2023-2024学年福建省三明市高一年级下册册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年福建省三明市高一下册期中数学质量检测模拟试题

一、单选题

1.已知复数z=(2+i)2,则Z的虚部为()

A.3B.3/C.4D.4/

【正确答案】C

【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；

【详解】解：z=(2+i)2=3+4i,所以z的虚部为4.

故选：C

本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.

①②③

A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱

【正确答案】C

【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断.

【详解】对于A,不是由棱锥截来的，所以①不是棱台，故A错误；

对于B,上、下两个面不平行，所以②不是圆台；故B错误；

对于C,底面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，所以③是棱锥，故C正确.

对于D,前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱

柱，故D错误.

故选：C.

3.已知平面向量£=(-2,6)与5=垂直，则％的值是()

44

A.-B.——C.12D.-12

33

【正确答案】B

【分析】根据平面向量垂直的坐标运算求解求参即可.

【详解】由题知a_L坂，即。•否=（一2,6）（-4,2）=8+64=0,解得4=-g.

故选:B.

4.若O,M,N在△4BC所在平面内，满足|次|=|而而•丽二话・标=荻・而，且

丽+丽+祝=0，则点O，忆N依次为“BC的（)

A.重心，外心，垂心B.重心,外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心,垂心，重心

【E确答案】D

【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案.

解：因为|而|=|砺|二|衣

所以|OZ|=|O8|=|OCj,

所以。为的外心；

因为砺•砺=砺•沅=砒而，

所以话.（MA-MC）=0，

即丽.乱=0.所以

同理可得：肪i_L8C,MC_L48,

所以M为£LABC的垂心；

因为丽+福+祝=0，

所以福+丽=-祝，

设48的中点。，则福+而=2而，

所以—觉=2而，

所以C,N,。三点共线，即N为的中线8上的点，且NC=2MD.

所以N为△48C的重心.

故选：D.

5.在A/18C中，若力=60°,b=T,△NBC的面积S=JL则一；()

sinA

A.3x/3B.1C.苧D.2739

3

【正确答案】D

【分析】先利用S=:bcsin力求出％再利用余弦定理求明进而可得号

2sinA

【详解】由己知S=Ibcsin力=lxIxcx正■=,

222

可得c=4,

/.a2=b2+c2-2/>ccosJ=l+16-8x—=13,

2

.a_x/13_2V39

sinJy/33

T

故选：D.

6.如图1,一个正三棱柱容器，底面边长为1,高为2,内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底

面，如图2,这是水面恰好是中截面，则图I中容器水面的高度是（）

【正确答案】D

【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积,

同理在图1中，求同三棱柱的体枳，能求出图1中容器内水面的高度.

【详解】在图2中，水中部分是四棱柱,

四棱柱底面积为S=Lx『xsin60。-lx]xsin60°=,高为2,

22[2J16

・••四棱柱的体积为P=2x=8=地，

168

设图1中容器内水面高度为％,

贝|JK=，xl2xsin60°x/i=,解得〃=].

282

，图1中容器内水面的高度是

2

故选：D.

7.圆O为锐角的外接圆，AC=2AB=2f点尸在圆。上，则而.亚的取值范围为()

A.-于，)B.[0,2)C.-5")D.[0,4)

【正确答案】C

【分析】把丽•怒转化为的.前+而•衍，由余弦定理、数量积的定义得丽・瓦=〃-；,讨论P

_______1,1L

的位置得8P/OC[-5,2/-Q],结合锐角三角形8c=2rsinN切C<石恒成立，即可得范围.

【详解】由"BC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，

P

又丽•血=(而+而)•血=而血+而•血，而/。=248=2,若外接圆半径为〃，

则2户(l-cosNNOB)=2/(l-cos2C)=l,故cos2C=l--且2r>2,BPr>1,

2广

由旃布=|访口⑥卜osNN05=r2cos2C=/一；，

对于丽•静且尸在圆。上，当4P为直径时而.布=/,当4P重合时而.前=-八,

所以历•而仅一//],

-----------1、1

综上，5PJOe[--,2r2--],

锐角三角形中N8/C<90。，WOBC<yjAC2+AB2=75，即8c=2〃sinN切C<石恒成立,

所以1“〈且，则2/一:<2恒成立，

22

综上，丽•石€[-；,2).

