2024届山东菏泽定陶区中考四模数学试题含解析

2024届山东荷泽定陶区重点达标名校中考四模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，。。与直线h相离，圆心O到直线h的距离OB=26,OA=4,将直线h绕点A逆时针旋转30。后得到

的直线12刚好与。。相切于点C,则OC=（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB/7CD,E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD,AC上）,

设NBAE=a,ZDCE=p.下列各式：①a+g②a-0,③0-a,@3600-a-p,NAEC的度数可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

3.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6,则DE的长为（）

A.2B.3C.4D.6

4.如图，已知A5〃Z)E,NA5C=80°,ZCDE=140°,则NC=()

B

A.a<0,b<0,c<0B,a<0,b>0,c<0

C.a>0,b>0,c<0D.a>0,b<0,c<0

6.如图，△ABC中，ZB=55°,NC=30。，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,

2

N作直线VN,交3c于点O,连结AO,则N8AO的度数为（）

7.如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF〃BC,交NBCA的平分线于点F,

交NBCA的外角平分线于E,当点O在线段AC上移动（不与点A,C重合）时，下列结论不一定成立的是（）

A.2ZACE=ZBAC+ZBB.EF=2OCC.ZFCE=90°D.四边形AFCE是矩形

8.如图，网格中的每个小正方形的边长是1,点M,N,。均为格点，点N在。。上，若过点M作。。的一条切线

MK,切点为K,则MK=（）

A.3立B.275C.5D.衣

9.如图，与N1是内错角的是（）

C.N4D.Z5

10.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪

等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡

片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同.现将这5张卡

片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（）

岛山川齿>1度滑冰冰域冰*

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，将直线y=x向下平移〜个单位长度后得到直线/,/与反比例函数y=2（x>0）的图象相交于点4,与x

X

轴相交于点不则Qp-o1的值为.

12.如图，直线y=^x,点Ai坐标为（1,0）,过点Ai作x轴的垂线交直线于点Bi,以原点O为圆心，OBi长为半

径画弧交x轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交X轴于点A3,...,

按照此做法进行下去，点A8的坐标为.

13.如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC、BD的交点，过。点作OE_LOF,OE、OF分别交AB、BC于点E、

点F,AE=3,FC=2,则EF的长为

14.如图，在△ABC中，AB=3+6，N8=45。，ZC=105°,点Z）、E、尸分别在AC、BC.A5上，且四边形AOE尸

为菱形，若点P是AE上一个动点，贝!IPf+PB的最小值为

16.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边8c=5,将

四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△8酸的周长是30,则这个风车

的外围周长是

17.如图，在平面直角坐标系中，矩形活动框架ABCD的长AB为2,宽AD为夜，其中边AB在x轴上，且原点

O,为AB的中点，固定点A、B,把这个矩形活动框架沿箭头方向推，使D落在y轴的正半轴上点D，处，点C的对应

点。的坐标为

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)已知x1-lx-1=1.求代数式(x-1)'+x(x-4)+(x-1)(x+1)的值.

19.(5分)某花卉基地种植了郁金香和玫瑰两种花卉共30亩，有关数据如表:

成本销售额

(单位：万元/亩)(单位：万元/亩)

郁金香2.43

玫瑰22.5

(1)设种植郁金香x亩，两种花卉总收益为y万元，求y关于x的函数关系式.(收益=销售额-成本)

(2)若计划投入的成本的总额不超过70万元，要使获得的收益最大，基地应种植郁金香和玫瑰个多少亩？

20.(8分)如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD.展平后，再将点B折叠在边AC上(不与A、C

重合)，折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已知BC=1.

(1)若M为AC的中点，求CF的长；

(2)随着点M在边AC上取不同的位置，

①小PFM的形状是否发生变化？请说明理由；

②求△PFM的周长的取值范围.

B

21.（10分）如图，在梯形ABC。中，AD"BC,AB=DC=5,AD=1,BC=9,前P为边BC上一动息,作PH工DC,

垂足，在边OC上，以点P为圆心，为半径画圆，交射线必于点E.

（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；

（2）分别联结E”和E4,当AMEs&SE”时，以点3为圆心，r为半径的圆8与圆P相交，试求圆3的半径「的

取值范围；

（3）将劣弧E“沿直线E"翻折交于点/，试通过计算说明线段和EF的比值为定值，并求出次定值.

22.（10分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在AABC中，点O在线段BC上，NBAO=30。，NOAC=75。，AO=3>/J,BO：CO=1：3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）.

请回答：ZADB=。，AB=.请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC±AD,AO=36,ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：

3,求DC的长.

23.（12分）（问题情境）

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1,在△ABC中，AB=AC,点尸为边BC上任一点，过点

P作产。JLA8,PEA.AC,垂足分别为O,E,过点C作C几LA8,垂足为F,求证：PD+PE=CF.

小军的证明思路是：如图2,连接AP,由AA8尸与△ACP面积之和等于△A5C的面积可以证得：PD+PE=CF.

