2023北师大版新教材高中数学选择性必修第二册同步练习-第二章 导数及其应用复习提升

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第二册

第二章导数及其应用

本章复习提升

易混易错练

易错点1混淆"过某点"与"在某点处”的切线致错

1.(2021浙江精诚联盟联考)已知函数f(x)=x3+2x-8厕曲线y=f(x)在点(0,-8)处

的切线方程为；若曲线y=f(x)的某一条切线与直线y=-|x+l垂直,

则切点坐标为.

2.(2021河北邯郸大名一中、磁县一中等联考)已知曲线y=ax3+b(a,b为常数)在

x=2处的切线方程为4x-y-4=0.

(1)求a,b的值；

⑵求曲线过点P(2,4)的切线方程.

易错点2对复合函数的求导法则理解不透彻致错

3.(2020湖北武汉武昌实验中学期中)已知(3x-

2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+aix+ao,贝Uao+ai+2a2+3a3+4a4+5a5的值是()

A.15B.-32C.-27D.-17

4.(2022山东新泰一中期末)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0

垂直厕a=.

易错点3不能正确理解极值点与导函数的关系致错

5.函数f(x)=(x2-l)3+2的极值点是()

A.x=l

B.x=-1或x=l或x=0

C.x=0

D.x=-1或x=l

6.设x=l与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.

⑴试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=l,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

易错点4利用导数研究函数单调性时忽视定义域致错

7.已知函数f(x)=ax---2lnx(aGR).

X

Q)若函数f(x)在区间［L+8)上是单调函数，求实数a的取值范围;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

易错点5混淆极值与最值致错

8.函数f(x)=sin2x-x在卜］,2上的最大值为，最小值为.

9.(2022黑龙江双鸭山期末)已知曲线y=f(x)=，3+ax2+bx+g在点(1,KD)处的切

线的斜率为3,且当x=3时，函数f(x)取得极值.

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在。3］上的极值和最小值.

易错点6利用导数研究实际问题时忽视定义域致错

10.(2021安徽江淮十校质检)一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的直角

走廊(假设通过时贴着内侧的圆弧墙壁)，该走廊由宽度为1m的平行部分和一个

半径为2m的四分之一圆弧转角部分(弧CD段,圆心为O)组成.

⑴若AB与力相切于点T,OC±BS于点S,设NTOS=&试将L表示为0的函数;

(2)求L的最小值，并说明此最小值的实际意义.

B\

S\2m

m

思想方法练

一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用

1.(2022广东茂名五校联盟期末)已知f(x)=ax-ln(lnx)+lna.

⑴当a弓时，讨论f(x)的单调性；

(2)若对任意x£[e,+8),f(x)20恒成立，求a的取值范围.

2.(2020福建福州期末)已知函数f(x)=cosx+ax2-l.

⑴当a吊时,证明:f(x)“；

(2)若f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围.

二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用

3.(2021安徽宿州十三所省重点中学期末联考)设f(x)(x£R)是奇函数f(x)是f(x)

的导函数,f(-2)=。当x>0时M(x)-f(x)>0厕使得f(x)>0成立的x的取值范围是

()

A.(-2,0)U(0,2)

B.(-°°,-2)U(2,+oo)

C.(-oo,-2)U(0,2)

D.(-2,0)U(2,+oo)

4.(2021豫南九校期末)已知函数f(x)=lnx-2x，函数g(x)=-2x2-j+a.

⑴求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意x£出+8)函数f(x)2g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

5.(2020河北武邑中学期末)已知函数f(x)=excosx-xsinx,g(x)=sinx-&e5其中

e是自然对数的底数.

⑴若vxie[-po],a乂2£[。,||,使得不等式的<1)力+9仅2)成立,求实数m的取值

范围;

(2)若x>-l,求证:f(x)-g(x)>0

三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用

6.(2021江西景德镇一中期中)已知函数依)£；；：言:4°，方程f(x)=a恰有

两个不同的实数根XI、X2(X1<X2),则婢+X2的最小值与最大值的和为()

A.2+eB.2

C.6+e3D.4+93

7.已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点,则实数a的取值范围

为.

