2024年中考数学尖子生高分突破：0000 期中期末测试题

期中测试

选择题：

1.给出以下方程的解题过程，其中正确的有（）

①解方程』（X-2）2=16,两边同时开方，得x-2=±4,移项得XI=6,X2=-2；

2

②解方程X（X-1）=（X-1）,两边同时除以（x-工）得X=l,所以原方程的根为X1=X2=1；

222

③解方程（%-2）（x-1）=5,由题得x-2=1,x-1=5,解得xi=3,%2=6；

④方程（x-〃?）2=〃的解是xi=m-Vii.

A.0个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①应先将系数工化为1再开方.所以错.

2

②在不知道因式是否为零的情况下，将其作为除数来化简方程，容易造成丢根.所以错.

③方程右边不为0,不能用因式分解法解.所以错.

④当"为负数时，不能直接开平方.所以错.

故选：A.

2.对于一元二次方程（oWO）,有下列说法：①若n+b+c=O,则廿-4oc20；②若方程cM+c

=（）有两个不相等的实根，则方程以2+法+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程〃/+云+c=（）的一个

根，则一定有〃c+b+l=O成立；④若刈是一元二次方程〃/+公+。=0的根，则启-4〃c=（2ow+b）2,其

中说法正确的有.（填序号）

【解答】解：①当冗=1时，aX12+/?X]^-c=a+b+c=0,那么一元二次方程苏+儿什0二。（〃W0）有两个不

相等的实数根或有两个相等的实数根，此时辰-4〃c20成立，那么①一定正确.

②方程a/+c=0有两个不相等的实根，则・4w>0,那么/-4m>0,故方程o?+云+c=0（aWO）必有

两个不相等的实根，进而推断出②正确.

③由c是方程，。2+法+。=0的一个根，得ac2+hc+c=().当cHO,贝Ijac+Hl=()；当c=O,贝！|ac+Hl不一

定等于0,那么③不一定正确.

④(2axo+b)2=4a2x(r+b2+4abxn,由b1-4ac=4a2xo2+b2+4abM),得axo2+bxo+c=O.由xo是--元二次方

程“/+法+0=0的根，则ow2+/，xo+c=0成立，那么④正确.

综上：说法正确的有①②④.

故答案为：①②④.

3.如图是王阿姨晚饭后步行的路程S(单位：加)与时间/(单位：机山)的函数图象，其中曲线段AB是以B

为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是()

B.线段CD的函数解析式为S=32/+400(25W/W50)

C.5min-20min,王阿姨步行速度由慢到快

D.曲线段4B的函数解析式为5=-3(f-20)2+1200(5W/W20)

【解答】解：A、25加"〜50，〃讥，王阿姨步行的路程为2000-1200=800"?,故A没错;

B、设线段CD的函数解析式为s=kt+b,

把（25,1200）,（50,2000）代入得，（1200=25k+b

12000=50k+b

解得：［k=32,

Ib=400

线段CD的函数解析式为S=32/+400(25WW50),故8没错;

C、在A点的速度为踏•=105"?/加"，在8点的速度为120°-525=回至=45仕/加”,故C错误；

520-515

。、当，=20时，由图象可得s=1200m,将f=20代入S=-3(t-20)2+1200(5WW20)得S=1200,

故力没错.

故选：C.

4.如图，△AB'C是由△ABC经过平移得到的，△A8C还可以看作是AABC经过怎样的图形变化得到？下列

结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是

()

A.①④B.②③C.②④D.③④

【解答】解：先将aABC绕着点A旋转180°得到夕'C",再将所得的△AB"C"绕着点B"行的中

点。旋转18()°,即可得到△A'B'C(方法不唯一)；

先将△48C沿着88的垂直平分线翻折可得△?!"B'C",再将所得的"BC"沿着4A”的垂直平分线

翻折，即可得到△A9C'(方法不唯一)；

故选：D.

