2020年上海新高一新教材数学讲义-17 函数的基本性质三教师版

专题17函数的基本性质（3）

（函数的最值）

知识梳理

一、函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

二、函数的最值

1、设函数y=定义域为A,则当xeA时总有=则称当x=x0时取最大值

M■当xeA时总有=则称当x=不时取最小值N；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题：

3、闭区间的连续函数必有最值。

三、函数的值域的求法

1.直接观察

2.配方

3.基本不等式/耐克函数

4.判别式法

5.分离常数法/部分分式法

6.换元

7.数形结合

8.单调性

9.奇偶性(*)

例题解析

一、特殊方法

1.直接观察

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

【例1】求函数y=3—五的值域；

【难度】★【答案】-五43故函数的值域是：H»,31

【例2】求函数y=|2x—l|+|x—3|的值域

【难度】★★【答案】g,+oo)

2.配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

对于求二次函数y-cvc+区+<:("0)或可转化为形如/(工)=4[8(£)丁+像0+44声0)的函数的

值域(最值)一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解：

【例3】求函数y=Y—2x+5,xw[-l,2]的值域；

【难度】★

2

【答案】将函数配方得：y=(x-l)+4VXG[-1,2]

由二次函数的性质可知：当X=1时，Ymin=4,当x=-l时，ymax=8

故函数的值域是：［4,8］

【例4】求二次函数y=-幺+4%一2,xe［1,4］的值域；

【难度】★

【答案】函数的定义域为［1,4］,y=—V+4x—2=—(X—2)2+2,从而函数为对称轴为x=2的开口向下

的二次函数，.•.ymin=T2+4x4—2=—2,=2.即函数的值域为卜2,21

注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。

［例5］求f(x)=x4+6x2-5,xe［―1,2］的最大值

【难度】★★【答案】35

【例6】设_?+4丁2+8%+7=0,求尤2+y2的最值

【难度】★★【答案】［1,49］

2

【例7】求函数/(幻二一)—的值域

x-2x—3

【难度】★★【答案】(0,+oo)

［例8］求函数/(X)=6+J匚M的值域

【难度】★★★【答案】［1,3］

3.基本不等式

对形如（或可转化为）/（无）=or+g可利用等2J拓,/+从22"求得最值。注意“一正、二定、

三相等”;

【例9】求函数y=2x+%xe［2,4］的值域；

-933-

【难度】★【答案】

［24」

2

【例10］求函数丁=:X三+的2值域。

\lx2+1

【难度】★【答案】定义域xeR，y=V^2+l+-U=^2,满足取等号的条件。

V7+1

【例111求函数y=f(l—2x)0,-的值域;

2

【难度】★★【答案】0,—

27

X

【例12】求/(%)=—的值域;

14-X4-X

【难度】★★【答案】一1一

3

2

【例13］求/（x）J+。的值域;

777T

【难度】★★【答案】a<2时，［a,400）；a22时，12或-1,+8）

4.判别式法

一般地，形如/(x)=ox+b士Jex)+<Zx+e,/(x)=+，cx++匕，*；的函数,我

们可以将其转化为P(y)"2+q(y)/+r(y)=0,p(y)N0的形式，再通过

△=［"()')了—4p(y>r(y)N0求得y的范围；但当函数为指定区间上的函数时,用判别式法求出y的范

围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误；

5丫2_i_QY4-5

【例J14］求函数y=:的值域;

x+\

【难度】★★

勺丫2Ior।c

【答案】y=',,一可化为(y-5)x2-8x+(y-5)=0

x+1

当y-5=0即y=5时，方程在实数范围内有唯懈x=0：

y-5Ho

当y—5Ho即y/5时，xeR,.,.A20,即<,.

-64-4(^-5)'>0

解得IVy<9,.•.函数的值域为［1,9］

【例15】设函数丁=式与的值域为［―1,5］,求。必

【难度】★★

【答案】化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解.

yx2-ax+2y-b=0

A="=-Sy2+4by+a2N0解集为［-1,5］，解得a=±2而,b=8

5.分离常数法/部分分式法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域

较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分

式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.