故选:C

8.在A/18C中，角4,8,C所对的边分别为a,b,c^3ACAB-BA.BC=2CACB，2b=bcosC+CCQSB,

则cosC的值为()

111I

A.-B.--C.-D.--

3388

【正确答案】D

【分析】由正弦定理及余弦定理可得从+2°2=3/,a=2b,然后求解即可.

UUUUlUUUUlUUUIUUL

【详解】解：由3/C/B-比1BC=2C4C8可得36ccos/-accos5=2a6cosC,

则/+202=3/,①

又2b=bcosC+ccos8,

所以2sin8=sin8cosc+sinCeos8,

即2sinB=sin(8+C)=sinJ,

所以。=2b②

由①②可得：c2=yZ>2,

CL2_11.2

由余弦定理可得a2+b2-c21,

COSC=-------------------------=--------------7----=-----

lab4628

故选：D.

本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了两角和的正弦公式，属中档题.

二、多选题

9.如果平面向量5二(2,0),3=(1,1),那么下列结论中正确的是()

A.a//b

/rr\r

B.(a-b)lb

C.a-b=2y[2

D.同=西可

【正确答案】BD

【分析】根据向量平行与垂直的坐标表示、向量数量积和模长的坐标运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,•••2xl-0xl=2w0,与B不平行，A错误；

对于B,—石=(1,—1),伍-5=1x1-1x1=0,—B正询：

对于C,a-b=2xl+0xl=2>C错误;

对于D,..•同=疹万=2,小炉子=6,：.\a\=y/2\b\tD正确.

故选：BD.

10.“BC的内角彳，B,。的对边分别为。，b,c,a=J7,b=2,4=q,则（）

A.c=3B.sinB=C.sinC=D.”8。外接圆的面积为?1

773

【正确答案】ABD

【分析】设“8。的外接圆的半径为R,利用正弦定理求出sin8=@,R=叵，再利用余弦定理和正

73

弦定理求出c和sinC即得解.

【详解】解：设"BC的外接圆的半径为R,

412c

ab=2R

因为=2R,所以曲军一通厂加。

sin/1sin8sinC

3

所以sin8=@,R=叵，则SBC外接圆的面积为乃N4.

733

因为/=/+c?-2bccosA=4+c2-2x2ccos-y=7,所以。=3,

V7_3.不

所以一V一赤所以sinC=W■.所以ABD正确，C错误.

sinjv14

故选：ABD

11.在复平面内，下列说法正确的是（）

A.若复数z满足z；=0,则z=0

B.若复数与、Z2满足k+Zakk-ZzI，则Z]Z2=0

C.若复数马、z?满足㈤=同,则z；=z；

D.若目=1,则|z+l+i|的最大值为0+1

【正确答案】AD

【分析】利用复数的代数形式计算判断A；举例说明判断BC；利用复数的几何意义计算判断D作答.

【详解】对于A,设2=。+历,R,则zN=(a+bi)(a-bi)=a2+62=0，于是a=b=0,z=0,A

正确：

对于B,令复数马=1、z2=i,显然|4+22|=|1+“=五,|马-22|=|1-“=及，

满足以1+22|=区一句|，而Z]Z2=iwO,B错误;

对于C,复数Z[=l、z2=i,满足|zJ=HI，而z：=l,z；=-1,显然C错误；

对于D,因为|z|=l,则在复平面内表示复数z的点尸在以原点。为圆心的单位圆上，

|z+l+i|=|z-（-l-i）|表示点尸到复数-l-i对应点4-1,-1）的距离，

因此|2/1舄=14。1+1=&+1，即匕+1+”的最大值为&+1，D正确.

故选：AD

12.如图，在棱长为2的正方体瓦GA中，M,N,尸分别是44，CC.,GA的中点，。是

线段。4上的动点，则（）

A.存在点0,使8,N,P,。四点共面

B.存在点0,使P0〃平面"8N

C.经过C,B,N四点的球的表面积为9学7r

D.过。，M,N三点的平面截正方体488-44GA所得截面图形不可能是五边形

【正确答案】ABD

【分析】作出过8,N,尸的截面判断选项A；取4A中点为°,证明其满足选项B；过MN与底面平

行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C,M,aN四点的球，由此求得球半

径，得表面积，判断选项C；当。在4。运动时，确定截面的形状，判断选项D.

