2020年初升高【数学】无忧衔接：04 一元二次方程根的分布（原卷版）沪教版

专题04一元二次方程根的分布

二次方程依2+Zzx+c=0（。w0）的根从几何意义上来说就是二次函数/（%）=af+bx+c与x轴交点

的横坐标，所以研究。犬+法+。=0的实根的情况，可从函数的图象上进行研究.

若在（-8,+8）内研究方程ax2+Z?x+c=0的实根情况，只需考查/々”af+6x+c与x轴交点的个

数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由△、/+々、%的值与符号，从而判断出实

根的情况.

若在区间（私同内研究二次方程。/+6:+。=0,则需由二次函数图象与区间关系来确定.

一与零有关的根的分布

与尢有关的根的分布

一元二次方程根的分布

与区间（加，n）有关的根的分布

综合应用

分

根小于

即一个

一负根

一正根

小于0

根都

即两

负根

两个

大于0

根都

即两

正根

布两个

情

况

0)

,x>

(%>0

<0)

0,x

(石<

<入2)

,<0

于0(X

个大

0,一

2

2

J

i

y

i

大

7

f

致

图

象

n

）

Q>0

vy

得

A>0

出A>0

的

-A

-A

>0

<0

0

结/(0)<

2a

论la

）〉0

J（0

）〉0

J（0

大

yJ

致

图

象

A

AI

(

O

A

<

)

/\r

/T\

[/V

得

A>0

出A>0

的

0

-A>

0

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>0

结/(0)

2a

论la

<。

J⑼

<0

J⑼

综

合

结

A>0

论A>0

(

0

-A>

-A

<0

V

<

（）<0

不«-/0

2a

讨la

论

（0）>0

3

⑼>0

“

a

)

.

值范围

根的取

求实数

根，

正实

不等

两个

=O有

+m

+l)x

-(m

程2d

知方

】已

【例1

【例2】若方程龙2+(m—2)x+5-加=0的根满足下列条件，分别求出实数机的取值范围.

(1)方程两实根均为正数;

(2)方程有一正根一负根.

1.已知关于x的方程x2-(m2+2m-3)x+2(m+l)=0的两个实数根互为相反数.

(1)实数机的值；

(2)关于x的方程必―(左+3加—左—5=0的根均为整数，求出所有满足条件的实数机

2.已知二次方程(2m+l)x2—2g+(m—1)=0有一正根和一负根，求实数”2的取值范围.

【例3】若关于X的方程必+%+4=0的一个大于I、另一根小于1,求实数。的取值范围.

【例4】若关于x的方程/+%+4=0的两根均小于1,求实数。的取值范围.

【例5】已知二次函数y=（m+2）］2一（2加+4）x+（3机+3）与九轴有两个交点，一个大于1,一个小于1,

求实数m的取值范围.

【例6】已知二次方程小2+。根—3）龙+4=0只有一个正根且这个根小于1,求实数机的取值范围.

【例7】若石,％2是关于1的方程Q左+1）尤+公+1=0的两个实数根，且再,％2都大于1・

（1）求实数女的取值范围；（2）若出=工，求k的值.

1.关于%的方程％2+（。2—1）%+。—2=0的一个根比1大，另一个根比1小，贝U（

A—1<a<1B|«|>1C—2<a<iDa<—2或a>l

,1

2.实数左为何值时，方程尤2—依+左—2=o的两根都大于一.

2

3.若方程左一一Q左+3）x+4左+2=0的根满足下列条件，分别求出实数人的取值范围.

（1）方程两实根均大于1；

（2）方程有一根比1大，一根比1小.

4.(1)已知：。,乃是方程丁+(2加一1)%+4—2相=0的两个根，且。＜2〈力，求机的取值范围;

(2)若尤2+依+2=0的两根都小于-1,求〃的取值范围.

大ylJI

y>l.n,y

致

图

象

(,A.

<O

5m/xinx)m/xihpxA4x

))m/xixAnx

fA>0

得〈/\或

出/⑹<0f(p)>o

的

结</(«)<o

J(4<

论。

b

m<--<n

2a

<

/(p)/(q)<o

综

合

结

论

(

不—<

讨

论J(p)F(q)<o

【例8】已知关于了的二次方程¥+2必+2根+1=0,

(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求机的范围;

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求机的范围.

【例9】关于龙的二次方程7f—(p+13)x+〃2—夕—2=0的两根%，满足0<C<1</<2,求实数°

的取值范围.

【例10］二次函数y=5f一2(〃z+l)x+n?-6的图像与x轴的两个交点位于区间［-1,1］上，且分居y轴

的两侧，求实数7篦的取值范围.

【例11］若二次函数尸一%2+尔-1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交

点，求机的取值范围.

【例12］若关于x的方程4/—4X+7〃=0在Twxwi上至少有一个实根，求实数冽的取值范围.

1.关于龙的方程3尤2—5x+a=0的两根分别在区间(-2,0)和(1,3)内，求a的取值范围.

2.二次方程炉+依+2左一1=0的两个根再与乙，当一2＜玉＜—1且1(尤2＜2时，实数％的取值范围

是.

3.关于％的实系数方程9—依+2b=0的一根在区间［0,1］上，另一根在区间［1,2］上，则2a+38的最大

值为.

4.求实数左为何值时，方程炉-辰+左+工=0的两个实根.

4

(1)分别在区间(1,2)和(3,4)内；

(2)绝对值小于1.

5.关于%的方程7%2—（°+13）%+/—。-2=0有两个实根分别在区间（0,1）和（1,2）上，求实数a

的值.

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间（根,〃）外，即在区间两侧％<加,々>“，（图形分别

如下）需满足的条件是

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

两根有且仅有一根在(私力内有以下特殊情况：

1°若〃加)=0或〃“)=0,则此时/(〃)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加

或〃，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(机〃)内，从而可以求出参数的值.如方程

mr-(m+2)x+2=0在区间(1,3)上有一根，因为/(1)=0,所以

2