1—Y

【例16］求函数y=-----的值域；

2x+5

【难度】★★

_；(2x+5)+g77

【答案】丫W12二，因为)w0,则yw—g

2x+522x+52x+5

故函数y=l二，的值域为1y|yW—，]。

2x+5L2]

?r-1+2x+2

[例17](1)y=-------(2)y=--------------

2x+lx+1

【难度】★★

【分析】对于分式函数一般采用分离常数的方法，先将分式函数变为基本函数，再通过基本函数的图像和

4/7

性质求值域。分式函数分离之后可能变为：反比例型y=—(AwO)函数；耐克函数y=x+—(a>0)；二

xx

次型函数y=a(-)2+/?(-)+c(aH0)等。

XX

2x-l2x+l-2।2।

【解答】(1)y二与」------------=1----------w1

2x+l2x+l2x+1

所以原函数的值域是(一8,l)U(l,+8)

.__n+2x+21

(2)因1为y=--------------=x+l+-------

x+\x+1

当x>—l时，x+l>0,所以yN2当且仅当x=0时等号成立;

当不<一1时，x+l<0,所以y<—2当且仅当ix=-2时等号成立;

所以函数的值域为(一8,-2]U[2,+8)。

【例18】求函数y=的最值;

【难度】★★【答案】0,；)(l,+oo)

【巩固训练】

1.求二次函数y=f-6x+3,xw[2,7]的值域；

【难度】★【答案】[-6,10]

2.求函数y=x(l-2x),xe0,g的值域。

【难度】★【答案】0,-

8_

1-I-丫+F

3.求函数y=i十八十:的值域.

1+X

【难度】★★

【答案】原函数化为关于X的一元二次方程(y-l)x2—x+y-l=0.

(1)当yrl时，xeR,A=(-l)2-4(y-l)(y-l)>0,解得/

'131「13一

(2)当y=l时，x=0,而le.故函数的值域为.

22J\_22_

O丫？-Lhy「

4.4知函数“X)=0<0)的值域为[1,3],求实数。,C的值;

【难度】★★

【答案】变形有(y-2)x2-bx+(y-c)=0,d=b—4(y-2)(y-c)=4y2-4(2+c)y+8c-b2>0,

其解集为[1,3],解得b=-2,c=2,y=2时也适合.

尤+1

5.求函数y=的值域;

厂+2x+2

【难度】★

【答案】先将此函数化成隐函数的形式得：yx2+(.2y-1)x+2y-]=0

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程的判别式

△=(2y—I)?—4y(2y—1)20,解得：一4Wy故原函数的值域为：ye[—右/

评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在尤eR或仅有个别值(个

别值是指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y值，若在求出的值域中则应除去此y值)

I+X+

不能取的情况下，否则不能使用，如求函数丁=------，xe(2,3)的值域，则不能使用此方法.

1+x

5丫一]

6.求函数了=亡5»€]—3,—1]的值域。

57「X一

【难度】★★【答案】y=--------,XG[-3,-1],值域一,3

48x+45

二'通用方法

6.换元法

有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量，通过换元，我们

常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露己知与

未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所

给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

【例19】求/(x)=X+7的值域；

【难度】★

【答案】令=WU=l-r2（r>0）,y（%）=y（i-/2）=i-z2+/=L--I+-<^,

所以函数值域为[-0。,1.

【例20]求函数y=2x+4jl-x的值域;

【难度】★

【答案】设二则后0

，户1一』代入得y=f(t)=2X(l-?)+4/=-2r2+4r+2=-2(r-l)2+4

TO，yW4；.所求值域为(-oo,4]

7.数形结合

对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函

数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程

大大简化：

x?+2,x—3(—2Vx<0)

【例21】求函数/(x)=,的值域.

x2-2x-3(0<x<3)

【难度】★

【答案】求分段函数的值域可作出它的图像，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地

求出其值域.

解：作图像如图所示.