8.(2022河北名校期末联考)已知函数f(x)=mxlnx,m£R,且f(x)的最小值为二.

e

(1)求实数m的值；

(2)若a£R,讨论关于x的方程f(x)-ax2=0的解的个数.

答案与分层梯度式解析

本章复习提升

易混易错练

1.答案y=2x-8;(l,-5)n)6(-l,-ll)

解崭由题意得#&)=我2+£当x=0时,f'(0)=2,所以切线的斜率k=2,

由直线的点斜式方程可求得切线方程为y-(-8)=2(x-0),整理得y=2x-8.

由已知直线的斜率为$可知所求切线的斜率存在且切线斜率k1=5,

由f(x)=3x2+2=5,解得x=±1.当x=l时代入得f(l)=-5;当x=-l时代入得f(-

=.所以切点坐标为(L-5)或(-L-11).

2.解析⑴由y=ax3+b得y'=3ax2,当x=2时,y'=3ax22=4,解得a=g,

将x=2代入直线方程得y=4,将(2,4)代入曲线方程，解得b三.

(2)由Q)知y=*3+］则y，=x4

设切点坐标为(xo,yo),则切线的斜率1＜二%

则所求切线方程为y-4=^(x-2),

因为切点(xo,yo)既在切线上,也在曲线上，

所以yo-4"(xo-2),①

yoW",②

联立①②消去yo,

整理可得说-3%o+4=O,

即焉-2%o-XQ+4=0,

(Xo-2)-(Xo+2)(Xo-2)=0,

即(xo-2)2(xo+l)=O,所以窗：j或9：丁

即切点坐标为(2,4)或(-1,1°),°

所以切线方程为y=4x-4或y=x+2.

易错警示

求曲线的切线方程时，要看清题目是"求曲线在某点处的切线方程"，还是

〃求曲线过某点的切线方程"，前者的切线有且只有一条，该点恰好为切点;而后者

可能有一条,也可能有多条，该点可能是切点，也可能不是切点.

3.P令x=0,可得(-可5=ao,即ao=-32,将(3x-

2户=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+aix+ao两边求导，

注得3x5x(3x-2)4=5a5X4+4a4X3+3a3X2+2a2X+ai,

令x=L可得15=ai+2a2+3a3+4a4+5a5,

所以ao+ai+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.

故选D.

易错警示

对复合函数求导时，一是要注意正确划分内层函数与外层函数,二是要注意对

这两个函数分别求导，再将结果相乘.

4.答案2

解析由y=eax可得y'=eax・(ax)'=aeax,

由直线x+2y+l=0的斜率为与得切线的斜率为2,即当x=0时,y'=a=2.

5.C由题意得,f'(x)=6x(x-l)2(x+l)2,

令f(x)=0,得x=0或x=±1.当x<0atf'(x)<0,

当x>0时,f'(x)",所以f(x)的极值点为x=0.

故选C.

易错警示

函数在某一点处的导数为0只是函数在该点处取得极值的必要不充分条件,

因此要注意检验导数为0的点左、右两侧附近的导数是否异号，若异号，则该点是

极值点，若不异号,则该点不是极值点.

6.解析(l)e.f(x)=alnx+bx2+x,

.•.f'(x)=j+2bx+l.

由题意可知,f'(l)=f'(2)=0,

2

:常二:解得a=~3

b=-l

(2)x=l是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点理由如下:

由⑴知f(x)=-|lnx-jx2+x,xe(0,+oo),

则f1(x)=-fx-i-jx+1G(0,+oo).

当xwQl)时,f(x)<0;当xw(l,2)时f(x)>0;当xe(2,+oo)0tf'(x)<0,

.•.x=l是函数f(x)的极小值点x=2是函数f(x)的极大值点.

7.解析⑴由题意得,f'(x);a+土|=/(x>0).

①当a40时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.

②当a>0时，令g(x)=ax2-2x+a,

・•,函数f(x)在区间［L+8)上是单调函数，

.•.g(x)>0在区间［L+8)上恒成立，

•.a2含在区间［1,+8)上恒成立.

令U（x）=含,x£[L+8）.

•••u(x)=W4+=L当且仅当x=l时取等号〃•.aNL

七2居

・•・当a>l时，函数f(x)在［L+8)上单调递增.

・•・实数a的取值范围是(-8,0］U［l,+oo).