【详解】A.连接48,4尸，CD,,正方体中易知CR〃48,

又有P,N分别是G。中点，则尸N〃C〃，所以PN〃AB,即4，P,M8四点共面，所以当。与

4重合时满足8,N,P,。四点共面，故选项A正确;

B.如图，取4。中点为0，连接产。，QM,力£,

因为分别彳4，中点，则4M与GN平行且相等，故四边形4cMM是平行四边形，所以

MN〃AG,又P是CQ中点，所以P?〃4G，所以尸O〃MN,

MNu平面BMN,尸。《平面8MM所以PQ〃平面8MM故选项B正确;

选项C,

取BBI中点U,中点匕连接M匕MU,N匕NU,则多面体MUNZ/BC。是正四棱柱（也是长方

体），它的外接球就是过B,C,M,N四点的球，所以球直径为亚方乔=3,半径火=|，表面积

为S=ATTR1=9冗.故选项C错.

选项D,正方体中，M,N分别是CG中点，则MN〃4c1〃彳。，

。在线段4A（除端点外）上，如图，作。E〃4G交CA于七，连接EN,延长交。。延长线于点K,

连接QM延长交。/延长线于点7,连接7X交48于点G,交BC于点F,多边形QENFGM为所过M,

N,0三点的截面，

由E方体的对称性可知梯形QENM与楞形尸GMN全等，则截面为六边形.

当点。与点R重合时，点。与点£重合，此时截面为四边形（菱形）.

当点。与点4重合时，点G与点E重合，此时截面为四边形（矩形）.

综上，过。，M,N三点的平面截正方体488-440。所得截面图形不可能是五边形.

故选项D正确;

故选：ABD.

三棱锥外接球点睛：

求三棱锥外接球时，常见方法有两种：一种是直接法，一种是补形.解题时要认真分析图形，看能否把

三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在球面上，正方体（长方体）

的体对角线长等于球的直径.另一种是直接法，三棱锥任意两个面过外心的垂线的交点即为三棱锥外接

球的球心.

三、填空题

13.已知复数陋一31）+（小2-56）i=3（其中i为虚数单位），则实数加=

【正确答案】-1

【分析】利用复数相等的条件即可求解.

【详解】由题意可知，，一:"：二，解得…1,

m~-5w-6=0

所以实数m=-1.

故答案为•-1

14.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度彳的大小为同=10km/h,水流速度名的大小为

E|=3km/h,那么当航程最短时船实际航行的速度大小为km/h.

【E确答案】国

【分析】利用勾股定理求得正确答案.

【评解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行,

所以船实际航行的速度大小为JR『-=V9Tkm/h.

故收

15.祖咂（公元前5~6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“基势既同，

则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个儿

何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖桓晚一千一百多年.

如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面£上.以平行于平

面£的平面于距平面夕任意高d处可横截得到%及S环两截面，若S圆=S环总成立，且图中圆柱体（右

侧图）的底面半径为2,高为3,则该几何体（左侧图）的体积是.

【E确答案】8兀

【分析】由题意给的原理可得该几何体的体积为％-%，代入数据求解即可.

【详解】因为总有S圆』，圆柱的高为3,底面圆的半径为2,

所以该几何体的体积为％-4=22x3兀-$x22x3=8兀，

故答案为.8兀

16.在锐角&43在中,内角A,B,C所对应的边分别是mb,c,且2csin（8-4）=2asin4cos8+bsin24,

则工的取值范围是.

a

【正确答案】（1,2）

【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为sin（8-4）=sin/，根据“8C为锐角三角形可得

B=2A,。=兀-3彳以及三＜4＜：,再由正弦定理可得£=吗;任芋，利用两角和的正弦展开式

64asinAsinA

和8sz的范围可得答案.

【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

2sinCsin(5-J)=2sinJsinAcosB+sin5sin2A

=2sinJsin(J+5),

因为0vCv],7t-C=4+8,所以sin(7c-C)=sin(A+8)=sinCH0,

sin(B-J)=sinJ,

因为0＜/＜四,0＜8＜四，所以一四＜8-4＜四，

2222

所以8=24，C=n-3A,

由0<8=24<Z,0<C=TC—31可得四,

2264

所以<cosA<—，!<cos2“，

2224

由正弦定理得c_sinC_sin3A_sin(2A+A)_sin2AcosA4cos2AsinA

sinAsinAsinAsinJ

2cos24+cos24=4cos?J-le(l,2),

故答案为.(1,2)

四、解答题

17.已知向量。=(3,2),否=(》,一1).