,.,/(-1)=/(1)=-4,/(-2)=-3,/(3)=(),/(0)=-3,

.•.函数的最大值、最小值分别为0和-4,即函数的值域为[-4,0].

【例22】求函数y=yJ(x-2)2+J(X+8)2的值域。

【难度】★★

BPA

]__________II__________L

【答案】-802

AB

原函数可化简得:y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P(X)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。

由上图可知,当点P在线段AB上时，丫+-2|+以+8|=9|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：“°，内］

【例23］求函数〃=，彳2+4犬+5+，^一4%+8的值域；

【难度】★★

【答案】原函数变形为f(x)=J(x+2)2+l+"(x-2)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割

成12个单位正方形。设HK=X,则EK=2-X,

KF=2+%,AK=,KC=+2>+1。由三角形三边关系知，AK+KC3AC=5。

当A、K、C三点共线时取等号。，原函数的知域为｛y|y25｝。

a,a>b

［例24］对a,beR,记max{a,。}=<,求函数/(x)=max||x+l|,|x-2||,xe7?的最小值。

b,a<b

3

【难度】★★【答案】-

2

【巩固训练】

7.求函数y=3x+J2-5x的值域;

【难度】★

(o-］_____2—/2

【答案】函数的定义域为—8,g,令72-5X,那么r?0,X=-y-

.2—产3J5163(5丫97.•.当r=2即y/2-5x=2也即X=色时，函

-55(3J55(6)6066180

97/Q7-

数有最大值”；函数无最小值..•.函数的值域为-00,卫

60160

点评：对于形如/(x)=融+\士Jcr+d(a、b、c、d为常数，ac/0)的函数，我们可以利用换元法

求其值域.

8.已知函数“X)的值域为,求函数y=/(尤)+肃-2/(%)的值域。

89

【难度】★★

【答案】令Jl-2/(x)=f,败•(x)=?:.y=^--+t=-^t2+t+~

一-

-<f(}<-31117

由8—八x”9得:^</U)<-/.O<r<l

2-8-所求值域为

l-2/(x)>0822,一-28

评注：利用引入的新变量f,使原函数消去了根号,转化成了关于f的一元二次函数，使问题得以解决.用

换无法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域.

9求函数尸等的值域。

【难度】★★

【答案】令1=Jx+2(tN0),则x+3=J+l

tH—0<y<一

(l)当t>°时，t,当且仅当t=l,即X=-1时取等号，所以2

(2)当t=0时，y=0«

综上所述，函数的值域为：°4

注：先换元，后用不等式法

图1

10.求函数y=|x—l|+k—3|的值域.

【难度】★

【答案】此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数.

-2x+4,XG(-oo,l],

y=[2,xw(l,3),在对应的区间内，

2%-4,xG[3,+GO),

画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为[2,+8).

11.求函数/(1)=)/+2*+5-1/+2%+2的最大值;

【难度】★★

【答案】/(x)=&+2x+5-Jx2+2x+2=J(x+iy+4-J(x+l)2+l=

7(X+1)2+(O-2)2-7(X+1)2+(O-1)2.

显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-I,1)的距离之差的最大值.如图I所示:

7(X+1)2+(0-2)2=|AB|,7(X+1)2+(0-1)2=|AC|,ft|BC|=l.

显然f(x)=|ABHAC闫BC|=1当且仅当A,B,C三点共线时取到等号，即当X=-l时［/(xJL*=1

三、函数性质

8.单调性

单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确

定函数的值域.

对于形如/(x)=or+b+5/ar+d(a>b、c、d为常数,ac〉O)或者形如/'(x)=g(x)+―—而使

g(x)

用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

丫2+5

【例25】求函数〃x)=FLxeR的值域;

six2+4

【难度】★★

(答案l/(x)==&+4+1,若用不等式法，那么等号成立的条件为4+4=1

2

Vx+4VX2+4A/X2+4

即f=一3,显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了.

为了简化函数，我们不妨先进行一下换元，设&+4=/(/22),则函数就转化为y=t+^,/e［2,+oo),

现在我们考查一下函数丫=£+1的单调性：

t

函数在［-1,0)、(0,1］上都单调递减；而在(fO,—1］、［1,+8)上单调递增.