(2)由(1)可知，①当a<0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+8)上单调递减.

②当a>l时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增.

③当0<a<l时而ax2-2x+a=0,

解得x=口号或x=吗三

・•・函数f(x)在(0,匕”抓*,+8)上单调递墙在(匕耳,*)上单调递减

易错警示

利用导数求函数f(x)的单调区间,要先求函数的定义域D,再求导数f'(x),进而

解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)得到解集P,定义域与不等式解集的交集DAP才是

函数的单调递增(减)区间.

8.答案荆

解析由已知得,f'(x)=2cos2x-l.

令f(x)=0,得2cos2x-l=0,

解得x=q或x=/

因为f。考力f(-加G+3停)=4f0)吗所以函数f(x)在卜羽上的最大值和

最小值分别为*3

9.解析(l)f'(x)=x2+2ax+b,

结合题意可得循;煞山三

r_11

解得:丁

故f(x)-白2+白+最

(2)由⑴知f(x)=x2*x+理

令f'(x)>0,解得x>3或x<|,

令f1(x)<0,解得?<x<3,

故f(x)在［o,|)上单调递增，在(|同上单调递减，

故f(x)在［0,3］上有极大值，无极小值，且f(x)极大值=f(|)=爵,

又f(o)W，f⑶韦35

故f(x)的最小值曷.

易错警示

兼函数的最大(小)值时，要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，其中

最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.函数没有极小值时不一定没有最小值,

解题时要正确理解极值与最值.

10.解析⑴如图，过T作TM_LOC于M,过B作BG_LTM于G,过A作

AE_LOC,交OC的反向延长线于E,过T作TN_LAE于N,

A

易得OM=2cos0,BG=3-2cos0,zBTG=zTOS=e,BT=^?,

sing

同理AN=3-2sin0,AT=^^.

cos6

贝”_BT+AT.3—2cos8+3—2sin6_3(sin0+cos0)-2

八sin。cos。sinJcosd'\12/,

(2)-^x=sin0+cos0厕x=V^sin(e+J

•.-0G(o,g,.-.xe(l,V2].

易得sin0cos0二字，

.」=邕=翳,xwQ/L

•九'二端善xRLa],显然LVO恒成立〃」二翳在(1的上单调递减

・

••当x=/时，函数取得最小值，且Lmin=6V2-4.

L的最小值的实际意义:在拐弯时,铁棒的长度不能超过(6或-4)m,否则铁棒无法通

过，也就是说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为(6/-4)m.

易错警示

求与实际问题有关的最值时，要注意函数的定义域必须使实际问题有意义.例

如,长度、宽度应大于0,销售价格一般要高于进价(特价商品除外)等.

思想方法练

L解析⑴当a=|Htf(x)=1x-ln(lnx)-l,f(x)的定义域为(L+河，

_1_1_xlnx-e,XG(l,+oo),

exlnxexlnx

设m(x)=xlnx-e,xe(l,+oo),

则m'(x)=lnx+l>0,

・••m(xj在(L+8)上单调递增，

,.,m(e)=0,/.^il<x<e时,m(x)<0厕f'(x)<0,

当x>e时,m(x)>0厕f'(x)>0,

「.f(x)在(Le)上单调递减，在(e,+8)上单调递增.

⑵由题意可得a>0.

(axlnxl,xe[e,+oo).

f'、x/)=ax-ln-x=xlnx

令v(x)=axlnx-l,xG[e,+oo),

贝Uv'(x)=a(lnx+l)>0,

.•.v(x)=axlnx-1为[e,+8)上的增函数，

/.v(x)>v(e)=ae-l.

结合a>0及ae-1的正负对a进行分类讨论.

①当a邛寸,vxw©+8),v(x)“恒成立,

即f'(x)20恒成立，且仅在有限个点处取等号，

「.f(x)在[e,+8)上单调递增而f(e)=ae+lna>0,

/.^x>e0tf(x)>f(e)>0.

・・・当a耳时,对任意x£[e,+8),f(x)“恒成立.

