广东省深圳技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

深圳技术大学附属中学高一下第二次月考数学试题命题：张涛涛审题：林凯标时间：120分钟分值：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.设向量，若，则实数的值等于（）A.-2B.C.2D.3.复数的共轭复数是，若，则（）A.1B.C.D.4.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化“暨”喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）①的值为0.005；②估计成绩低于60分的有25人；③估计这组数据的众数为75；④估计这组数据的第85百分位数为86.A.②③B.①③④C.①②④D.①②③5.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若是异面直线，，则6.在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（）A.B.C.D.7.解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡的影响.为了测量其高度，在地面上共线的三点处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高约为（）A.B.C.D.8.如图，中，与交于，则为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按比例给分，有选错的得0分.9.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（）A.是钝角三角形B.的面积是的面积的2倍C.是等腰直角三角形D.的周长是10.在中，角所对的边分别为，下列命题是真命题的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则只有一解C.若，则D.若为锐角三角形，则11.如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（）A.直线为异面直线B.二面角的余弦值为C.直线与平面所成角的正切值为D.过点的平面截正方体的截面面积为9三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式组的解集为__________.13.若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是__________.14.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量满足.（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求在方向上的投影向量.16.（15分）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及频率分布直方图：周跑量周）人数周跑量周人数100150120601303018010220（1）请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）将周跑量在区间内的跑步爱好者依次记为三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人，求这三个组分别抽取的跑步爱好者人数；（3）根据以上图表数据，估计样本的下四分位数､众数及平均数（结果保留一位小数）.17.（15分）锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.18.（17分）如图所示，已知平面平面为等边三角形.为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线和平面所成的角的正弦值.19.（17分）已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值；（2）判断并用定义法证明函数的单调性；（3）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围高一下第二次月考数学参考答案1234567891011CBBBCDBACDACDBC1.【答案】C【详解】由题意可得.故选：C2.【答案】B【详解】由题设，，又，解得.3.【答案】B【详解】设复数，则，因，即，即，则，解得，因此，，所以.4.【答案】B【详解】对于①，由，得.故①正确；对于②，估计成绩低于60分的有人.故②错误；对于③，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故③正确；对于④，设这组数据第85百分位数为，则，解得：，故④正确.故选：B5.【答案】C【详解】对于A，利用垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知A正确；对于B，利用平行于同一平面的两个平面互相平行，可知B正确；对于相交时，若与交线平行，则，故C不正确；对于D，若是异面直线，，可得内的两条相交直线平行于，则，故D正确.故选：C.6.【答案】D【详解】如图，分别是正三棱柱上､下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心，外接球半径.其中.点为外接圆圆心，为外接圆半径，为正三角形，（是边中点）.所以外接球半径.从而外接球体积为.故选：D.，7.【答案】B【详解】由题知，设，则，又，所以在中，，①在中，，②联立①②，解得.故选：B.8.【答案】A【详解】，，同理，向量还可以表示为，所以解得，所以，所以，所以为，故选：A.9.【答案】CD【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，为的中点，，因为，所以，，则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.在中，，过作轴垂线，垂足为，所以，所以的面积是的面积是的面积是的面积的倍，故B错误.故选：CD10【答案】ACD【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得，则，因为，则，可得，即，所以为等腰三角形，故A正确；对于选项B：若，则，所以有两解，故B错误；对于选项C：若，有正弦定理可得，则，即，因为，则，可得，所以，故C正确；对于选项D：若为锐角三角形，则，可得，且，则在上单调递增，所以，又因为，则，可得，所以，故D正确.故选：ACD.11【答案】BC【详解】对于A，连接，则为矩形，则，而点分别是棱的中点，故，则四点共面，故直线，不是异面直线，A错误；对于B，连接交于点，连接平面，平面，故，又平面，故平面，即为二面角的平面角，又，故，B正确；对于C，由于平面，故即为直线与平面所成角，而，故，C正确；对于D，连接，则，则梯形即为过点，的平面截正方体的截面，而，故等腰梯形的高为，故等腰梯形的面积为，即过点的平面截正方体的截面面积为，D错误，故选：BC12.【答案】【详解】由题意，不等式，即，解得或；又由，即，解得，所以不等式的解集为或.即原不等式的解集为.13.【答案】80【详解】由题意可设这10个数据为，其方差为，则，故，故答案为：80.14.【答案】【详解】因为，由余弦定理得：，因为，由勾股定理逆定理得：，直四棱柱中，底面为平行四边形，故，点是半圆弧上的动点（不包括端点），故为直径，取的中点，则为三棱锥的外接球球心在平面的投影，设与相交于点与相交于点，连接，则因为，故，故三角形为等边三角形，，即为的中点，同理可得：为的中点，连接，则平面，故球心在线段上，显然，当点与点重合时，三棱锥的外接球半径最小，假如点与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，如图1，点与点重合，连接，设，则，，由勾股定理得：，即，解得：，此时外接球表面积为；如图2，当点与或重合时，连接，其中，设，则，由勾股定理得：，，故，解得：，此时外接球半径为，故外接球表面积为，但因为点是半圆弧上的动点（不包括端点），故最大值取不到，综上：S的取值范围是.故答案为：15.答案：（1）；（2）.（3）在方向上的投影向量：【解析】【小问1详解】.【小问2详解】由，得，所以.故.【小问3详解】由题意得，即，得，所以.因为，所以，在方向上的投影向量：16.【答案】（1）答案见解析（2）（3）四分位数约为21.2，众数为32.5，平均数为28.5【详解】（1）的频率为的频率为，全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）将周跑量在区间内的跑步爱好者依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人，区间内的频率分别为：，内抽取的跑步爱好者人数为人，内抽取的跑步爱好者人数为人，内抽取的跑步爱好者人数为人.（3）由频率分布表得的频率为的频率为，样本的下四分位数约为21.2，由频率分布直方图得众数为，由频率分布布估计平均数为：17.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）方法一：因为；又因为，所以，即；又因为为锐角三角形，所以.方法二：，所以，即则，得；因为为锐角三角形，所以.（2）由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以：，即，所以，即.18.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【详解】（1）取中点，连结是的中位线，，平面平面，，又，四边形是平行四边形，平面平面，平面；（2）平面平面四边形是矩形，.是正三角形，是中点，.，平面平面平面，平面平面平面（3）取线段的中点，连接且四边形是平行四边形，，则直线和平面所成的角就是直线和平面所成的角，过点作，垂足为，连结，由（2）知平面平面，又平面平面，