(1)已知x=5,求向量£与否的夹角夕；

(2)若(£+25)1(215)，求实数x的值.

【E确答案】(1)；

3.

(2)工=-5或6

【分析】(1)利用向量坐标夹角公式进行求解；

(2)先计算得到£+2B=(3+2X,0),213=(6-x,5),再利用向量垂直，数量积为0列出方程，求出

x的值.

【详解】(1)因为x=5,所以否=(5,-1),

ah(3,2)-(5,-1)41

故2耐而khtf

因为，目0,可，所以向量£与否的夹角e=：；

(2)a+25=(3,2)+(2x,-2)=(3+2x,0),

2〃-各=(6,4)-卜,-1)=(6-x,5),

由于(3+2可_1(2£-否)，

所以(£+24(2£一可=(3+2苞0){67,*《3+2*(6-*=(,

解得：工=-：或6,

2

3

从而工=一三或6.

2

18.已知复数2=止?+(2+。2,i为虚数单位.

⑴求⑶和£；

(2)若复数z是关于x的方程/+〃a+〃=0的一个根，求实数〃[,〃的值.

【E确答案】(l)|z|=V5,z=2-i-

(2)ffi=-4,n=5

【分析】(1)根据复数的乘除运算规则计算；

(2)将z代入方程，根据复数等于。的意义求解.

【详解】(1)・・・N=¥U+(2+i)2=券菸总+4+4i—l=©/+3+4i=2+i

1+21(14-21)(1-21)5

A|z|=V22+l2=x/5,z=2-i;

2

(2)•・•复数z是关于x的方程x+mx+〃=0的一个根.

・・・(2+i)2+m(2+i)+〃=0,

3+4i+2m+/Mi+w=0,/.(3+2m+n)+(m+4)i=0,

3+2ni+〃=0

解得用=-4,〃=5；

/??+4=0

综上，|z|二百,z=2-i,〃?=-4,〃=5.

9如图'某组合体是由正方体力比~四〃与正四棱锥IM"组成'且“争5.

p

(1)若该组合体的表面积为36(5+夜)，求其体积:

(2)证明：48〃平面

【正确答案】(1)252

(2)证明见解析

【分析】(1)连接4G、8Q交于点。，连接尸。，可知尸。_£平面48CQ,设N8=2a,则尸4=石。，

取4G的中点E,连接PE,计算出P。、PE,利用棱柱和锥体的表面积公式可求得。的值，再利用锥

体和柱体的体积公式可求得结果；

(2)利用线面平行的判断定理，即可证明.

【详解】(1)连接4G、BR交于点、O,连接PO,由正棱锥的性质可知P0工平面44GR,

2

设48=2。，则尸4二6°，4O=g4G=0〃，-PO=y]PA^-AlO=a,

取4G的中点E，连接尸E,则且PE=4P&一0E?=6.a,

所以，几何体的表面积为5x4/+4x|x2ax72a=(20+4^2)/=345吗，

可得a=3,

所以，该几何体的体积为(2aya+§1x4廿xaugxZ7＞；4、：？二252

p

(2)证明：因为且8。=4。，

所以四边形48cA是平行四边形，

则48//"。，48a平面。/C,ACu平面O/C,

所以48〃平面O/C

20.如图，在平行四边形488中，AB=1,40=2,NB4D=60°，BD,4C相交于点O,M为BO

中点.设向量在=万，AD=b.

(1)求卜-闸的值；

(2)用G,5表示粉和宿；

(3)证明：ABIBD^

【正确答案】(1)6；(2)BD=b-a，AM=h+U-(3)证明见解析

44

【分析】(1)利用数量积公式以及|1-5|=乐孑求解即可；

(2)由向量的加减法进行运算即可用3,B表示丽和前：

(3)利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.

