2024年湖南省中考数学第一轮复习课件第二十二讲矩形菱形正方形

第二十二讲矩形、菱形、正方形湖南2024年数学中考第一轮复习必备知识·夯根基高频考点·释疑难湘约中考·检成效必备知识·夯根基【课标要点】1.矩形的性质与判定性质除具有平行四边形的性质外,还有:(1)矩形的四个角都是__________.

(2)矩形的对角线__________.

(3)既是__________图形,又是轴对称图形.判定(1)有一个角是__________的平行四边形.

(2)对角线__________的平行四边形.

(3)有三个角是__________的四边形.

直角相等中心对称直角相等直角【对点练习】1.(1)如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,∠AOB=40°,则∠ACD的度数为()

A.50° B.55° C.65° D.70°(2)下列条件能使平行四边形ABCD是矩形的为__________.

①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.D

②④

【课标要点】2.菱形的性质与判定性质除具有平行四边形的性质外,还有:(1)菱形的四条边都__________.

(2)菱形的两条对角线互相__________,并且每一条对角线平分______________.

(3)菱形的面积等于两条对角线乘积的______.(4)既是______________图形,又是轴对称图形.

判定(1)有一组邻边__________的平行四边形.

(2)对角线互相__________的平行四边形.

(3)四条边__________的四边形.

相等垂直一组对角一半中心对称相等垂直相等【对点练习】2.(1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是()

A.AB∥DC

B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC(2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是()A.对角线相等的平行四边形B.对角线互相垂直且相等的四边形C.对角线互相平分且垂直的四边形D.对角线互相垂直的四边形BC【课标要点】3.正方形的性质与判定性质(1)正方形的四条边都__________.

(2)正方形的四个角都是__________.

(3)正方形的两条对角线__________且互相______________,每一条对角线平分一组对角.

(4)既是______________图形,又是轴对称图形.

判定(1)有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形.

(2)有一组邻边__________的矩形.

(3)有一个角是__________的菱形.

(4)对角线相等且垂直的平行四边形.相等直角相等垂直平分中心对称相等直角相等直角【对点练习】3.(1)如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,CE,∠BCE=70°,则∠EAD为()A.10° B.15°C.20° D.30°(2)已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是________________________.

C

AB=AD或AC⊥BD等

高频考点·释疑难考点1

矩形的性质与判定【例1】(2023·株洲模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知BC=4,AB=3,则OB的长为______.

【思路点拨】根据勾股定理得出AC,进而利用矩形的性质解答即可.【方法技巧】应用转化思想解决矩形问题以矩形为背景的题目,易出现全等三角形、等腰三角形以及直角三角形,要充分应用转化思想,根据三角形的有关知识解决问题.提醒:矩形一条对角线分得一对全等的直角三角形,两条对角线分得两对全等的等腰三角形.

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考点2

菱形的性质与判定【例2】(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.(1)求证:AE=AF;(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.

(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°,而∠B=60°,∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∴∠BAE=30°,由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°.【方法技巧】解决菱形有关问题的技巧1.根据菱形性质转化为三角形:菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形,两条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形;2.菱形判定方法的选择:若易得四边形为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;若相等的边较多,则可证四条边相等.提醒:菱形的面积有两种求法,可以底乘高,也可以对角线相乘再除以2.

B2.(2023·永州零陵二模)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且DE=DF.(1)求证:四边形DEBF是菱形;(2)求AE的长.【思路点拨】(1)证△DOF≌△BOE(AAS),得出DF=BE,由DF∥BE,得四边形BEDF是平行四边形,进而得出结论;(2)设AE=x,则DE=BE=8-x,在Rt△ADE中,根据AD2+AE2=DE2,构建方程求出x即可.

考点3

正方形的性质与判定【例3】(教材原题·湘教版八年级下册·P73例2)如图,已知点A',B',C',D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA'=BB'=CC'=DD'.求证:四边形A'B'C'D'是正方形.【思路点拨】根据正方形的性质及全等三角形的判定SAS判定△AA'D'≌

△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C',从而得出四边形A'B'C'D'是菱形,利用互余得出一个角为90°,再根据有一个角是90°的菱形是正方形,判定四边形A'B'C'D'是正方形.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA.又∵AA'=BB'=CC'=DD',∴D'A=A'B=B'C=C'D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'(SAS).∴A'D'=B'A'=C'B'=D'C',∴四边形A'B'C'D'是菱形.又∵∠1=∠3,∠1+∠2=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠D'A'B'=90°,∴四边形A'B'C'D'是正方形.【方法技巧】正方形性质及判定的应用技巧1.性质的兼容并蓄:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它们所有的性质.2.判定的两种思路:证明一个四边形是正方形,可以先判定为矩形,再证明邻边相等或对角线互相垂直;或先判定为菱形,再证明一个角是直角或对角线相等.3.易得全等三角形:正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰直角三角形,在正方形中画出分割线,很容易得到另外的全等三角形.

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常规题型组

精练湖南14地市、州必考题1.(2023·湘潭中考)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20° B.60° C.70° D.80°湘约中考·检成效C2.如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时,∠AED的大小为

()

A.27° B.53° C.57° D.63°D3.(2023·株洲中考)如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是

()A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴A

D5.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为()A.80° B.90°C.105° D.115°6.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为_______.

C

3

3

9.(2022·张家界中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF.(1)求证:△ODE≌△FCE;(2)试判断四边形ODFC的形状,并写出证明过程.

10.(2022·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.∵OE=OA=OF,AC=EF,∴菱形AECF是正方形.

C12.(2023·怀化中考)如图,矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.(1)证明:△BOF≌△DOE;(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,∵点O是BD的中点,∴DO=BO,又∵∠EOD=∠FOB,∴△DOE≌△BOF(ASA);(2)由(1)知△BOF≌△DOE,∴BF=DE,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即DE∥BF,∴四边形E