5.已知二次函数)，=/+法+。QW0)的图象如图，则下列结论中正确的是()

B.b2-4ac<0C.9a+3b+c>0D.c+8aV0

【解答】解：4•••二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上,

：.a<0,c>0,•.•抛物线的对称轴是直线x=l,-M=l,

2a

：.b=-2a>0,：.abc<0,故本选项错误；

8.丫图象与x轴有两个交点，...川-4以>0,故本选项错误；

C.；对称轴是直线x=l,与x轴一个交点是（-1,0）,

...与x轴另一个交点的坐标是（3,0）,

把兀=3代入二次函数yjM+bx+c（aWO）得：y=9〃+3b+c=0,故本选项错误;

D.,・,当x=3时，y=0,*:b=-2a,.•・y=or2-2ox+c,

把x=4代入得：y=16a-8〃+c=8〃+cV0,

故选：D.

6.如图，四边形A5CO为正方形，A8=l,把△ABC绕点4逆时针旋转60°得到△AEF,连接OF,贝ljO产

的长为（）

A氓用

D考

,2B.年c.亨

【解答】解：如图，连接8E,CE,过E作EG_LBC于G,

由旋转可得，AB=AE=1=AD,AC=AF,N8AC=N£AF=45°=ZDAC,

：.ZCAE=ZFAD,：.^ADF^/^AECCSAS）,：.DF=CE,

由旋转可得，AB=AE=1,N84E=60°,.♦.△A8E是等边三角形，

；.BE=1,ZABE=60°,：.ZEBG=30°,

:.EG=XBE=1.BG=1^'--CG=1-1/3-

22

...RtACEG中,CE二标寿7皮）2+（好|4）2=后耍=产与叵2

I（遥）2「v1'672-QF=娓亚

V4-2~-2-

故选：A.

7.如图，直线y=fcr+。（《#0）与抛物线＞=”/（。/0）交于A,B两点，且点A的横坐标是-2,点B的

横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=af（“#（））的图象的顶点一定是原点；

②氏＞0时-，直线＞=近+8（ZW0）与抛物线y=a?QW0）的函数值都随着x的增大而增大；③48的长度

可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当-3Vx＜2时，cvc+kx＜b,其中正确的结论是

【解答】解：①抛物线利用顶点坐标公式得：顶点坐标为(0,0),

故①正确：

②根据图象得：直线)=依+/7(k#0)为增函数，

抛物线(“#())当x>()时为增函数，

则x>0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，

故②正确；

③由A、B横坐标分别为-2,3,若A8=5,可得出直线A8与x轴平行，即《=0,

与一知矛盾，故4B不可能为5,

故③不正确；

④若。4=。8,得到直线AB与x轴平行，即％=0,与已知AN0矛盾，

.'.OA^OB,即AAOB不可能为等边三角形，

故④不正确；

⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：

可得出：直线y=与抛物线交点C、。横坐标分别为-3,2,

由图象可得：当-3<x<2时，cuC<-kx+h,即故⑤正确,

所以，正确的结论是：①②⑤，

故答案为：①②⑤.

8.二次函数.yuo^+fex+c（mb,c是常数，。#0）的自变量冗与函数值y的部分对应值如下表:

X…-2-1012…

y=tm-2-2n

ax+bx+c

且当x=-』■时，与其对应的函数值），>（）.有下列结论：①〃bc<（）；②-2和3是关于x的方程o?+云+c

2

=/的两个根；③0V〃什〃<殁.其中，正确结论的个数是（）

3

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：当x=0时，。=-2,当x=l时，a+b-2=-2,.*.^=0,

2

/.y=ax-cix-2,Aabc>Of①错误；

五=2»是对称轴，冗=-2时丁="贝!Jx=3时，y=tf

・・・-2和3是关于x的方程依2+bx+c=f的两个根；②正确；

tn=a+a-2,〃=4a-2。-2,*.tn=n=2a-2,.\m+n=4a-4,

..,当x=-A•时，y>0,a>A,/.m+n>,③错误；

233

故选：B.