【详解】⑴忸司==>/^-2ab+ff

=小『_2同.麻05/切O+问:=^l-2xlx2x|+4=V3

(2)BD=AD-AB=b-a

又为80中点

,\BM=-BD=-(b-a)

44

:.AM=AB+BM=a+-(b-a)=-a+-b

444

(3)-ABBD=a(b-a)=ab-a2

又•：AB=1,JD=2,/BAD=60'

/.ab=lx2xcos60°=1,52=|«|2=1

:.ABBD=ab-a2=l-1=0

所以布_1而

本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.

3

21.在“6C中，a=6,sia4=-sin5.

2

⑴求/);

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求"8C的面积.

条件①：Z5=y;

条件②：8c边上中线的长为JT7；

条件③：sin8=sin24.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】(1)力=4

(2)8及

【分析1(1)根据正弦定理边角互化即可求解,

(2)根据题目要求可知只能选择条件②或③，根据余弦定理求解cosC=；,即可根据三角函数的性质

求解正弦，进而由面积公式即可求解•.

3

【详解】(1)因为sin<='sin8,

2

在『BC中,由正弦定理焉二嘉

,可得：a=—b,

2

又因为a=6,所以6=4.

(2)选择条件①；由N3=",b=4,a=6以及余弦定理得cos—=--=处£1二^+&+20=C,

33212c

该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①

选择条件②

设8c边上的中线为力。，则4。=后，。。=3,

在A/CO中，由余弦定理得:

42+32-（炳21

AC2+CD2-AD2

cosC=

2ACCD2x4x33

因为cosC=；,CG（0,n）,所以sinC=9—以修。=孚

所以△力8c的面积为S=—6/Z）sinC=—x6x4x2^.=3^/2.

223

选择条件③

方法1：

由题设,H^jsin224=2sincos所以sinB=2sin/cos/,

3

因为sin/=-sin5,所以sin8=3sinBcosA

2

因为Be（0,冗），所以sinBwO,所以ccsZ=g,

由余弦定理/=/+/一才ccos/可得：36=16+c2-2x4xcxi,

整理得3c2-8C-60=0,解得c=6或-与（舍），

2

因为COSA=—fAE（0,兀），所以sinA=—cos/I=2f,

所以A/BC的面积为S=—bcsinA=—x4x6x^=8>/2.

223

方法2：由题设，因为5亩24=2$由/18$4,所以$m8=2$皿/8$彳，

3

因为sin<=§sin8,所以sinB=3sin8cos4

在A/BC中，因为b<。，所以8<4,即8e（0,1）,所以sinBrO,

所以cos4=；,

因为cosA=—,AG（0,7l）,所以sin力=71-cos2A=2五,

所以sin8=-sinA=-x巫二逆，

3339

________7

所以cos6=Jl-sin?B=—,

因为4+8+c=几，

2收714vl141

所以sinC=sin(4+8)=sinAcos8+cos4sinB=----x—+—x=

39393

所以△48C的面积为S=—a/)sinC=1x6x4x=86.

223

方法3：因为sin8=sis2/且5w(O,%)2Je(0,2n)

所以8+24=兀或8=24,

因为b<a,所以8+2/=兀，

又因为4+8+。=兀,

所以A=C即a=c=6,

所以△力友;为等腰三角形，设/C边上的高为8D,则4)=2,

由勾股定理BD=《AB，-心=4也，

所以△48C的面积为S=[x6xBZ>:x4x4岳8技

22.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步

道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，C-/为某区的一条健康步道，力8,力。为线段，

病是以BC为直径的半圆，48=2百km,AC=4km.ZBAC=y

⑴求R的长度；

(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道力(8Q在

4c两侧)，其中为线段.若乙=求新建的健康步道的路程最多可比原有健康

步道4-8-C的路程增加多少长度？

【正确答案】(1)冗km

(2)8-兀-25/3km

【分析】（1）利用余弦定理求得8C,从而求得热的长度

（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度.

【详解】（1）联结BC,在小BC中，由余弦定理可得，

BC=7AC2+AB2-2AC-AB-cosZ.BAC=^16+12-2x4x=2»

所以前=；x2x7txl=兀，即族t的长度为Mkm）；

（2）记4）=a.CZ）=b,则在△4C。中，由余弦定理可得：

a2-r/>2-2aZ?coSj=16,即力+从一"二胎，

从而（a+6y=16+3ab<16+3（"；"）

所以;（4+b）2«16,则。+6工8,当且仅当a=b=4时，等号成立；

新建健康步道力的最长路程为8（km）,

故新建的健康步道力-。-。的路程最多可比原有健康步道4-4-C的路程增加8-7t-2e（km）

2023-2024学年福建省三明市高一下册期中数学质量检测模拟试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

_2+i_

1.已知i为虚数单位，复数2-/,则复数z的模为（）.

