2021-2022学年新教材高中数学第三单元函数312函数的最大值、最小值

第2课时函数的最大值、最小值

》基础认知•自主学习《

1.什么叫函数的最大值与最小值？最值与最值点

导思有何区别？

2.什么叫函数的平均变化率？

1.函数的最值

⑴定义.

前提函数f(x)的定义域为D,且xoGD,对任意XGD

条件都有f(x)Wf(xo)都有f(x)/xo)

最大值为f(xo),xo为最大值点最小值为f(xo),xo为最小值点

结论

最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点

(2)求函数最值的方法：

①配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；

②换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；

③数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出；

④利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.

思考

最值点是点吗？

提示：不是，是实数值，是函数值取得最值时的自变量x的值.

2.直线的斜率

(1)直线斜率的定义.

平面直角坐标系中的任意两点A(xi,yi),B(X2,竺)，

①当为加2时，称坐二21为直线的斜率，记作把；

②当X1=X2时,称直线的斜率不存在.

(2)直线的斜率与函数单调性的关系

①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都太王&

②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都虹Q.

3.函数的平均变化率

(1)平均变化率的定义：若/是函数y=Ax)的定义域的子集，对任意Xi,X2GI,且XI分2,记yi

AyJ—y日f（X2）-f（Xl）、

=加），”=危1y2),关

X2~X\,X'2一为,

于（X2）一于（Xl）

为函数在区间出，尬]（即＜冗2时）或口2，为]（方＞%2时）上的平均变化率.

X2~X\

（2）函数的平均变化率与函数的单调性

尸危）在I上是增函数=壳也在I上恒成立

y=/（x）在/上是减函数=光＜0在I上恒成立

思考

函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变化趋势是什么？

提示：函数图像从左向右逐渐上升.

基础小测

1.辨析记忆（对的打气”，错的打“义”）.

⑴任何函数都有最大值、最小值.（x）

提示：如函数y=（既没有最大值，也没有最小值.

（2）一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的.（x）

提示：函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点.

（3）直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率.（x）

提示：过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有为分2.

2.过函数图像上两点4（—1,3）,2（2,3）的斜率言=.

【解析】W=0-

答案：0

X—1

3.已知函数人劝=干，%e[i,3],则函数兀0的最大值为，最小值为

x-12

【解析】八》）=干=1一干，xG[l,3],

因为火x）在[1,3]上为增函数，

所以火X）max=A3）=g,/x）min=/l）=0.

答案：g0

为能力形成•合作探究《

类型一利用函数的图像求最值（数学运算、直观想象）

题组训练

1.(2021•太原高一检测)如图是函数yfx),x£［-4,3］的图像，则下列说法正确的是()

A.Kx)在［―4,—1］上单调递减，在［―1,3］上单调递增

B.«x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为一2

C.在［-4,1］上有最小值一2,有最大值3

D.当直线y=f与y=/(x)的图像有三个交点时一1V<2

【解析】选C.A选项，由函数图像可得，人x)在［—4,—1］上单调递减，在［―1,1］上单调递增，

在［1,3］上单调递减，故A错；B选项，由图像可得，<x)在区间(-1,3)上的最大值为式1)=

3,无最小值，故B错；C选项，由图像可得，/U)在［-4,1］上有最小值八-1)=-2,有最大

值人1)=3,故C正确；D选项，由图像可得，为使直线>=/与y=/(x)的图像有三个交点，只

需一1W江2,故D错.

x2,-1<X<1,

2.已知函数式x)=1l则人功的最小值、最大值点分别为_________，________.

一，x>l.

1X

【解析】作出函数«x)的图像(如图).由图像可知，

当%=±1时，«x)取最大值，最小值为0,

故人劝的最小值为0,最大值点为土1.

答案：0±1

［3—XT,—1,2］,

3-已知函数八x)==。

［x—3,(2,5］,

(1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出兀0的图像.

(2)由图像指出函数次x)的最值点，求出最值.

4

.3..

-2-

【解析】(1)由题意，当尢£［-1,2］时，兀0=一好+3,为二次函数的一部分;

当工£(2,5］时，危)=%-3,为一次函数的一部分；

所以，函数於)的图像如图所示:

-\o\3456x

-1

(2)由图像可知，最大值点为0,最大值为3;最小值点为2,最小值为一1.

解题策略

图像法求最值、最值点的步骤

——1作出函数图像)

金一^［在图像上找到最高点和最,

1低山的纵坐标、横坐标,

~~»(确定函数的最值、最值点)

【补偿训练】

X2—x(0<x<2),

已知函数f(x)=<求函数f(x)的最大值、最小值.

