+3a3，将其代入所以(3c−a)(3c+2a)=0，因为a>0，c>0即b=2c，所以满足b2=a2+12.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若AF=1，FD=2，则AB=13.[解析]由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA=π3，所以∠BDA=2π3，根据条件△AFC与△BDA全等，所以AF=BD=1.在△ABD中，AD=3，BD=1，所以A13.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,从下列四个条件①a=2c；②C=π6；③cosB=−24；④b=7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是①③④（填写相应的序号），所选三个条件下的c[解析]选①②④或①②③，由a=2c及正弦定理，得sinA=2sinC=2×12=22,所以A=π4或A=3π4，不满足题意；选①③④，由余弦定理，得cosB=a2+c2−b14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且3a−2c（1）求角C；[答案]解：因为3a−2csin所以由正弦定理可得sinC(12sinB+32cosB)=32sinA所以sinC=3cosC又因为C∈(0,π),所以C=（2）设AC=6，BC=4，若P为AB上一点，且满足AP=CP，求AP的长.[答案]因为AC=6，BC=4，所以由余弦定理得AB2=AC2解得AB=27（负值舍去），所以cosA=设AP=x,则cosA=62+x故AP的长为372[C级素养提升]15.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sinB=5sinC,A=2C，则△ABC的周长为15，若O为△ABC的内心，则[解析]由4sinB=5sinC,得4sin(A+C)=5sinC,即4(sinAcosC+cosAsinC)=5sinC.又A=2C，所以4(sin2CcosC+cos2CsinC)=5sinC，即4[2sinCcos2C+(2cos2C−1)sinC]=5sinC.因为A=2C设△ABC内切圆的半径为r,则有12absinC=12(a+b+c)⋅r,即1216.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足①C=2B;②bcosA=acos（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；[答案]解：①③⇒②.由③及余弦定理的推论，得cosB=a因为B∈(0,π)，所以B=由①C=2B，可得C=π2所以A=π4=B，则有所以bcosA=a①②⇒③.由②及正弦定理，得sinBcos所以sin(A−B)=0因为A，B∈(0,π)，