A.2B.石C.1D.y[2

【正确答案】C

【分析】根据复数除法运算，先化简z；再由复数模的计算公式，即可得出结果.

【详解】因为复数2=必=（2+'）=h++j,所以|z|=j2+3=l.

2-z55511V2525

故选：c.

2.己知平面向星7=（1,〃?），石二（〃,2）,c=（3,6）,若Z〃工，b±c^则实数〃，与〃的和为（）

A.6B.-6C.2D.-2

【正确答案】D

【分析】根据£〃3坂_L"分别求出小和〃即可.

1m

【详解】•：a//c,.\-=-=>/n=2；

36

vS±c»:.bc=O»/.3w+12=0=>/?=-4；

..m+〃=2-4=-2.

故选：D.

是底边长为6m,顶角为生的等腰三角形，该圆

3.已知圆锥尸0,其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）

3

锥的侧面积为（）

A.67cm2B.6\/37tm2C.3>/37rm2D.12\/37tm2

【正确答案】B

【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.

【详解】如图所示，

由题意知，r=OB=-AB=3,

2

在RtZXPOB中，ZBP(9=-Z5PJ=-x—=-,

2233

所以圆锥侧面积为兀〃=兀x3x2百=6\/37im2.

故选：B.

4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半

周长乘以其半径等于圆面枳.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面枳“替代”圆的面

积，并通过增加圆内接正多边形的边数〃使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估

计圆周率匹据此，当〃足够大时，可以得到兀与〃的关系为（）

n1-cosl^

it»—

2n

【正确答案】A

I460。

【分析】设圆的半径为，由题意可得“2二•/.sm——,化简即可得出答案.

2n

【详解】设圆的半径为，将内接正〃力形分成〃个小三角形，

I360°

由内接正n边形的面积无限接近圆的面即可得：而。〃二•/.sin—,

2n

故选：A.

5.在AJBC中，4=60。，b=\,的面积为石，则［^为（）.

sm4

86R27390266D9/z

8133

【正确答案】B

【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出。的值，然后利用余弦定理求出。的值，即可得一一

sinJ

的值.

【详解】解：在“8C中，

因为4=60。，6=1,AJBC的面积为百，

所以S=-^csin^=-xlxcx

22

所以c=4,

因为。2=/>2+c2-2Z)ccosJ=l24-42-2x1x4x1=13,

2

所以。=>/\3»

aV132x/39

所以sin4G3

T

故选：B

6.已知小，〃为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若加夕,a//，则〃//〃B.若mlla,m〃B，acB=n,则加〃〃

C.若〃//a,〃///?,则a//£D.若zn//〃,〃ua,则m//a

【正确答案】B

【分析】A：结合两直线的位置关系可判断加〃〃或加，〃异面；B：结合线面平行的性质可判断加〃〃：

C：结合线面的位置关系可判断/或a,夕相交；D：结合线面的位置关系可判断m//a或〃zua.

【详解】A：若加//。,〃//民。///，则m〃〃或叫〃异面，故A错误；

B：因为加//a,所以在平面a内存在不同于〃的直线/,使得/〃加，则从而///〃，故”〃〃，

故B正确；

C：若〃//%〃//£,则a//6或a,£相交，故C错误；

D：若m//〃,〃ua,则加//a或加ua,故D错误.

故选：B

7.如图所示，在直三棱柱44G中，棱柱的侧面均为矩形，44=1，AB=BC=5

cosZJBC=1,P是48上的一动点，则彳尸+PG的最小值为（）

B

A.73B.2c.y[5D.V7

【正确答案】D

【分析】连接〃G,得VN/G，以4夕所在直线为轴，将v48G所在平面旋转到平面4月44,设

点C的新位置为C',连接4C,再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC即可.

