2024届高中数学必修第三册课件7.4.1二项分布

7.4.1二项分布

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，

本节课主本节课主要学习二项分布

前面学生已经掌握了有关概率的基础知识等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互

独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关内容。二项分布是一种应用广泛的概率模型，是对前

面所学知识的综合应用。节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，

应用于实际的过程。

软学目标与被心素监

课程目标学科素养

A.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的1.数学抽象：n重伯努利试验的概念

概念,掌握随机变量服从二项分布的有关2.逻辑推理：二项分布的随机变量的均值和方差

计算；3.数学运算：二项分布的有关计算

B.能够解决随机变量服从二项分布的实际4.数学建模：模型化思想

应用问题，会求服从二项分布的随机变量

的均值和方差.

重豆难点

重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；

难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.

课前发备

多媒体

敢学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

通过具体的问题

情境，引发学生思

考积极参与互动，

说出自己见解。从

而引入的n重伯努

利试验的概念，发

展学生逻辑推理、

数学IS算、数学抽

象和数学建模的核

心素养。

.中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoullitrials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重

伯努利试验

o显然，n重伯努利试验具有如下

共同特征

(

叵

箕

树

量

)

"

尽

u

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婀

解

禽

短

=

火

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玛

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叵

(

)一

.

旨通过问题分析，

意让学生掌握二项分

闻

箕布的概念及其特

咪

生点。发展学生逻辑

2

推理，直观想象、

幽

抵数学抽象和数学运

日

期算的核心素养。

(

o

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通过典例解析，

9

在具体的问题情境

呆

e中，深化对二项分

2邮布的理解。发展学

:

3生逻辑推理，直观

症想象、数学抽象和

.

X数学运算的核心素

杷

.

廖养。

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—

*

随机是否为n重伯伯努利试验重复试验

1试验努利试验0的次数

1是抛掷一枚质地均匀0.510

的硬币

2是某飞碟运动员进行0.83

射击

3是从一批产品中随机0.920

抽取一件5

二、探究新知

探究1：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同？

伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发

生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进

行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步

地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概

率分布列.

问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中

靶次数X的概率分布列是怎样的？

用A表示“第i次射击中靶”(i=l,2,3),用如卜图的树状图表示试

I

验的可能结果:

试验结果X的值

A|A,A3-----------3

AJAJAJ2

A/2A32

A1A：A31

AiA2A32

——AiA2A31

_______AiA2A3]

—A.A2A3-----0

由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结

果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率

的加法公式和乘法公式得

P(X=0)=哂向&)=0.23,

P(X=1)=「(4彳2彳3)+「(44力3)+2(4仙3)=3X0.8X0.22,

P(X=2)=PGM243)++PGM2A3)=3x0.82X0.2,

P(X=3)=PG4IA243)=0,83.

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次

射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011,11(),101,这三

2

个结果发生的概率都相等，均为(18x0.2,并且与哪两次中靶无关.

因此,3次射击恰好2次中靶的概率为或x0.82x02同理可求中靶0

次,1次,3次的概率.

于是，中靶次数X的分布列为：

p(x=fc)=x0.8kx0.23-k,k=0,1,2,3

探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等

于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.

(1)表示中靶次数X等于2的结果有：4A2A3A4,4A2A3

4IA，2A3A4,A142^3^4,414243A4,Ai人24384,共6个。

⑵中靶次数X的分布列为：p(x=/t)=c^xo.8kxo.24-k,k=

0,1,2,3,4

二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的

概率为p(0<p<l),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

P(X=k)=片xpkx(1-p)n-k,k=0,1,

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二

项分布(binomialdistribution),记作X~B(〃,p).

•

X0一7•

1—1.knk.

dC：P°9c.pqC[pq-C：p"q。

•件7发岖的♦率

思考1：二项分布与两点分布有何关系？

两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=l的二项分布；二项分布

可以看做两点分布的一般形式.

思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系

吗？

如果把p看成b,1-p看成a,则瑞xp"x(1-p)nf就是二项式

［(l-p)+p『的展开式的通项，由此才称为二项分布。

即P(x=k)=Sk=oCXpkx(1-p)n-k=［p+(1-p)］n=1

三、典例解析

例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

(1)恰好出现5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内的概率.

分析:抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上'’和"反面朝上”两种结

果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验，因此，正面朝上的次数服

从二项分布。

解：设A="正面朝上”，则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次

数，X~B(10,0.5).

(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是

P(X=5)=CfxO.510;

、701024256

(2)正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内等价于4SXW6,于是

672

P(4<X<6)=xO.510+武。xO.510+CfxO.510=——

01024

21

=32-

例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互

平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为

通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程

中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部

的格子中.格子从左到右分别编号为0,1，2，…，10,用X表示小

球最后落入格子的号码，求X的分布列。

分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结

果，设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落''和"向

右下落”两种可能结果，且概率都是05在下落的过程中，小球共碰撞

小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因

此这是一个10重伯努利试验，小球最后落入格子的号码等于向右落

下的次数，因此X服从二项分布。

解：设A="向右下落”,则展“向左下落”,且P(A)=P(/)=0.5.因为小

球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的

过程中共碰撞小木钉10次，所以X〜B(10,0.5).于是，X的分布

10

列为P(X=k)=C^oxO.5,k=0,1,

X的概率分布图如下图所示:

A

二项分布中需要注意的问题和关注点

(1)当X服从二项分布时，应弄清X〜8(",P)中的试验次数〃与成

功概率p.