【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知,

一

当x=2时，f(x)取最大值为2;

当x=2时，f(x)取最小值为一a-

所以f(x)的最大值为2,最小值为一(.

【拓展延伸】求二次函数最值的常见类型及解法

求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的

开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最

大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，

在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类

讨论.

求二次函数«r)=ox2+b尤+c(a>0)在区间［m,网上的最值一般分为以下几种情况：

⑴若对称轴x=―/在区间阿，川内，则最小值为乂一治)，最大值为角力，角?)中较大者(或

b

区间端点“2,”中与直线尤=—或距离较远的一个对应的函数值为最大值).

b_

(2)若对称轴》=—五<租，则式x)在区间［加网上是增函数，最大值为式〃)，最小值为角吟

b

(3)若对称轴》=—二〉〃，则人X)在区间阿，加上是减函数，最大值为八〃2),最小值为角2).

【拓展训练】

1.定轴定区间上的最值问题

【例1】已知函数<x)=3N—12x+5,当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最

小值.

(DR.

⑵［。，3］,

(3)［-b1］.

【思路导引】求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可

以采用配方法和图像法求解.

【解析】»=3X2-12X+5=3(X-2)2-7.

(1)当xdR时，»=3(X-2)2-7>-7,

当x=2时，等号成立.

故函数见0的最小值为一7,无最大值.

⑵函数段)=3。-2)2—7的图像如图所示，由图可知，在［0,3］上，函数兀0在x=0时「

取得最大值，最大值为5;在x=2时取得最小值，最小值为一7.5

(3)由图可知，函数“X)在［-1,1］上是减函数，在彳=一1时取得最大值，最大值为20;_j_

在x=l时取得最小值，最小值为一4.

解题策略

（blVb\

⑴函数〉=以2+"+以0>0）在区间（一8,一五J上是减函数,在区间［—五，+叼上是增函

b_

数，当工=一五时，函数取得最小值.

（blVb\

（2）函数产以2+笈+或〃<0）在区间（一8,一五」上是增函数，在区间［—五，+ooj上是减函

h

数，当X=—或时，函数取得最大值.

2.动轴定区间上的最值问题

【例2】已知函数於）=/—2办+2,x£［-l,1J,求函数小）的最小值.

【思路导引】二次函数开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论.可

画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题.

【解析】Xx）=x2—2ax+2=（x—a）2+2—ci2的图像开口向上，且对称轴为直线x=a.

图（1）图（2）图（3）

当定1时，函数图像如图（1）所示，函数於）在区间［-1,1］上是减函数，最小值为<1）=3—2a;

当一时，函数图像如图（2）所示，函数人x）在区间［—1,1］上是先减后增，最小值为五。）

=2—4；当ag—1时，函数图像如图（3）所示，函数#x）在区间［―1,1］上是增函数，最小值为

fi—l）=3+2cz.

3.定轴动区间上的最值问题

【例3】已知函数五x）=N—2x+2,x^［t,r+1］,/©R的最小值为g（f）,试写出g⑺的函数表

达式.

【思路导引】二次函数的解析式是确定的，但定义域是变化的，需依据f的大小情况画出对应

的简图（二次函数的一段），从而求解.

【解析】/（x）=N—2X+2=（X-1）2+1,x^［t,f+1］,t^R,对称轴为x=l.

图（1）图（2）图（3）

当t+i<if即t<o时，函数图像如图⑴所示，

函数"x）在区间上，/+1］上为减函数，

所以最小值为g⑺=火/+1）=祥+1；

当t<i<t+\f即o<z<i时，函数图像如图（2）所示，最小值为g«）=y（i）=i；

当介1时，函数图像如图（3）所示，函数“X）在区间上，方+1］上为增函数，

所以最小值为g（t）=fit）=fi—2t+2.

於+l,t<Of

综上可得g（f）=<1,O<Z<1,

J2—2/+2,t>l.

解题策略

本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析

移动到不同位置时对最值有什么影响.借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰.

类型二函数的平均变化率与单调性、最值（数学运算、逻辑推理）

【典例】已知函数八》）=嗔才.

（1）判断函数兀0在区间［0,+8）上的单调性，并用平均变化率证明其结论.

【思路导引】任取xi,X2d［0,+oo）n纽『>0n函数单调递增

【解析】月入）在区间［0,+8）上是增函数.证明如下：任取Xi,X2^［0,+oo）,且阳彳X2,兀⑵

2尬一32阳一3

一八为）=念+］—X1+1

（2x2-3）（xi+1）（2»-3）（应+1）

（即+1）（忿+1）（X1+1）（尬+1）

_____5（尬一xi）

（X1+1）（尬+1）

5（―一为）

V（%）_____（为+1）（入+1）_____________5________

"AxX2~xi（xi+1）（尬+1）•

因为尤1,X2E［O,+00）,所以（X1+1）（X2+1）>O,所以3J>0,所以函数7U）在区间［。，+

8)上是增函数.