9.如图，在平面直角坐标系中，矩形QA3C的点B坐标为（8,6）,点A在x轴上，点C在y轴上，点。是

边上的动点，连接。。，作点4关于线段。。的对称点A.已知一条抛物线（a=0）经过

O,4,A三点，且点A恰好是抛物线的顶点，则b的值为（）

A.-V3B.2Mc.-2V3D.M

【解答】解：过点A'作4'E_LOA于E,连接A'。、4'A,如图.

可得A的坐标为（8,0）,A'的横坐标为4,（0,0）,.,^=0,

...yuoAbx,；点A恰好是抛物线的顶点，；.6=-8a,OA'=A4',

...丫=--8口，：点A关于线段0。的对称点是A,，。4二。/1’,

...△OAA'是等边三角形，.•.4'（4,4A/3），.-.4V3=16a-32a,

解得〃=-Yl_,；./；=-8“=2百.故选：B.

10.把一副三角板如图甲放置，其中NAC8=NZ)EC=90°,NA=45°,ZD=30°,斜边AB=6,0c=7,

把三角板。CE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时43与CD1交于点O,则线段AO1

的长为（）

【解答】解：：NACB=N£>EC=90°,ZD=30°,

AZDCE=90Q-30°=60°，：.Z4CD=90°-60°=30°，

;旋转角为15°,ZACDi=30a+15°=45°,又：NC48=45°,

.「△AC。是等腰直角三角形，：.ZACO=ZBCO=45°,,：CA=CB,

，AO=CO=」AB=_1X6=3,'：DC=1,：.D\C=DC=7,

22

：.D\O=1-3=4,在RtZ\AOOi中，AD\=JAO2+D=32+4：2=5-

11.如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AO上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针

旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动过程中，。尸的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：如图，连接8凡由旋转可得，CE=FC,NEC尸=60°,•广△A8c是等边三角形,

：.AC=BC,/AC8=60°,AZACE=ZHCF,.二△ACE名△BC尸（SAS）,

：.ZCBF=ZCAE,•.•边长为8的等边三角形A8c中，E是对称轴4力上的一个动点，

：.ZCAE=30a,BD=4,：.ZCBF=30a,即点F的运动轨迹为直线8尸，

...当尸时，。尸最短，此时，。尸=工8。=2*4=2,二。尸的最小值是2,

22

故选：C.

12.如图，已知二次函数yn-V+6x-c,它与x轴交于点A3,且AB位于原点两侧，与y轴的正半轴

交于点C,顶点点在y轴有侧的直线/:y=4上,则下列说法：(1)反〈0；(2)0<匕<4；(3)AB=4；(4)S

,MB„=8.其中正确的结论是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.⑴⑵(3)(4)

答案：D【解析】:。=一1<0,.,.抛物线开口向下，•：抛物线的对称轴为直线％=-2>0,.•/>(),而抛物

2a

线与y轴的交点在x轴上方，:一。〉。.则c<0,.・.bc<0,・••①正确；由顶点。在y轴右侧的直线/:y=4

上，可得4X(T)X(H)-人力,Z.bMc+16,

4x(-1)

0<-c<4,-16<4c<0,/.0<4c+16<16,0<Z?2<16,;.0<b<4,.•.②正确；

•.a=—1,.•.该抛物线的开口方向及大小是一定的，又••・顶点D在y轴右侧的直线/：y=4上，.•.该抛物线

与x轴两交点之间的距离AB是定值，.•.可令b=2则c=-3,

此时抛物线解析式为旷=一一+2%+3,由一f+2x+3=0,得％=-1,々=3,故AB=4,...③正确；S

△ABD=4X4+2=8,④正确，.•.选D

13.二次函数y=办?+fer+c(ay0)的图象如图所示，若|融2+fex+c|=A;(%H0)有两个不相等的实数

根，则左的取值范围是()

A.左<一3B.k>-3C.k<3D.k>3

答案：D【解析】•当数2+/u+c.O,y=依2+a+c（。。0）的图象在1轴上方.