②当0<己<用寸、佗)=^6-1<0,易知v(e》=W-l>0,.•与xo£(e,e》使得v(xo)=O,

,」v(x)为[e,+8)上的增函数,

・•・当x£[e,xo)时,v(x)<0,即f'(x)<0,

・・・当x曰e,xo)时,f(x)单调递减

.,.当xe[e,xo)H^,f(x)<f(e)=ae+lna<0,

这与对任意xe[e,+oo),f(x)之0恒成立矛盾，

.•.0<a<杯符合题意.

综上,a的取值范围是t,+8).

2.解析⑴证明:当a=|Htf(x)=cosx+*-L所以f(x)的定义域为R,且f(-

x)=f(x),

故f(x)为偶函数.

当x>0当f'(x)=-sinx+x,

记g(x)=f'(x)=-sinx+x,所以g'(x)=-cosx+l.

因为g〈x)20,所以g(x)在[0,+8)上单调递增,

即f'(x)在[0,+8)上单调递增,

^f'(x)>f'(O)=O,

所以f(x)在。+8)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,

因为f(x)为偶函数,所以当xGRf(x)>0.

(2)由于x2的系数含参,因止匕需对a与0的关系分类讨论.

①当a=0gjf(x)=cosx-1,

令cosx-l=O解得x=2kn(keZ),

所以函数f(x)有无数个零点，不符合题意.

②当a<0时,f(x)=cosx+ax2-lwax2w0,当且仅当x=0时，等号成立，故a<0符合

是页

③茵为f(-x)=f(x),且f(x)的定义域为R,

所以f(x)是偶函数，

又因为f(0)=0,所以x=0是f(x)的零点.

岂a>0时,f'(x)=-sinx+2ax,

记h(x)=f'(x)=-sinx+2ax,

则h'(x)=-cosx+2a.

由于cosxwELl],因此需讨论2a与1的大小.

(i)若a4则h'(x)=-cosx+2a>-cosx+l>0,

故h(x)在(0,+8)上单调递增，

故当x>0时,h(x)>h(O)=O,即f1(x)>0,

故f(x)在(0,+8)上单调递增，故f(x)>f(O)=0.

所以f(x)在(0,+网上没有零点.

因为f(x)是偶函数，所以f(x)在R上有且只有一个零点.

(ii)若0<a4则当x£(0,2<]时存在xi£(o,g,使得cosxi=2a,且当0<x<xi

时,h(x)单调递减，故h(x)<h(O)=O,

即当x£(0,xi)时,f'(x)<0,

故f(x)在(0,xi)上单调递减f(xi)<f(O)=O.

又f(2ir)=cos2TT+a(2TT)2-1=4an2>0,

所以f(xi)f(2m<o,

由零点存在定理知f(x)在(XL2TI)上有零点又因为x=o是f(x)的零点所以0<a<|

不符合题意.

综上所述,a的取值范围是(-8,0)u，,+8).

思想方法

利用分类讨论思想解题的一般步骤为⑴确定分类标准;(2)恰当分类;(3)逐类

讨论;(4)归纳结论.在本章中,求单调区间、参数的取值范围、极值、最值以及解

决恒成立或有解的问题时，往往需要用到分类讨论思想.

3.P令F(x)=竽，贝UF'(x)=^J^.

构造函数进行转化,从而使新函数的导函数向已知条件,/xf,(x)-f(x)>0,/靠拢.

当x>0时,xF(x)-Rx)>0,所以

所以F(x)在(0,+8)上单调递增,

又f(x)是奇函数且f(-2)=0,

所以K2)=-f(-2)=0厕F⑵=0,

因为F(-x)=色二§二午=F(x),且F(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称，

所以函数F(x)为偶函数，所以F(x)在(-8,0)上单调递减，且F(-2)=0.

利用函数的奇偶性进行转化狷到函数月刈在(e劭上的单调性.

所以当三①时承X)>如的解集为己+8)；

当x<0时,f(x)>0的解集为(-2,0).

综上所述,f(x)>0的解集为(-2,0)U(2,+oo).

故选D.

4.解析⑴易知函数f(x)=lnx-2x2的定义域为。+8),f(x)W-4x=亨二空却警

由x>0得l+2x>0,

当乂£线)时才仅>0做)单调递增,

当XW&+8)时,f(x)<0,f(x)单调递减,

所以f(x)的单调递增区间是(0,》单调递减区间是&+8).

