2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-第1课时 基本不等式及求最大(小)值

2023人教版新教材高中数学必修第一册

2.2基本不等式

第1课时基本不等式及求最大（小）值

基础过关练

题组一对基本不等式的理解

1.下列说法正确的是（）

A.a2+b2^2ab成立的前提条件是a20,bNO

B.a2+b2>2ab成立的前提条件是a,b£R

C.a+b22V^成立的前提条件是a20,b20

D.a+b>2而成立的前提条件是ab>0

2.（多选）若a,b£R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是（）

41A

A.a+-^4B.aQ2+^8

aaz

D.笛22

ab7abab

3.不等式（x-2y）+义22成立的前提条件为（）

x-2y

A.xN2yB.x>2y

C.xW2yD.x<2y

4.（2020山东德州夏津一中月考）不等式J+（x-2）26（其中x>2）中等号成立的条

x-2

件是（）

A.x=5B.x=4C.x=3D.x=T

题组二利用基本不等式求最大（小）值

5.已知函数y=2x2+^-,则函数的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2022北京首师大附中月考）已知0<x<|,则x（「2x）的最大值为（）

1112

A

4-2-C.8-D.3-

7.（2022安徽合肥六中段考）当0〈x〈l时,y二的最小值为（）

Xl-x

A.8B.9C.10D.12

8.（2022广东深圳南山外国语高级中学月考）函数y=（"+5）（：+2）（x〉.1）的最小值

%+1

为.

题组三利用基本不等式求含条件的最大（小）值

9.（2022江苏镇江一中段考）已知正数a,b满足a+b=2,则而有（）

A.最小值1B,最小值也

C.最大值&D.最大值1

10.（2022北师大附中月考）已知两个正数m,n满足mn=3,则m+3n的最小值为

（）

A.3B.6C.V3D.V6

11.（2022广东汕头澄海中学段考）已知正实数x,y满足2x+y=l,则幺工的最小值

xy

为.

12.已知正实数x,y.

⑴若4x+y=l,求xy的最大值;

⑵若(x-1)(yT)=l(x〉l),求3x+4y的最小值.

能力提升练

题组一对基本不等式的理解

1.已知0<a<l,0<b<l,且aWb,下列各式的值中最大的是（）

A.a2+b2B.2y[ab

C.2abD.a+b

2.（多选）（2022江苏扬州中学月考）已知实数a,b,下列不等式一定成立的是

（）

A.学学强B.a+-^2

2a

222

C.7b+-a^2D.2（a+b）2（a+b）

题组二利用基本不等式求最大（小）值

3.（2021江苏南京师范大学附属中学月考）下列说法中正确的是（）

A.当x>0时,近+222

yjx

B.当x>2时,x+工的最小值是2

X

C.当时,y=4x-2+2的最小值是5

D.若x>0,贝ljx'+W的最小值为2y

X乙

4.（2022北京首师大附中月考）当x>l时,不等式2x+m+^->0恒成立,则实数m的

X-1

取值范围是（）

A.m<-8B.m>-8C.m<-6D.m>-6

5.已知a>b>0,贝lja?+却竺灯的最小值为（）

b（a-b）

A.8B.8V2C.16D.16V2

题组三利用基本不等式求含条件的最大（小）值

22

6.（2021黑龙江大庆实验中学开学考试）已知a>0,b>0,a+b=l,则上+片的最小

ab

值为（）

A.6B.8C.15D.17

7.若正实数x,y满足x+y=l,则不等式士+工的最小值为（）

V

93

Rc93

A.212-D.

8.（2022河南南阳一中月考）已知正数x,y满足x+y=2,则下列选项不正确的是

（）

A-+L的最小值是2

xy

B.xy的最大值是1

C.x?+y2的最小值是4

D.x（y+1）的最大值是）

4

9.（2022浙江精诚联盟联考）已知a>0,b>0.

（1）若a+b=4,求;+融勺最小值及此时a,b的值；

2ab

（2）若2a2+b?=4a+4b,求弋的最小值及此时a,b的值；

ab

（3）若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.

答案全解全析

基础过关练

l.CA错误,应为a,b£R;B错误,应为a,bQR,且a#b;D错误,应为a^O,b20,

且aWb;C正确.故选C.

2.BD对于A、C,当a<0,b<0时,不等式不成立,故A,C不符合题意;对于

B,a2+i1^2。・牛8,当且仅当a2=i|,即a=±2时等号成立,故B符合题意;对于

D,Vab>0,.*.->0,->0,.*.-+-^2-・-=2,当且仅当a=b时等号成立，...D符合题

ababy]ab

/田、•

3.B因为不等式成立的前提条件是x-2y和七均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,

x-2y

故选B.

4.A当x>2时,三+(x-2)22p--(x-2)=6,等号成立的条件是三=x-2,即

X-27X~2X-2

(X-2)2=9,解得x=5(X=-1舍去).故选A.

5.C易知x2+l>0,所以y=2x?+&=2(/+岛>2(/+1+-±--1)

22(2J(%2+1)•士-1)=6,当且仅当X2+1=2,即x=±l时取等号.故选C.

6.Cx(l-2x)=|x2x(l-2x)<|x(2%+^-2%)2=1,

当且仅当2x=-2x,即x=；时取等号，

因此X(1-2X)的最大值为"故选C.