此时y=|or2+〃x+c|-cue+Zzx+c,

/.此时y=|or2+展+4的图象是函数y=ax2+/?x+c（。wO）在x轴上方部分的图象，，.,当以？+灰+。<

0时，y=cvc2+Zzx+c（。w0）的图象在x轴下方，，此时y=|ox2+/?x+c|--[ax1+Z?x+c），，此时

j=|or2+Z?x+c|的图象是函数y二方?+bx+c（。w0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，

y=依2+入x+c（〃wO）的顶点纵坐标是一3,

・•・函数y=+ZZX+C（QwO）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3,

.・・y=|以2+加+，的图象如图，・.•观察图象可得k#o,函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有

两个，函数图象在直线尸3上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点

有四个，，若|办2+a+"4（1<#0）有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=3的上边，故k>3,・,•选

D

14.若〃（〃。0）是关于x的方程d+如+2〃=0的根，则加+及？一6〃?〃的值为（）

A.-2B.8C.—6D.—8

答案：D【解析】〃（〃¥0）关于兀的方程/+相％+2〃=0的根，，/+，加+2〃=0,TnWO,方程

两边同时除以n,得n+m+2=0,m+n=—2,

/.ni'+7?3-6nrn=[m+n）（rrT—mn+z?2）—6mn=—2+n）2—3mn^-6mn=-2（m+n）2+6mn-6mn

=—2x（-2）2=—8

故选D.

二、填空题

15.已知:直线y=ox+b与抛物线y="2-Av+c的一个交点为（0,2）,同时这条直线与x轴相交于点

A,且相交所成的角为45.

（1）点A的坐标为；

⑵若抛物线了=公2-bx+c与X轴交于点M,N（点〃在点N左边），将此抛物线关于y轴对称，例的对

应点为E,两抛物线相交于点F,连接得是轴对称后的抛物线上的点，使得ANEP的

面积与△NEF的面积相等，则P点坐标为_________.

答案：⑴（-2,0）或（2,0）⑵（一2,2）或（一1±技一2）

【解析】（1）设直线y=or+。与抛物线y=aY—〃x+c的一个交点为B（0,2）,\•直线y=or+b过点

（0,2）,同时这条直线与x轴相交于点A,且相交所成的角为45.

；.OA=OB,.,.当a>0时，A（—2,0）,当a<0时，A（2,0）：

⑵把B（0,2）,A（—2,0）代入直线y=oc+b,得解得

a=-1.

把3（0,2）,4（2,0）代入直线,=如+江得%_24+6解得<

b=2.

,抛物线y=田？一过B（0,2）,；.C=2,故抛物线的解析式为y=x2-2x+2^y=-x2-2x+2.

抛物线为旷=/一2》+2时b-4ac=4-4XlX2<0,抛物线与x轴没有交点，舍去；

抛物线为y=-d-2x+2时b-4ac=4-4X（-1）X2>0,抛物线与x轴有两个交点；则其关于y轴对称的

图象为^=一/+2犬+2,如图F点即为B点，且F（0,2）,

,/△NEP的面积与ANEF的面积相等且同底，；.P点的纵坐标为2或-2.

当y=2时，-f—2x+2=2,解得x=—2或x=0（与点/重合，舍去）；

"Iy———2时，一f—2x+2=—2,解得x=-1+>/5,x——1—A/5,

故存在满足条件的点P,P点坐标为是（―2,2）或（一1+75,-2）或（―1一五一2）.

16.如图，长方形A8CD中A5=2,BC=4,正方形AEFG的边长为1.正方形AEFG绕点A旋转的过程

答案：2亚-叵【解析】连接AECRAC,

长方形ABC。中，AB=2,BC=4,正方形AEFC的边长为1,/.AC=2J5,AF=也.