(2)对任意xw[g函数f(x)*g(x)恒成立,

即对任意x£||,+8),不等式a<lnx+?恒成立，

所以对任意XG[|,+8)后<fInx+.

'X，min

分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.

令h(x)=lnx+5则《冈三《二,

当x%时h(x)<0,函数h(x)单调递减,

当xRL+8)时h(x)>0,函数h(x)单调递增，

所以当x=l时,h(x)取得极小值，也是最小值，且h(x)min=h(l)=ln1+1=1,所以

aWh(X)min—1.

所以a的取值范围是(-81].

思想方法

转化与化归思想在利用导数解决函数问题中常见的应用有将含参数的问题

转化为不含参数的问题，将单调性问题转化为不等式问题，将不等式及方程问题转

化为最大(小)值问题等.

5.解析⑴由题意得,f(Xi)max4[m+g(X2)]max,

将双变量不等式问题转化为比较两个函数最值的大小问题.

f'(x)=ex(cosx-sinx)-(sinx+xcosx)

=(ex-x)cosx-(ex+l)sinx,

当x目一列时,f(x)>0,故f(x)在卜别上单调递增,所以当x=0时,f(X)max=f(0)=l.

易得g1(x)=cosx-&ex,令t(x)=g1(x),

则t'(x)=-sinx-/e5当xe[o,|H^,t'(x)<O,

所以9'(刈在[0用上单调递减，

^mg1(x)<g1(0)=l-V2<0,

故g(x)在[0用上单调递减,

因此当x=0时,g(x)max=g(0)二-&.

所以lwm-&,所以m>V2+l.

所以实数m的取值范围是欧+1,+8).

(2)证明:当x>-l时，要证f(x)-g(x)>0,只需证excosx-xsinx-sinx+V2ex>0,

即证ex(cosx+V2)>(x+l)sinx,

由于cosX+V2>0,X+l>0,

所以只需证高>芸・

通过分析，将所证不等式一步步转化为易于研究单调性的两个函数的大小关系.

令h(x)=*>-l),

贝Uh'(X)=e，(x+l)[=三.

'/(%+1)(%+1)

当x£(-L0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减；

当xw(0,+8)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当且仅当x=0时,h(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为1.

解法一:令女二六为厕kcosx+V2k=sinx,

即sinx-kcosx=&k,即sin(x-(p)=^L(tancp=k),所以尚Lwl,即-Iwkwl,所以

J1+/Jl+/

kmax=I；

又当x=0时,k=O<l=h(O),

当xwO时,h(x)>l”,

所以$).>(£高，即—

\ATXZmmXLOiA-rv£.✓max

将两函数的大小关系酹化为两函数最值间的关系.

解法二:令W(x);E方则(p(x)可看成是点A(cosx,sinx)与点连线的斜

率匕

所以直线AB的方程为y=k1(x+M

由于点A在圆x2+y2=l上，

所以直线AB与圆x2+y2=l相交或相切，

当直线AB与圆x2+y2=1相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率k'取得最大

值，且最大值为1.

又当x=0时,(p(O)=O<l=h(O),

当XWO时,h(X)>12匕所以h(X)min>(P(X)max,

即告

x+1cosx+V2

综上所述，当X>-1时,f(x)-g(x)>0成立.

解法三:令(p(x)=%，

则。(X)二志等，

令q)'(x)=O可得x=^+2kn或x=^+2kn(keN),

易知当x二与+2kTT(k£N)时,(p(x)取得最大值，且最大值为1,

又当x=0时,q)(O)=O<l=h(O),

当xwO时,h(x)>l±q(x),

所以h(X)min>(p(X)max,即条》意^.

综上所述，当X>-1时,f(X)-g(x)>0成立.

6.C作出函数y=f(x)的图象，如图所示

由图象可知，当-3wawl时，直线y=a与函数y=f(x)的图象有两个交点的⑶、

(X2,a),

作出函数f(x)的图象，数形结合，直观得到a的取值范围及Xi,X2满足的关系式，从

而利用导数SB：…

又X】W所以k2玄:则

则/+X2=ea-a+L令g(x)=ex-x+l,-3<x<l,

则g'(x)=ex-l,-3<x<l.

当-3wx<0时,g'(x)<0,

当0<x<