【详解】连接8G，得V/0G，以48所在直线为轴，将V48G所在平面旋转到平面力864，

B

设点G的新位置为C',连接4C',则有4P+PC1=4P+PC'NXC',如图，

工

当A,P,C三点共线时，则AC即为力P+PC.的最小值.

在三角形中，AB=BC=C，cosZJ5C=1,

由余弦定理得：AC=\IABr+BC2^2AB^BCcosB=^3+3-2x3x^=2,

所以4G=2,即4c'=2,

在三角形448中，/4=1，4B=6,

由勾股定理可得：AB=y]/L4：+4B?==2,且乙44TB=60。.

同理可求：CXB=2,因为力乃=6C]=4G=2,

所以V45G为等边三角形，所以N84G=60。，

所以在三角形AA.C中,44。'=ZJ4B+N54。'=120°,=1,A}C=2,

由余弦定理得.ZC'_J1十4—2Klx2x(-g-V7

故选：D.

8.已知“8C中，乙4二四，。,£是线段8。上的两点，满足8。=。。，ZBAE=ZCAE,AD二叵,

32

AE=—,则8C长度为()

5

A.V19B.2退C.币D.6百-M

【正确答案】C

5—1一—

【分析】由花+SZSC4£=S&fsc可得出b+c=xbc，由40=二(45+4C)两边平方可求得

bc,b+c,然后在443C中利用余弦定理可求得答案.

【详解】如图，记BC=4,4C=b,46=j

R

D

•••S“SMAE=SW/BAE=/CAE=F，但一,

16\/3.兀1.6A/5.兀1..n

/.-xcx---sin—+—bx---xsin—=—ncsin—，

25625623

/.^^-(h+c)=-^-bc»即b+c==8c,

1046

-：7D=-(AB^~AC),AD=-^

22

~AD=-^AB+2AB<ziC+JC2j=-(/)2+c2+Z>c)

=­(b+c)2-—bc=—x.—(bc)2--bc=—,

4443644

即253c了-36/)6-684=0,(be-6)(25bc+114)=0,

be=6,:.b+c=5,

在—8C中，a2=b2+c2-2hccos^=b2+c2-bc=（b+c>-3bc=25-18=7,

BC=a=y/l-

故选：C.

二、选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）

A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4

C.圆台的表面积为26元D.球。的表面积为12兀

【正确答案】ACD

【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为。1，。2,半径分别为4,弓，连接,

2

利用平面几何知识得到R=r^2=3,即可逐项计算求解.

【详解】设梯形488为圆台的轴截面，则内切圆。为圆台内切球的大圆，如图,

设圆台上、下底面圆心分别为。1,。2,半径分别为小与，

则4,0。共线，且

连接ODQEQA,则ODQA分别平分ZADC,/DAB,

7TTT

故OE=，i，4E=^,20ADt40DA=—/D0A=—QE1.AD,

22

故0E?=DEAE，即火2=斗弓=3,解得R二石，

母线长为4+弓=4,故A正确；

圆台的高为2火=2K，故B错误；

圆台的表面积为7TXI2+Ttx32+7TX(1+3)x4=26K,故C正确；

球。的表面积为5=4兀/?2=12兀，故D正确.

故选：ACD.

10.已知4与z?是共扼虚数，则()

A.Z|<z2B.z}z2=|z2|-

C.Z]+向wRD.££R

【正确答案】BC

【分析】设出复数4/2,根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.

【详解】由题意，复数4与Z?是共趣虚数，设Z1=a+bi、z2=a-b\fa.bwR且br0,

对于A项，2；=/-62+勿加，zl=a2-b2-2abi,当。#0时，由于复数不能比较大小，故A

项不成立；

22

对于B项，因为Z]n2=〃2+/，\z2^=a+b,所以4二匕2/，故B项正确;

对于C项，因为Z1+Z2=2〃£R,所以C选项正确;

一c.z,a+bi(a+bi/a2-b2lab

对于D项，由一L=一-=i不一定是实数,故D项不成立.

z2a-b\(a-b\)(a+bi)

故选：BC.

11.对于有如下命题，其中正确的有（）

A.若si/Nnsi/B，则/8C为等腰三角形

B.若siM=cos8,则一4C为直角三角形

C.若sinz4+sin25+cos2C<l,则』8c为钝角三角形

若43=x/J,4C=l,B=3(T,则的面积为由或迫

D.

42

【正确答案】ACD