AF+CFJ^AC,:.CFAC-AF

当点AE,C在同一直线上时，CE的长最小，最小值为26-J5

故答案为2后一应.

17.如图，四边形ABC。是边长为1的正方形，△ABE为等边三角形，尸为对角线5。（不含5点）上任

意一点，将所绕8逆时针旋转60得到BG,连接EG,AF,CE,则4歹+8/+6的最小值是

（提示加+/

答案：丑史【解析】

连接GF,过E作EHLBC,交CB的延长线于点H,由

2

旋转可得，BF=BG,/CBF=6。..•.△BFG是等边三角形，.•.G/?=8/7,

■,AABE是等边三角形，BE=BA,ZABE=60,NABF=NEBG,

[ABF三二EBG(SAS),AF=EG,:.AF+BF+CF=EG+CF+CF,

当点E,G,F,C在同一直线上时，AR+5F+CF的最小值是CE的长，

又NABE=60,NABH=90NEBH=30,

Rt,EBH中,EH=--EB=-,:.BH=^EB--EH2==；后

22

i、2।---------

/.CH=-V3+1,/.RtCEH中，CE=J^+CH$=5百+1=也+百

27

近电，故答案为YL也

=J(#+正了

22

18.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,若抛物线y=/-2x+〃-1与线段04有且只有一个公共

点，则〃的取值范围为.

答案：一2,〃<1或"=2【解析】一点A的坐标为（3,0）,抛物线y=/-2x+〃-l=（x-l）?+〃一2与线

n-\<0,、

段。4有且只有一个公共点，.•.〃-2=0或《,,解得-2,,〃<1或〃=2.

32-2x3+〃..。

y(x..0)

19.在平面直角坐标系X。），中，对于点P（x,y）和Q（x,y'）.给出如下定义：若y'=<,则称点

[-y(x<0)

。为点P的“可控变点”如：点（1,2）的“可控变点”为点（1,2）,点（一1,3）的“可控变点”为点（一1,一3）.

（1）若点（一1,—2）是一次函数y=x+3图象上点〃的“可控变点”，则点〃的坐标为一；

⑵若点P在函数y=—V+16（—5融a）的图象上，其“可控变点”。的纵坐标y'的取值范围是

T6致旷16,则实数a的取值范围是.

答案：

（1）（-1,2）（2）4近

【解析】（1）根据“可控变点''的定义可知M的坐标（一1,2）；

（2）依题意得y=-/+16图象上的点P的“可控变点”必在函数了=「1+1”工。的图象上（如图），V

lx2-16（-5„x<0）

—16<y'W16,-16=—『+16,".x=4y/2

当％=—5时，*-16=9,当y'=9时，9=一『+16（x》0）,:.广手，

实数。的取值范围是。=4&

三、解答题

20.如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出,ABC变换后的图形(图中每个小正方形的边长为

1个单位).

(1)将qABC向右平移8个单位，作出平移后的.AB|G，写计平移后点A的对应点的坐标；

⑵作出二ABC关于x轴对称的44名。2，写出点8的对应点B2的坐标：

⑶将.ABC绕点。顺时针方向旋转180,观察作图，写出旋转后的图形.AAG与⑵中图形，d&G的图

形变换关系.

答案:(1)AAG为所求的三角形，此时4的坐标为(7,1),

⑵2G为所求的三角形,此时B2的坐标为(―2,—3).

⑶3G为所求的三角形,此时ABC与-A/G关于y轴对称.

21.如图，正方形A8CD和直角cABE,/AEB=9(),将绕点。旋转180得到口。0尸.

(1)在图中画出点。和并简要说明作图过程；

(2)若AE=12,A8=13,求Eb的长.

AK--------,D，ir-----------

答案：解：(1)连接AC和3D,则它们的交点为旋转中心。，如图，连接E。并延长至点八使R9-EO,连

接DF,CF,则点。和△CDF即为所求；

(2)过点。作OG±OE与BE的延长线交于点G,

在中，BE=dlW-状=5.