(2)求函数4工)在区间［2,9］上的最大值与最小值.

【思路导引】由第(1)问可知人x)在［2,9］上是增函数=穴2)是最小值，汽9)是最大值

【解析】由(1)知函数«x)在区间［2,9］上是增函数，故函数“初在区间［2,9］上的最大值为火9)

2x9-3_32x2—31

=9+1=2最小值为/2）=2+1=3.

解题策略

利用函数的平均变化率证明单调性的步骤

(1)任取X2^D,且XI分：2.

、［自■〃“△于(%)

(2)计算式处)一於1)，J.

(3)根据XI,X2的范围判断V：)的符号，确定函数的单调性.

跟踪训练

已知函数人x)=­，xd［3,7］,

(D判断函数yu)的单调性，并用平均变化率加以证明.

【解析】函数f(x)在区间［3,7］内单调递减，

证明如下：

在［3,7］上任意取两个数XI和X2,且X1#X2,

,X1+1X2+1

因为f（Xl）=—，f（X2）=—

（）

小X2+IX1+13Xl—X2

所以f（X2）—f（X|）=———

（xi—2）（X2-2）.

3（X1—X2）

「匕/f(X)（xi—2）（X2—2）3

所以--A-------

JxX2—X1（xi—2）（X2—2）'

因为xi,x2e[3,7],所以xi—2>0,X2-2>0,

4f（X）

所以?<0,函数f（x）为[3,7]上的减函数.

ZJX

(2)求函数本)的最大值和最小值.

Q

【解析】由单调函数的定义可得f(x)“r=f(3)=4,f(x%"R=f(7)=m.

类型三常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)

不含参数的最值问题

【典例】函数f(x)=-2x2+x+l在区间［―1,1］上最小值点为,最大值为

【思路导引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题.

【解析】函数f(x)=-2x2+x+l的对称轴为X=--一1=7,函数的图像开口向下,

所以函数的最小值点为一1,最大值为d)=—2x++；+1=1.

9

答案：一1w

含参数的最值问题

【典例】设a为实数，函数f(x)=x2—|X—a|+l,XER.

(1)当。=0时，求1x)在区间［0,2］上的最大值和最小值.

【思路导引】代入。的值，化简后求最值.

【解析】当〃=0,%£［0,2］时函数«x)=N—%+1,

因为人工)的图像开口向上，对称轴为x=T，

1,3

所以，当时段)值最小，最小值为,

当x=2时，月入)值最大，最大值为3.

(2)当0<〃<3时，求函数«x)的最小值.

【思路导引】讨论对称轴与区间的位置关系求最值.

%+。+1,x>a,

【解析】於尸

〔片十元一〃十1,x<a.

①当x>a时，J{x}=x1—x+a+\={x—^+〃+［-

因为0<。<3,所以3>a,则火x)在［。，+oo)上的最小值为《今=(+a;

②当时，函数火工)=12+%—a+l=Q+,—〃+(.

因为0<。弓,所以一；<a,

则在(一8,a)上的最小值为《一习=弓—a.

、3

综上，穴工)的最小值为1—a.

题妥变

将本例的函数改为«x)=x2—2QX+1,试求函数在区间［0,2］上的最值.

【解析】函数的对称轴为％=〃，

⑴当。<0时，大x)在区间［0,2］上是增函数，

所以火X)min=/(0)=l；

当03把2时，1%)min=/(a)=一/+1；

当a>2时，兀v)在区间［0,2］上是减函数,

所以yu)min=八2)=5—4〃，

1,a<0,

所以於)min=<—〃+1,0<a<2,

、5—4〃，a>2.

(2)当«<1时，月x)max=/(2)=5—4q;

当a>l时，Xx)max=/0)=l,

［5—4a,a<\,

所以/(X)mx=］1,

aLI,a>l.

解题策略

一元二次函数的最值

(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关

系确定最值点，代入函数解析式求最值.

⑵含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为1=如区间3，b］

为例，

f(〃)，m<af

①最小值：危)min=</(M，a<m<b,

/(Z?)，m>b.

「a-\-b

fka),m>2，

②最大值：—<

当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置

关系.

题型比比看

(1)已知函数<x)=N—依+1,求本)在［0,1］上的最大值.

【解析】因为函数/(冗)=12—QX+1的图像开口向上，其对称轴为,

当?"2'即时，危)的最大值为火1)=2—

当彳,即〃>1时，4x)的最大值为x0)=1.