那么当fe［2,+8),函数是单调递增函数，故当f=2即Jf+4=2也即x=0时,函数有最小值

"(x)L.=/(°)=|，；・函数A©的值域为(，”)•

【例26］求函数y=2x—3+Jj^l的值域.

【难度】★

【答案】函数的定义域为［1,+8),显然函数在其定义域上是单调递增的，.•.当X=1时，函数有最小值

ymin=-1.故函数的值域为［T,+»).

【例27］求函数y=&工1一/口的值域。

【难度】★★

【答案】y=-7=~,xNl,工都是增函数，故丁=^n-5/1万是减函数，因

A/尤+1+\/x—1

此当x=l时，丫的=丘，又'.'y〉。，.,.ye(0,夜］。

【例28】求函数/(x)=x+Jx2-1的值域

【难度】★★★

【答案】［一1,0)［l,+oo)

9.奇偶性(*)

适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，

可以利用奇偶性直接得出答案；

【例29］若e(x),g(x)都是奇函数，/(x)=a-e(x)+Z?-g(x)+2在(0,+oo)上有最大值5,则/(x)在

(YO,0)上有()

A.最小值-5B.最大值-5C.最小值一1D.最大值-3

【难度】★★

【答案】C

【解析】。(X)、g(x)为奇函数，二((x)—2=a0(x)+6g(x)为奇函数.

又/(x)有最大值5,，-2在(0,+8)上有最大值3.

二/(》)-2在(ro,0)上有最小值-3,f(x)在(TO,0)上有最小值一1.答案为C.

【巩固训练】

12.求函数y=，3x+6-我二［的值域;

【难度】★★

【答案】此题可以看作y=〃+口和M=j3x+6.v=一的复合函数，显然函数"=j3x+6为单调递

增函数，易验证u=—亦是单调递增函数，故函数y=后工4—百二工也是单调递增函数.而此函

数的定义域为［一2,8］.当x=-2时，y取得最小值—JR).当x=8时，y取得最大值而.

故而原函数的值域为［—而,V30］.

13.求函数y=x-Jl-2x的值域;

【难度】★★

【答案】易知定义域为1-8,；,而y=」_Jl_2又在(一co,；上均为增函数,

二=g,故ye(-oo,；

14.函数〃x)=x2+1,x<-l的值域是.

【难度】★★

o1

【答案】函数〉二/和丁二一在—上都是减函数，所以"而=*_1)=0,所以函数/(X)的值域为

X

［(),+00).

Y+2/+x

15.设函数〃x)=-~二一n-1的最大值为M,最小值为相，则M+/n=__________.

2x+|x|

【难度】★★【答案】2

四、综合及应用

【例30］若关于%的不等式炉+36+,-6刊2必在［2,10］上恒成立，则。的取值范围是.

【难度】★★★【答案】«<12

y~_1_Oyzj

【例31］已知函数/(/)=♦3,XG［1,+8)；

(1)当a时，求函数/(%)的最小值；

(2)若对任意xe[l,+8),/(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围；

【难度】★★【答案】错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：解法一运用转化思想把/(x)>0转化为关于％的二次不等式；解法二运用分类讨论思想

解得.

(1)解：当a时，f(x)=x+---F2

2''2x

7

・・・/(同在区间[1,丑0)上为增函数，・・・〃X)在区间[1,+8)上的最小值为〃1)=万.

(2)解法•：在区间[1,+8)上，〃x)>0恒成立=丁+2%+〃>0恒成立.

设y=f+2X+«,XG[1,+OO)

*.*y=X?+2x+a=(x+1)2+。一1单调递增，

工当x=l时，ymin=df+3>0»故。〉一3

解法二：/(x)=x+—+2,xe[l,+oo)

当a20时，函数/(x)的值恒为正；

当"0时，函数f(x)递增,故当x=l时，

当且仅当/(x)min=a+3>0时，函数/(x)>0恒成立，故a〉—3

(x-a)2,x<0

【例32】函数=(]，若/(0)是“X)的最小值，则。的取值范围为()

XH----X〉0

、X

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]

【难度】★★

【分析】由分段函数可得当x=0时，f(0)=a2,由于f(0)是f(x)的最小值，则(-8,0］为减区间，

即有叱0,则有a2wx+La,x>0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a,解不等式a232+a,

X

即可得到a的取值范围.