■四边形ABCO为正方形，.♦.Q4=O8,NAO8=90.而/EOG=9(),"AOE=/BOG,

•^AEB=NAOB=90,:.NGBO=ZEAO.

ZEAO=NGBO.

在二£4。利AGBO中<OA=OB,.1.EAO^GBO（ASA）,

NAOE=NBOG.

：.AE=BG=12,（IE=OG,：...GEO为等腰宜角三角形，

111

OE=-也EG=-何BG-BE）=—0x（12-5）=5&.EF=2OE=7返

22.某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25%,设每双鞋的成本

价为。元.

⑴试求a的值；

（2）为了扩大销售量，公司决定拿出一定数量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x（万元）

时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分.

①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式：

②求年利润S（万元）与广告费x（万元）之间的函数关系式，并请回答广告费x（万元）在什么范围内，公司获得

的年利润S（万元）随广告费的增大而增多？（注：年利润S=年销售总额一成本费一广告费）

y（f»）

答案:解：⑴a(l+25%)=250.解得(a=200).

(2)①依题意，设y与x之间函数关系式为产分2+公+1,则[4；+2,+1=13,解得a=_0.012=0.2,故

[16a+4Z?+a=1.64

J=-0.0U2+0.2X+1.

②S=(-0.0U2+().2x+1)x10x(250-200)]-x=-5x2+99x+500=-5(x-9.9)2+990.05,当x=9.9

万元时，S最大，故当0<x<9.9时、公司获得的年利润随广告费的增多而增多，注：0<xW9.9,OWxW

9.9均可.

23.图1、图2是两个相似比为1:a的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边

与大直角三角形的一直角边重合.

（1）在图3中，绕点。旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC,BC交于点E,F,如图4,求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CO的延长线分别与A8交于点E,尸，如图

5,此时结论4必+8/=后尸2是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图6,在正方形A8CO中，E,F分别是边6C,CO上的点，满足，CEb的周长等于正方形A6C。的

周长的一半，隹,4尸分别与对角线80交于点时,^^,试问线段MN,DV能否构成三角形的三边

长?若能，指出三角形的形状，并给出证明：若不能，请说明理由.

答案：

证明：(1)连接CD,...两个等腰直角三角形的相似比为1：夜，而小直角三

角形的斜边等于大直角三角形的直角边，；.D为A8的中点，；.CD=AD,N4=NA=45。，又•:

/1+/2=/2+/3=90.33=4=

同理可得..ACE。nABED..•.€£=AE,而CE?+=E/2,4后2+《口2=反2

(2)结论AE2+3f2=E/72仍然成立，理由如下：

把ACFB绕点C顺时针旋转90°,；.CF=CG,AG=BF,Z4=Z1,Z

B=/GAC=45°,而N3=45°,/2+/4=90—45=45°,AZ1+Z2=45°...^CGE^CFE(SAS),

；.GE=EF,在Ri二AGE中，AE2+AG2=GE2,AE2+BF2=EF2

(3)线段DN能构成直角三角形的三边长，理由如下：

把工4)尸绕点A顺时针旋转90得至ij点N的对应点为Q,

.•./4=/2,/1+/3+/4=90,BP=DF,BQ=DN,AF=AP,

VACEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，.•.EF=5E+DF,

:.EF=EP,:.AAEF=A£P(SSS),21=/3+/4,而AQ=3,:.^AMQ^AMN(SAS),

MN=QM,而NADN=ZQBA=45，,ZABD=45

/QBN=90BQ2+BM2=QM2,:.BM2+DN2=MN2.

24.某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每

增加100元，未租出的车将增加I辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费

100元.

(1)当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆?并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)是

多少万元？

(2)规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣

除维护费)可达到40.4万元？

答案：解：(1)100—48，/000=92(辆),(4800—500)x92—100x(100—92)=394800(元)，394800元

=39.84万元.