小俊的证明思路是：如图2,过点尸作PGLCF,垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,贝！JPD+PE=CE

［变式探究］

如图3,当点尸在延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

［结论运用］

如图4,将矩形A8C。沿EF折叠，使点。落在点5上，点C落在点。处，点尸为折痕EF上的任一点，过点尸作

PGLBE、PHLBC,垂足分别为G、H,若AO=8,CF=3,求PG+P77的值；

［迁移拓展］

图5是一个航模的截面示意图.在四边形A5CQ中，E为A5边上的一点，EDLAD,ECLCB,垂足分别为。、C,

AD»CE=DE»BC,AB=2岳dm,AD=3dm,BD=由din.M.N分别为AE、BE的中点，连接。W、CN,求

ADEM与4CEN的周长之和.

24.(14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点

C,线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点(不与点B、C重合)，过点P作PF〃y轴交抛物线

于点F,连结DF.设点P的横坐标为m.

(1)求此抛物线所对应的函数表达式.

(2)求PF的长度，用含m的代数式表示.

(3)当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

先利用三角函数计算出NOAB=60。,再根据旋转的性质得NCAB=30。,根据切线的性质得OC_LAC,从而得到NOAC

=30。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OC的长.

【详解】

解：在RtAABO中，sinZOAB=—=,

OA42

.•.ZOAB=60°,

•.•直线11绕点A逆时针旋转30。后得到的直线h刚好与。O相切于点C,

.,,ZCAB=30°,OC±AC,

:.ZOAC=60°-30°=30°,

*a1

在RtAOAC中，OC=-OA=L

2

故选B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系：设。O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则直线1和OO相交ud<r；直线

1和。O相切ud=r；直线1和。O相离ud>r.也考查了旋转的性质.

2、D

【解析】

根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.

【详解】

E点有4中情况，分四种情况讨论如下：

由AB〃CD,可得NAOC=NDCEi=「

VZAOC=ZBAEl+ZAEiC,

ZAEiC=p-a

过点E2作AB的平行线，由AB〃CD,

可得N1=NBAE2=a,Z2=ZDCE2=p

:.ZAE2C=a+p

由AB〃CD,可得NBOE3=NDCE3=p

,:NBAE3=NBOE3+NAE3C,

:.ZAE3C=a-p

由AB/7CD,可得

ZBAE4+ZAE4C+ZDCE4=360°,

二ZAE4C=3600-a-p

...NAEC的度数可能是①a+0,@a-p,③0-a,④360。-a-0,故选D.

【点睛】

此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.

3,B

【解析】

根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可.

【详解】

•；D、E分别是448（：边人8、AC的中点，

.•.口£是4ABC的中位线，

VBC=6,

，DE=BC=1.

J

二

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,

因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.

4、B

【解析】

试题解析：延长交BC于尸，

AZ3=ZABC=80,Z1=18O-Z3=180-80=100,

Z2=18O-ZCD£=180-140=40.

在4CD尸中,Nl=100,Z2=40,

故NC=180-Zl-Z2=180-100-40=40.

故选B.

5、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的图象依次分析各项即可。

由抛物线开口向上，可得口>0，

再由对称轴是一->0，可得5<0>

2a

由图象与y轴的交点再x轴下方，可得,：<0，

故选D.

考点：本题考查的是二次函数的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：a的正负决定抛物线开口方向，对称轴是：=―,c的正负决

2a

定与Y轴的交点位置。

6、A

【解析】

根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到NC=NDAC,求得NDAC=30。，根据三角形的

内角和得到NBAC=95。，即可得到结论.

【详解】

由题意可得：MN是AC的垂直平分线，

贝!JAD=DC,故NC=NDAC,

VZC=30°,

.,,ZDAC=30°,

,:ZB=55°,

*

..ZBAC=95°>

:.ZBAD=ZBAC-ZCAD=65°,

故选A.

【点睛】

此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.

7,D

【解析】

依据三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质，即可得至（I2NACE=NBAC+NB,EF=2OC,NFCE=90。,

进而得到结论.

【详解】

解：^.^NACD是AABC的外角，

.".ZACD=ZBAC+ZB,

VCE平分NDCA,

:.ZACD=2ZACE,

/.2ZACE=ZBAC+ZB,故A选项正确；

,.，EF〃BC,CF平分NBCA,

二NBCF=NCFE,ZBCF=ZACF,

...NACF=NEFC,

.*.OF=OC,

同理可得OE=OC,

.,.EF=2OC,故B选项正确；

TCF平分NBCA,CE平分NACD,

:.ZECF=ZACE+ZACF=-xl80°=90°,故C选项正确;

2

不一定是AC的中点，

二四边形AECF不一定是平行四边形，

二四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，

故选D.

本题考查三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质.

8、B

【解析】

以OM为直径作圆交。。于K,利用圆周角定理得到NM«O=90。.从而得到KMJLOK,进而利用勾股定理求解.

【详解】

@+42=26

故选：B.

【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直

关系.

9,B

【解析】

由内错角定义选B.

10、B

【解析】

先找出滑雪项目图案的张数，结合5张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解.

【详解】

•.•有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，

2

，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是二.

故选B.

【点睛】

本题考查了简单事件的概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1.