)2,x40

【解答】解：由于f(x)

x>0.

贝ij当x=0时，f(0)=a2,

由于f(0)是f(x)的最小值，

则(-8,0］为减区间，即有aK),

则有a2<x+—+a,x>0恒成立，

x

由X+x-2^l=2,当且仅当x=l取最小值2,

则a2<2+a,解得-lWaM2.

综上，a的取值范围为［0,2］.

故选：D.

【例33］某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500

元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x-g/(万元)(OWxW51其中x是产品

售出的数量(单位：百台)

(1)把利润表示为年产量的函数；

(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？

(3)年产量多少时，企业才不亏本？

【难度】★★

【答案】(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入K(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当xW5时，

产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以

1

5X--X29-<0.5+0.25x)(0<x<5)1

4.75x--x29-0.5(0<x<5)

1

(5x5-—x5~9)-(0.5+0.25x)(x>5)12-0.25x(x>l)

2=4.75（百台）时，为耽=1。.78125（万元），当x>5（百

(2)在OWx近5时,)=——f+4.75x—0.5,当x=一

22a

台)时，yV12—0.25X5=10.75(万元)，

所以当生产475台时，利润最大.

0<x<5r>S.

（3）要使企.业不亏本,即要求12或

-X2+4.75%-0.5>012-0.25%>0

12

解得52x》4.75—j21.5625*0.1（百台）或5cx<48（百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间

时，企业不亏本.

【巩固训练】

16.设花,％2为方程4/-4,nx+〃?+2=0的两个实根，当根=时，有最小值.

【难度】★★

【答案】一1;-

2

17.已知函数/（%）=X2-4⑪+2a+6（awR）

（1）若函数的值域为［0,”），求。的值；

（2）若函数的值均为非负数，求函数g（a）=2—a|a+3|的值域。

【难度】★★

73

【答案】（1）/（x）=（x-2a）--4a?+2a+6,即7〃+2。+6=0,。=-1或］

3"当+?值域

(2)ClG—1,一g(Q)=—a2—3a+2=

2I2)4L4.

18.对于函数/(x)/(x),〃(x),如果存在实数使得〃(x)=a•f(x)+。1(x),那么称〃(x)为

/(x)/(x)的生成函数.

(1)判断下面函数，“(X)是否分别为/(x)/(x)的生成函数？并说明理由；

,/i(X)=X2-X,(X)=X2+X+1,A(x)=X2—x+1;

(2)设/k)=:r；&(x)=La=1,b=l生成函数/?(x),若不等式3/j2(x)+2〃(x)+f40在xw[l,2]上有解,

求实数r的取值范围；

(3)设工仅)X乂>0),^(x)=—(x>0)，取a>0,A>0，生成函数〃(x)图像的最低点为(2,8),若对于任意的

正实数公々，且苍+刍=1，试问是否存在最大的常熟〃?，使〃(为)〃(々)2加恒成立？如果存在，求出这个山

的值；如果不存在，请说明理由.

【难度】★★★

95

【答案】(I)不是；(2)t<——；(3)m<289

反思总结

1、函数值域的问题，也要先求定义域，或者题目给定的范围内求；然后根据解析式的特征选择合适的方法;

2、大多题目都需要各种方法综合运用，所以换元、配方、部分分式、单调性尤其要熟练掌握；

3、不等式的恒成立、方程的有解，本质上都是函数值域和最值的问题，灵活运用参变分离法;

课后练习

1、函数y=x2+L,x«-L的值域是()

x2

【难度】★★

【答案】B

2、函数y=x+Jl-2x的值域是()

A.(-oo,l]B.(-oo,-1]C.RD.[l,+oo)

【难度】★

【答案】A

3、函数y=«+2的值域为.