答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.84万元.

(2)40.4万元=404000元,设上涨x个100元，由题意，得(4000+100x—500)(100—x)—100x=404000,

2

整理，得x-64x+540=0,解得%,=54,x2=1().

♦.•规定每辆车月租金不能超过7200元，.•.取x=10,则4000+10x100=5000(元).

答:每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元.

25.已知抛物线丁=以2—2以一2(。工0).

⑴当抛物线经过点尸(1,0)时，求抛物线的顶点坐标；

(2)若该抛物线开口向上，当魄/4时，抛物线的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为6,求点

M和点N的坐标；

(3)点为抛物线上的两点，设啜厮/+1.当毛-3且a<0时，均有％.%,求t的取值

范围.

_?/7

答案：解：(D;该二次函数图象的对称轴为x=-焉=1,抛物线经过点P(l,0),.•.弛物线的顶点坐标为

(1.0).

(2):该地物线开口向，对称轴为x=1,当«4时，点M的纵坐标为6,

抛物线的最高点M的坐标为(4,6),，将(4,6)代人了=公2-2以一2,得6="16-2”4-2,

解得a=I,.-.y=x2-2x-2,:.最低点N在x=1时取得，二N。,—3),.•.点M利点N的坐标分别为(4,6)

和(1,-3).

(3)当a<0时，该抛物线开口向下,对称轴为x=1,

片")，解得一】

・「点4(大,X),3(%2，%)为抛物线上的两点，源Xf+1，当天-3时，均有V》1，，

Wt《2,.,"的取值范围一lWtW2.

26.如图，_A6C中，A5=2,BC=4RAC0是等边三角形，连接6。，求8。的最大值，并求出此时

/ABC的度数.

解:如图，以AB为边在qABC外作等边_ABE，连接CE,则AB=BE=AE,

.•c4C。等边三角形，AD=AC.ZDAC=60.

NBAE=60,ZDAC+ZBAC=ZBAE+NBAC,即

ZEAC=NBAD,：...EAC=.BAD（SAS）,;.EC=BD

BC+BELCE,.•.当E,8,C•：点共线时，CE的最大值为EB+BC=AB+BC=2+4=6,

.•.班)的最大值为6如图,当旦仇C三点共线时,NABC=180-NABE=120°.

期末测试

一、选择题：

1.如图，将抛物线yax2进行平移，使其经过点A(-4,0)和点0(0,0),设平移后的顶点为B,连

y4

接08,以。为圆心、OB的长为半径作圆，交抛物线于点C,连接BC,则图中阴影部分的面积

y4X

为(）

A.竽兀-3B.-y-n-6C.13Tt-6D.12-y-n

【解答】解：•.•将抛物线2进行平移，使其经过点A（-4,0）和点0（0,0）,

丫4

.•.平移后的抛物线的对称轴为直线》=-2,

.•.设平移后的抛物线的解析式为y=3（x+2）2+k,

将O(0,0)代入，得旦(0+2)2+k=0,解得k=-3,

4

平移后的抛物线的解析式为y=2（x+2）2-3,顶点4的坐标为（-2,-3）,

由勾股定理，得。8=五互/=小石.

连接OA、OC,由圆的对称性或垂径定理，可知。的坐标为（-2,3）,

阴影部分的面积=半圆的面积-△BOC的面积=工・仃（丁石）2-LX6X2=13TT-6.

222

故选：B.

2.书架上有a本经济类书，7本数学书，b本小说，5本电脑游戏类书.现某人随意从架子上抽取一本书,

若得知取到经济类或者数学书的机会为工，则a,6的关系为（）

2

A.a=b~2B.ci~b+12C.a+b=10D.u+b—12

【解答】解：由已知可得a+7=a+7+b+5,解得〃+2=匕，即。=6-2.故选A.