(2)已知函数1x)=x2—x+1,求兀i)在上，［+1］(段R)上的最小值.

【解析】x+1,其图像的对称轴为X=3,

①当仑|时，段)在上，/+1］上是增函数，所以於)min=/(/)=/2—，+1；

②当，即”一；时，危）在上，［+1］上是减函数，所以加）min=/（/+l）=产+，+1；

③当/V；<t+lf即一；<z<5时，函数加。在t,7上单调递减，在；，在1上单调递

ZZZL2」L乙_

题组训练

1.（2020•西安高一检测）函数八%）=9—办2（。>0）在［0,3］上的最大值为（）

A.9B.9（1~a）C.9~aD.9—a1

【解析】选A.因为〃>0,

所以於）=9—开口向下，以y轴为对称轴，

所以於）=9-0?在［0,3］上单调递减，

所以％=o时，兀月最大值为9.

2.函数危）=x+」2xT（）

A.有最小值;，无最大值

B.有最大值/,无最小值

C.有最小值3,有最大值2

D.无最大值，也无最小值

【解析】选人兀0=_¥+）2了-1的定义域为3，+00）,在定义域内单调递增，

所以兀0有最小值/自=1,无最大值.

3.（2021・荷泽高一检测）设火防二%2—2办+层,》6［0,2］,当a=-1时,7U）的最小值是

若/。）是7U）的最小值，则a的取值范围为.

【解析】当。=—1时，八%）=炉+2尤+1,开口向上，对称轴为X=-1,

所以函数式尤）=x?+2x+l在（0,2）上单调递增，

所以函数在xG［0,2］上的最小值KxOminMACDMi.

若｛0）是危）的最小值，说明对称轴尤=好0,

则aWO,所以a的取值范围为（-8,0］.

答案：1（—8,0］

二次函数N—2x+3在［0,汨上有最大值3,最小值1,则实数机的取值范围是.

【解析】因为<x)=；N—2彳+3在［0,2］上单调递减，在［2,+oo)上单调递增.

力(0)==3,1,此时无解;

则当0<m<2时,

当2勺"W4时，x=2时有最小值1,x=0时有最大值3,此时条件成立;

当机>4时，最大值必大于八4)=3,此时条件不成立.综上可知，实数机的取值范围是［2,4］.

答案：［2,4］

II备选类型函数最值的应用(数学建模)

【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某

幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年

k

的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度尤(单位：厘米)满足关系式：。(劝=力M(0W店10).

若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设式x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费

用之和.

(1)求k的值及式工)的表达式.

(2)隔热层修建多厚时，总费用Kx)最小？并求其最小值.

【思路导引】

【解析】(1)由题意知C(0)=8,代入C(x)的关系式，得k=40,

40

因此C(X)=Z-7T7(0<X<10),而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,

DXID

所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+6x=/哈+6x(0<x<10).

DXID

(2)令t=3x+5,由gxglO,得5Wt$35,从而有函数h(t)=^+2t—10(5m小35).

4^5<ti<t2<35,则h(ti)—h(t2)=(t|—12)

,L800

当5女也2。时，h(tl)-h(t2)=(t1-t2)(2--)>0;

当20<t1<t2<35时，h(h)-h(t2)=(t「t2)(2-石)<0.

所以h(t)=-j+2t-10(5Wt$35)在区间［5,20］上单调递减，在区间［20,35］上单调递增,

所以当t=20时,h(t)mi„=70,即当t=3x+5=20,x=5时,f(x)加加=70.

所以当隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小，为70万元.

解题策略

(1)通过换元，使函数式变得简单，易于研究其单调性.

(2)以20为分界点将［5,35］分成两个单调区间，可结合对勾函数的单调性规律来理解.

跟踪训练

(2020•枣庄高一检测)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固

定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：

元)满足分段函数(p(x),其中(p(x)=

、80000,x>400,

总收益=成本+利润.

(1)试将利润y表示为月产量x的函数.

(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？

【解析】(1)依题设，总成本为20000+100x,

f1

-TX2+300X-20000,0<X<400,且XWN,

贝Uy=j2

.60OOO-lOOx,x>400,JUeN.

⑵当0E400时，产一;(l300)2+25000,

贝可当x=300时，ymax=25000;

当x>400时，y=60000-100x是减函数，

则j<60000-100x400=20000,

所以当月产量为300件时，有最大利润25000元.

为学情诊断•课堂测评④

1.函数式x)的图像如图，则其最大值、最小值点分别为()

B./0),人工

C.4-3，AO)D.的),I