(2)解决二项分布问题的两个关注点

①对于公式尸(X=A)=C+pk(l-p)")(%=(),1,2,〃)，必须

在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式.

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，

即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是

独立重复地进行了〃次.

例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为

0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜

制对甲更有利？

分析:判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率

大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件

的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有

n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”

的概率。

解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或

2：1,前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3

局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为Pi=

0.62+6x0.62x0.4=0.648.

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0,3：1或

3：2因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为P2=

0.63+C]x0.63x0.4+Cfx0.63x0.42=0.68256.

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中

甲胜的局数，则X〜B(3,0.6).甲最终获胜的概率为

Pi=P(X=2)+P(X=3)=Cjx0.62X0.4+/x0.63=0.648.

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局

数，

则X〜B(5,0.6).

甲最终获胜的概率为P2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=凄x0.63x0.42+C/x0.64x0.4+Cfx

0.65=0.68256

因为P2>Pi，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对

实力较强者越有利.

探究3：假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和

方差是什么？

(1)当n=l时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=1-

p,P(X=1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X)=p(l-

P).

(2)当n=2时，X的分布列为P(X=0)

=(1-p)2,P(X=1)=2p(l-p),

P(X=2)=p2.均值和方差分别为E(X)

=0x(1-p)24-1x2p(1-p)4-2xp2

=2p.D(X)

=02x(1-p)2+l2x2p(1-p)+22xp2

—(2p)2=2p(1—p).

一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)=np;D(X)=np(Lp).

kkn-k

证明：-：P(X=k)=Cpq

n

kk-l

(VkC=nC)

nn-1

kkn-kk-lk-1n-k

，kP(X=2)=kCpq=npCpq

nn-1

00n11n-l22n-2kkn-k

E(X)=OxCpq+IxCpq+2xCpq+…+AxCpq+…+

nnnn

nn0

〃xCpq

n

00n-111n-2k-1k-l(n-l)-(k-I)n-1n-

=np(Cpq+Cpq+...+Cpq+...+Cp

n-1n-1n-1n-1

10n-1

q)=np(p+q)=np

例4.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其

中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择

或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6,求

此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差.

解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为0所得

的分数为口，

由题意知，旦=隹，且自〜B(25,0.6),

则E(9=25X0.6=15,D(^)=25XO.6X(1-0.6)=6.

故E(i])=E(49=4EC)=60,D(i])=D(4c)=42xD(^)-96.

所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是

60和96.

三、达标检测

1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,这名选手在10次射击通过练习巩固

中，恰有8次击中目标的概率为()

8282本节所学知识，通过

A.Cf0X0.8X0.2B.0.8X0.2

C.CjoX0.28X0.82D.0.28X0.82学生解决问题，发展

解析：设X为击中目标的次数，则X〜B(10,0.8),

这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X=8)=学生的数学运算、逻

日oXO.88X(1-O.8)2=C^X0.88X0.22.故选A.

O辑推理、直观想象、

答案：4

数学建模的核心素

2.已知X是一个随机变量，若X〜8(6,£),则P(X=2)等于()

养。

A—R———8⑷0

A・16243J243D.

解析：由题意知n=6,p=|,

24

故或©

P(X=2)=x(J)2x(]-§62XX

.故选D.

答案：D

3.已知X〜B(〃，p),E(X)=8,D(X)=1.6,则“=,p=

解析：因为随机变量X〜B(n,p),所以E(X)=np=8,D(X)=np(l-

p)=1.6,解得p=0.8,n=10.

4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，

答对者为本队扁得一分，答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率

均为|,乙队中每人答对的概率分别为|,1|,且各人答对正确

与否相互之间没有影响.用q表示甲队的总得分.

(1)求随机变量。的分布列.

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示

“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求尸(A3).

解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验,

所以匕〜B(3,§.

/2、3।

P6=0)=或X(l—?=27'

2(2、22

PC=1)=C3Xg=g,

24

--

39

P&=3)=6xg)=卷，

所以&的分布列为

g0123

1248

p

279927

⑵用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得

0分”这一事件，AB=CUD,C,D互斥.

P©=6xg)2x(l-1)X(HX2+3X3X2+3X3X2)'

P(D)4(1-|)X(L£)=击.

10434

所以P(AB)=P(C)+P(D)=»+峦=243.

5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交

通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是(.

(1)求这位司机遇到红灯数。的期望与方差.

(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间〃的期望与

方差.

解析：(1)易知司机遇上红灯次数自服从二项分布，

且《〜B(6,g),所以E《)=6x；=2,

D©=6x|x(l-g)=1.

(2)由已知n=30]所以E(i])=30E(9=60,D(n)=900D(