8

7.B因为0<x〈l,所以0G-x<l,

y=+：l-x4%n

所以lZ^-+—+—^5+2

Xl-xX*=9,

当且仅当上三产,即X=J时等号成立，

%l-x3

所以y」+J-的最小值为9.故选B.

X1-X

解题模板解决分式类型函数的最大（小）值问题,常需找出各个分式间的关系,

即“隐含条件”，如本题中的“x+（「x）=l”是定值,从而得到解决问题的方法.

8.答案9

解析因为x>T,所以x+l>0,

匚uni(x+5)(x+2)X2+7X+10

所以y二—x+7l；——二——X+-1-

2

(%+1)+5(x+l)+4

%+1

=(x+l)+—+5^2(x+l)・—+5=9,

x+iqx+i

当且仅当x+l==,即X=1时等号成立,

x+l

所以所求函数的最小值为9.

导师点睛求含二次分式（分子是二次式,分母是一次式）的函数的最大（小）值时,

常将一次式看作一个整体，将原来函数表达式中的分子按照一次式的形式进行配

凑,分离常数,转化为可利用基本不等式求最大（小）值的形式.

9.D,/正数a,b满足a+b=2,

.•.2=a+b22V^,当且仅当a=b=l时取等号，

.•.夜或1.••.而的最大值是1.故选D.

10.B丁!!!,!!为正数，

m+3n^2V3mn=2X3=6,当且仅当m=3n=3时取等号，

...m+3n的最小值为6,故选B.

11.答案9

解析依题意得，三+工=0+工）（2*+丫）=5+空+艺25+2空•艺25+4=9,当且仅当

xy\xy）xyA/Xy

x=y」时取等号.故二工的最小值为9.

3xy

12.解析⑴•/x,y均为正实数，

：.Jxy^,xyW3,当且仅当4x=y,即x=gy=［时取等号,故xy的最大值为

v4168216

(2)V(x-l)(y-l)=l(x>l),

/.xy=x+y,即一1+一1二1,

xy

Z.3x+4y=(3x+4y)(-+-)=3+—+—+4^7+2隹•丝=7+46,

V%yJyxyy%

当且仅当卫丝,即X=§+1,y="+l时取等号，...3x+4y的最小值为7+4V3.

yx32

能力提升练

1.D因为O〈a〈l,O〈b〈l,

所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b.

因为aWb,所以a2+b2>2ab,a+b>2VaF,

所以a+b的值最大,故选D.

2.CD当a〈0,b〈0时，与不成立，故A不符合题意；

当a<0时,a+工22不成立,故B不符合题意；

a

^+-=-+目22,当且仅当a=±b时,等号成立,故C符合题意；

baa\b\

*.*2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2^0,

2(a2+b2)2(a+b)；故D符合题意.故选CD.

3.Ax>0时,«+二22,当且仅当即x=l时取等号,A正确；

Vx

当x>2时,x+%>2,故B不正确；

X

由x〈9可得4x-5<0,

4

故y=4x-2+^|^=4x-5+^|^+3=_(5-4%+

当且仅当5-4x=-^-,

5-4%

即x=l时取等号,C不正确；

2y不是定值,D不正确.

故选A.

易错警示利用基本不等式求最大(小)值时要注意各项为正，当各项为负时，可

通过提取负号转化为各项为正的情况求解，此时注意求解的是最大值还是最小

值.

4.D当x>l时，不等式2x+m+—>0恒成立，即2(xT)-2恒成立.当x>l

X~1X~1

时,x-l>0,.*.2(XT)+322X|2(X-1)x—=4,

X-17X~1

当且仅当x=2时取等号，

m-2〈4,解得m>-6.故选D.

解题模板解决不等式恒成立问题,常将不等式变形(分离变量等)，再将不等式

恒成立问题转化为最大(小)值问题，符合“一正、二定、三相等”的则利用基本

不等式求解最大(小)值.

5.CVb(a-b)：.a2+^^-^a2+^=a2+^2la2•^=16,当且仅当

\274b{a~b)aaz-xjaz

4

(a-b=b,_/n

264即a一?A时，等号成立.

(a=/，［b=V2

6.Da+b=l,.q+ja+b+y+3

abababab

又abW信手”/4,.・.1+金17,

•a2+4b2+4

>•'217,当且仅当a=b三时取等号.

ab

故选D.

7.A因为x+y=l,所以(x+l)+y=2,即1(x+l)+y]=l,

所以51若

当且仅当伫:厂?即"I'时，等号成立,故三+工的最小值为*故选A.

(%+y=1,\y=-X+1y2

8.C,正数x,y满足x+y=2,...>L2(x+y)•(工+工)二(2+〃+工)2%(2+

xy2\xyj2\xyj2\

2R•4=2,当且仅当x=y=l时等号成立，，A正确；

7yx)

由x+y22c7,可得2^/%)7<2,即xy<l,当且仅当x=y=l时等号成立，.，.B正确;

由x+y=2得x?+y2+2xy=4,又2xyWx?+y2,.，.2(x?+y2)N4,.,.x'+y'NZ,当且仅当x=y=l

时等号成立,

••.C不