吉林省四平市2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试题（解析版）

四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高一数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算和加减法法则计算出，得到对应的点坐标，得到答案.【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，所以在复平面内对应的点在第一象限.故选：A．2.菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（）A.由两个圆台组成 B.由一个圆锥和一个圆台组成C.由两个圆锥组成 D.由两个棱台组成【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可.【详解】将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.故选：C3.在中，角所对的边分别为，若，则（）A. B.2 C.1或2 D.2或【答案】C【解析】【分析】由余弦定理即可求.【详解】由余弦定理得，化简得，解出或2.故选：C.4.如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.【详解】由直观图可得，在中，，且，所以，所以周长为.故选：D.5.已知平面向量满足，且，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解．【详解】因为，所以，即，设夹角为，则，，又因为，所以，故选：D．6.如图，在中，为的中点，则（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.【详解】由题意知.故选：C.7.平面内顺次连接所组成的图形是（）A.平行四边形 B.直角梯形C.等腰梯形 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可.【详解】因为，所以，，所以，，∥，所以四边形为直角梯形.故选：.8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（）A.70米 B.80米 C.90米 D.100米【答案】A【解析】【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解.【详解】由题，所以，故在中，由余弦定理得，所以即，（舍去）或，故铁塔的高度是70米.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（）A.是虚数 B.的虚部为C. D.【答案】AD【解析】【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解.【详解】因为，所以，A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确；B选项中，的虚部为1，B错误；C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误；D选项中，，，，D正确．故选：AD．10.若是平面内两个不共线向量，则下列说法不正确的是（）A.可以表示平面内的所有向量B.对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对C.均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使D.若存在实数，使，则【答案】BC【解析】【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项.【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确；对于C项，当时，则，此时任意实数均有，故C项不正确.故选：BC.11.在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（）A.B.面积的最大值为C.若为边中点，则的最大值为3D.若为锐角三角形，则其周长的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题．【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长，由于是锐角三角形，因此即解出，则则，则，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，解得.故答案为：1.13.如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则_____________.【答案】【解析】【分析】利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比，再结合割补法即可得解.【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，设上底面面积为，则下底面面积为，则，，所以，所以.故答案为：.14.在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________.【答案】3【解析】【分析】将向量进行转化得，从而得解.【详解】记，又，所以，所以，解得.故答案为：3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果；（2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果.【小问1详解】设底面圆的直径为，则其高也为；由题可知，圆柱的体积，解得，因此圆柱的侧面积为；【小问2详解】因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长，所以三棱柱的体积．16.已知向量，且.（1）求的值；（2）求向量与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.（2）运用平面向量夹角公式计算即可.【小问1详解】因为，，所以，解得.故的值为3.小问2详解】由（1）知，，所以，所以，所以.故与的夹角的余弦值为.17.在中，内角的对边分别为a,b,c，向量且.（1）求角；（2）若，求内切圆的半径.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得；（2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径.【小问1详解】因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以.【小问2详解】由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以的面积，设内切圆的半径为，所以，解得.18.如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.（1）若是边的中点，求的值；（2）当时，请确定点的位置.【答案】（1）（2）是线段靠近处的四等分点【解析】【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.（2）设，则，结合数量积运算即可.【小问1详解】由题意知，由于是边的中点，因此，因此.【小问2详解】不妨设，因此，又，所以解得，即，故是线段靠近处的四等分点.19.在平面四边形中（在的两侧），.（1）若，求；（2）若，求四边形的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【