2

3.已知函数y=f+x-1在〃忘上的最大值是1,最小值是-"，则机的取值范围是（）

A.-2B.OWmW」C.-2D.m^：--

222

【解答】解：解法・：•.•函数y=/+x-1的对称轴为直线x=

.,.当x=--l时，y有最小值，此时y=2-』-1=-互

2424

•函数y=/+x-1在znWxWl上的最小值是-互，.'.“W--1；

42

♦.,当x=l时，^=1+1-1=1,对称轴为直线犬=-2，.*.当x=-2-［l-（-［）］=-2时，y=l,

222

•函数y=x2+x-1在znWxWl上的最大值是1,且mW-A；

-2W/nW-A.

2

解法二：画出函数图象，如图所示:

IIIIIJIIIII

J_二__L_A__L.一▲一一I

y—jr+x-1-(x+A)2-二当x=l时，y=l；

24

当x=--l,y=-—.当x=-2,y=l,

24

,函数y=f+x-1在“WxW1上的最大值是1,最小值是-旦，-2W"?W-1>.

42

故选：C.

4.如图，在矩形A8C。中，AB=4,AO=5,AD,AB,BC分别与。。相切于E,F,G三点，过点。作OO

的切线交8c于点/，切点为N,则。M的长为（）

c.AV13D.275

3

【解答】解：连接。E,OF,ON,0G,在矩形4BC。中，'：ZA=ZB=90Q,CD=AB=4,

,：AD,AB,8c分别与0。相切于E,F,G三点，:.NAEO=NAFO=NOFB=NBGO=90",

，四边形A产。E,F3G。是正方形，：.AF=BF=AE=BG=2,：.DE=3,

是OO的切线，：.DN=DE=3,MN=MG,.".CM=5-2-MN=3-MN,

在RtZiDMC中，DM2=CD1+CM2,：.(3+MW)2=(3-NM)2+42,;.NM=±,

3

5.如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDE凡点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点尸

与正六边形六个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的

点尸有（）

C.11个D.12个

【解答】解：如图所示：圆与直线的交点以及圆心位置都是符合题意的点，故在直线A8上会发出警报的

点尸有：11个.

故选：C.

6.已知：如图，正方形ABC。中，AB=2,AC,8。相交于点。，E,尸分别为边BC,C£＞上的动点(点E,

F不与线段BC,C£＞的端点重合)且BE=CF,连接。E,OF,EF.

在点E,尸运动的过程中，有下列四个结论：

①aOEF是等腰直角三角形；

②AOE尸面积的最小值是1；

③至少存在一个尸，使得△ECf"的周长是2+遥；

④四边形OEC尸的面积是1.

所有正确结论的序号是.

【解答】解：①：四边形ABCD是正方形，AC,8。相交于点O,

'OB=OC

：.OB=OC,N()BC=NOCD=45°,在△O8E和△OCF中，，ZOBE=ZOCF

BE=CF

/.△OBE^△OCF(.SAS),：.OE=OF,,:NBOE=NCOF,

：.NEOF=NBOC=90°,△OEF是等腰直角三角形；故①正确;

②；当。E_LBC时，OE最小，此时。E=OF=JLBC=1,

2

...△0）面积的最小值是工义1><1=」，故②错误；

22

（3）,,,BE=CF,：.CE+CF=CE+BE=BC=2,

假设存在一个△ECF,使得aECF的周长是2+愿，则

由①得△OEF是等腰直角三角形，，。《二桌二迎.我，0E的最小值是1,

V22

存在一个△£：（》'，使得△ECF的周长是2+返.故③正确；

④由①知：AOfiE^AOCF,

SMU1KOECF=S/\COE+S^OCF=S^COE+S^OBE=S^OBC=—S^KABCD=—X2X2=1，

44

故④正确；

故答案为：①③④.

7.如图，P为等边三角形A8C内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△A8C的面

积为（）

C.18+25V3

.18邛

【解答】解：•.•△ABC为等边三角形，，8A=BC,

可将△8PC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,连EP,且延长8尸，作A凡L8P于点F