新高考一轮复习导学案第45讲 数列的综合运用（解析版）

第45讲数列的综合运用1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．数列在实际问题中的应用2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．1．数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列SKIPIF1<0，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的所有项的和为．【答案】48；384．【解析】SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的后7项成等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公比SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，又该数列的前3项成等差数列，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的所有项的和为SKIPIF1<0．故答案为：48；384．2、（2023•新高考Ⅱ）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）证明：由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故原式得证．3、（2022•新高考Ⅰ）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，①，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（首项符合通项）．所以SKIPIF1<0．证明：（2）由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4、（2021•乙卷（文））设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，设其公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）证明：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．1、甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．A.3 B.7 C.11 D.14【答案】：B【解析】：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义SKIPIF1<0，已知数列SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【详解】依题意得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．【答案】：－2【解析】：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn，0)，则有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq\f(n,n＋1)，∴an＝lgxn＝lgeq\f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有SKIPIF1<0个球，第二层有SKIPIF1<0个球，第三层有SKIPIF1<0个球，…，设各层球数构成一个数列SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由题意知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A错误；SKIPIF1<0，故B正确；SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故D错误；故选：BC考向一数列在数学文化与实际问题中的应用例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列SKIPIF1<0时，发现其递推公式SKIPIF1<0就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即SKIPIF1<0，如果该数列SKIPIF1<0的前两项分别为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（

）A．130 B．132 C．134 D．141【答案】B【详解】由题可知，2到20的全部整数和为SKIPIF1<0，2到20的全部素数和为SKIPIF1<0，所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为SKIPIF1<0.故选：B.（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【详解】设该数列为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为奇数；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为偶数数；所以SKIPIF1<0，故选:B.变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为A．8B．11C．14D．16【答案】B【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d＝3，由题意，eqS\s\do(9)＝9a\s\do(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\do(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案选B．（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺【答案】D【解析】【分析】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列SKIPIF1<0，设其首项为SKIPIF1<0，公差为d，根据题意SKIPIF1<0，∴立秋的晷长为SKIPIF1<0.故选：D（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】设该女子第一天织布SKIPIF1<0尺，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0前SKIPIF1<0天织布的尺数为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0的最小值为8．故选：SKIPIF1<0．考向二数列中的含参问题例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入不等式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，不等式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，不等式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为奇数且SKIPIF1<0），易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的首项为1，公差SKIPIF1<0，其前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求公差d；(2)是否存在正整数m，k使得SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）法一：由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0（舍），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不合题意；SKIPIF1<0满足条件的SKIPIF1<0有三组.法二：由（1）得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.存在满足条件的SKIPIF1<0有三组.变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．给定SKIPIF1<0，记集合SKIPIF1<0的元素个数为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)求最小自然数n的值，使得SKIPIF1<0．【解析】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中元素个数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中元素个数为SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0=2001<2022，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0=4039>2022，记SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0是递增数列，所以所求SKIPIF1<0的最小值是11.考向三数列中的“定义型问题”例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0(SKIPIF1<0=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性质”；不论数列SKIPIF1<0是否具有“SKIPIF1<0性质”，如果存在数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是同一数列，且SKIPIF1<0满足下面两个条件：（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个排列；（2）数列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性质”，则称数列SKIPIF1<0具有“变换SKIPIF1<0性质”.给出下面三个数列：①数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；②数列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5；③数列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5，6.具有“SKIPIF1<0性质”的为________；具有“变换SKIPIF1<0性质”的为_________.【答案】①②【详解】解：对于①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，2，3，SKIPIF1<0为完全平方数SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换SKIPIF1<0性质”，数列SKIPIF1<0为3，2，1，5，4，具有“SKIPIF1<0性质”，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0具有“变换SKIPIF1<0性质”；对于③，SKIPIF1<0，1都只有与3的和才能构成完全平方数，SKIPIF1<0，2，3，4，5，6，不具有“变换SKIPIF1<0性质”．故答案为：①；②．变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，定义使SKIPIF1<0为整数SKIPIF1<0叫做“幸福数”，求区间SKIPIF1<0内所有“幸福数”的和.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）根据题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而分奇、偶数项求通项公式，再合并即可得答案；（2）根据题意得SKIPIF1<0，故设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再解不等式SKIPIF1<0即可得区间SKIPIF1<0内的“幸福数”，再求和即可得答案.【详解】（1）∵SKIPIF1<0①，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，①﹣②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为奇数)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为偶数)∴SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴区间SKIPIF1<0内的“幸福数”为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0∴所有“幸福数”的和为SKIPIF1<0.变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an＝2n，且f(m)＝m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm＝30，则m的值为()A．9B．11C．12D．14【答案】B【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则bm＝eq\f(m,2)；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则eqb\s\do(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ\B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m为奇数),\F(m,2)(m为偶数)))，则当m为偶数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq\f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq\f(1,2)×eq\f(m,2)＝EQ\F(m\S(2),4)，则EQ\F(m\S(2),4)＝30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ\F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq\f(m＋1,2)＝EQ\F(m\S(2)－1,4)，所以EQ\F(m\S(2)－1,4)＝30，因为m∈N*，所以m＝11，故答案选B．考向四数列与不等式等知识点的结合例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，数列SKIPIF1<0是公差为1的等差数列．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）因为数列SKIPIF1<0是首项为2，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），两式相减得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0适合上式，故SKIPIF1<0．另解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0为常数列，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，因此，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）证明：由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，综上可得SKIPIF1<0．1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（

）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．1015【答案】C【解析】64个格子放满麦粒共需SKIPIF1<0，SKIPIF1<0麦子大约20000粒，1吨麦子大约SKIPIF1<0粒，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：C.2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值SKIPIF1<0元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为SKIPIF1<0．按复利计算，则小李每个月应还（

）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元【答案】A【解析】设每月还SKIPIF1<0元，按复利计算，则有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0，故选：A3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.【答案】6【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其公比SKIPIF1<0，令数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此人在第六天行走的路程SKIPIF1<0（里）.故答案为：64、（2023·云南玉溪·统考一模）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为q．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）(1)请写出你的选择，并求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，选①，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.选②，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）证明：由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0．5、（2023·云南·统考一模）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设m为整数，且对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求m的最小值．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不