【难度】★

【答案】[2,”)

4、函数y=S，xw[l,3)(3,5]的值域为.

【难度】★

1

【答案］00,—,+00

2

5、函数y=1+3,xw［4,5］的值域

【难度】★

'513'

【答案】

\_25J

6、函数丁=一/+4》+8的值域

【难度】★

【答案】(F』2］

7、求函数y=Jx—1+Jx+l,(x»1)的值域

【难度】★

【答案】［垃,+00)

8、求函数y=，J+6x+io的值域—

【难度】★★

【答案】［1,+00)

9、求函数y=2兀+二(x>0)的值域.

【难度】★★

【答案】［3,+8)

10、求函数y=-2x?+5x+6的值域

【难度】★

【答案】d

2r+1

11、求函数y=-.....的值域

x-2x+2

【难度】★★

1

【答案】（-00,-1）U—,+oo、

27

12、求函数旷=生2

的值域.

3x—2

【难度】★★

、

【答案】fj。2,+8

137

13、求函数y=------cwO,xw—的值域

cx+d

【难度】★★

【答案】-00,—U—,4-00

c7

14、求函数y=x-J1-2」的值域.

【难度】★

【答案】f

15、求函数丁=上一3卜归+1|的值域。

【难度】★★

【答案】[Y,4]

I6^求函数y=x+一的值域«

x

【难度】★

【答案】(-00,-2]32,”)

17、一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达8市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，

两列货车间距离不得小于(4)千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时(不计货车的

车身长).

【难度】★★

【答案】8

18、求下列函数的值域

【难度】★

【答案】(F,-2)(-2,-HX)

x~一x+1

(2)y

X+X+1

【难度】★★

【答案】-,3

3

【难度】★★

【答案】[—1,1]

【难度】★★

【答案】(-00,-1][3,4W)

(5)y=y1—x2+%+2

【难度】★★

【答案】将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

由一/+%+220,可知函数的定义域为此时

，c,1、，9r91

-x+x+2=-(x——)~+一£0n,—

24

二0<J-f+x+2<2，函数的值域是

19、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°,防洪堤高记为〃(如图)，考虑到防洪堤

坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为6百平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则

断面的外周长/(/=A6+8C+CQ)要最小。

(1)用〃表示AB、BC,

(2)将/表示成〃的函数/=/(〃)，如〃限制在［3,2右］范围内，/最小为多少米？并说明理由。

【难度】★★

【答案】（1）由题意，AB=——=->/3/?o

sin603

~（AD+BC）h=6y/3,H.AD=BC+2hcot60°=BC+—h。

23

所以g（2BC+述/?）〃=6后，解得"=半-3J?。

（2）l=AB+BC+CD=2AB+BC==^^-+—­—h=j3h+—（3</?<2A/3）

3h3h

任取34%<%(2后，则%+且一名-且=(%-〃2)(l——)<«.

%〃2

所以/=£(〃+6)在区间［3,2石］上单调递增。

忑

所以bin=6x3+半=5百(米)。答：/最小为米。

20、/(X)=,二6的定义域为R，/⑵>/⑴，«>0

\+a-2

(1)求证:b<0；

4］

(2)/⑴=w，/(x)在［0』最小值为彳，求/(x)的解析式;

(3)在(2)的条件下，设［目表示不超过X的最大整数，求g(x)=/(%)--+/(-%)--的值域。

【难度】★★★

1_.1:0

【答案】⑴由得：l+a-22h>\+a-2h>,l+«-22ft<1+«.2\即a/〜

V«>0,2〃>0,.'〈O。

(2)•.•/(')在尺上单调递增，在［°/上的最小值为二=万，二。=1。

/(l)---2=4

l+a-2*1+2*5•4•b=-2-y(x)-___!___-'

...............................................)1+2-2'1+4'

⑶八微)」=士.

21+4'22(1+4')I22J

14-*_11-4*(1A1

-=------------=------------=-f(x)__，/(x)_二为奇函数。

22(1+4-*)