【解析】

解：•••平移后解析式是产x-3,

代入产2得：x-b=—,

xx

2

即x-bx=59

产x-5与m轴交点3的坐标是(b,0),

设A的坐标是(x,丁)，

：.OA2-OB2

=3+产-b2

=必+(x-Z>)2-b2

=2--2xb

=2(x2-xb)

=2x5=1,

故答案为1.

点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：一次函数的平移规律，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用

了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出y=x平移后的解析式是解答本题的关键.

12、(128,0)

【解析】

•••点Ai坐标为(1,0),且BiA】_Lx轴，.'.Bi的横坐标为1,将其横坐标代入直线解析式就可以求出Bi的坐标，就可

以求出AIBI的值，OAi的值，根据锐角三角函数值就可以求出NxOB3的度数，从而求出OBi的值，就可以求出OAz

值，同理可以求出OB2、OB3…，从而寻找出点A2、A3…的坐标规律，最后求出A8的坐标.

【详解】

点A1坐标为(1,0),

0A=1

•.轴

•••点名的横坐标为1,且点B｝在直线上

：.y=y/3

・.4(1,两

在中由勾股定理，得

08,=2

・,.sinN031A=；

NOB[A[=30

NO与4=NOB2A2=NO&A3=...=NOB,%=30°

•.04=04=2,4(2,0),

在RMBg中，OB?=2。4=4

.•.04=4,4(4,0).

-.OA4=8,?OA；„=鸳(2.

8

.",<9X8=2-'=128.

.♦,4=(128,0).

故答案为(128,0).

【点睛】

本题是一道一次函数的综合试题，也是一道规律试题，考查了直角三角形的性质，特别是3()°所对的直角边等于斜边的一

半的运用，点的坐标与函数图象的关系.

13、V13

【解析】

由△BOFgZkAOE,得至IJBE=FC=2,在直角ABEF中，从而求得EF的值.

【详解】

:正方形ABCD中，OB=OC,ZBOC=ZEOF=90°,

...NEOB=NFOC,

ZOCB=ZOBE=45°

在ABOE和ACOF中，｛OB=OC,

NEOB=NFOC

/.△BOE^ACOF(ASA)

.,.BE=FC=2,

同理BF=AE=3,

在RSBEF中，BF=3,BE=2,

•••EFW+32=715.

故答案为旧

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理，在四边形中常利用三角形全等的性质和勾股定理计

算线段的长.

14、屈

【解析】

如图，连接OD,BD,作DHJ_AB于H,EG_LAB于G.由四边形ADEF是菱形，推出F,D关于直线AE对称，推

出PF=PD,推出PF+PB=PA+PB,由PD+PBNBD,推出PF+PB的最小值是线段BD的长.

【详解】

如图，连接OD,BD,作DH_LAB于H,EG_LAB于G.

•••四边形ADEF是菱形，

.♦.F,D关于直线AE对称,

.PF=PD,

/.PF+PB=PA+PB,

VPD+PB>BD,

APF+PB的最小值是线段BD的长，

1/?

oo

VZCAB=180-105°-45=30°>设AF=EF=AD=x,则DH=EG=—x,FG=—x,

22

VZEGB=45°,EG_LBG,

1

...EG=BG=-x,

2

・，・x+x+—x=3+x/3，

22

=

••x29

ADH=1,BH=3,

BD=a+32=,

...PF+PB的最小值为标，

故答案为回.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短

问题.

【解析】

根据向量的三角形法则表示出无，再根据BC、AD的关系解答.

【详解】

如图，

B

VAD/7BC,BC=2AD,

口口1二二二(□口)£Q£Q*

3322

故答案为_-一

二一二一

JJ

【点睛】

本题考查了平面向量，梯形，向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键.

16、71

【解析】

分析：由题意NACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一

步求得四个.

详解：依题意，设“数学风车''中的四个直角三角形的斜边长为x,AC=y,则

x2=4y2+52,

「△BCD的周长是30,

x+2y+5=30

贝!Jx=13,y=l.

...这个风车的外围周长是：4(x+y)=4x19=71.

故答案是：71.

点睛：本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题.

17、(2,1)

【解析】

由已知条件得到AD，=AD=J5,AO=；AB=L根据勾股定理得到OD，==1,于是得到结论.

【详解】

回r-1

解：VADf=AD=^,AO=-AB=1,

•••ODJW-O1=I,

,:CD=2,C'D'〃AB,

：.C(2,1),

故答案为：(2,1)

【点睛】

本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、2.

【解析】

将原式化简整理,整体代入即可解题.

【详解】

解：(x-1)1+x(x-4)+(x-1)(x+1)

=x,-lx+1+x,-4x+x'-4

=3x1-2x-3,

Vx1-lx-1=1

二原式=3xi-2x-3=3(x1-lx-1)=3x1=2.

【点睛】

本题考查了代数式的化简求值，属于简单题，整体代入是解题关键.

19、(1)y=O.lx+15,(2)郁金香25亩，玫瑰5亩

【解析】

(1)根据题意和表格中的数据可得到y关于X的函数；

(2)根据题意可列出相应的不等式，再根据(1)中的函数关系式即可求解.

【详解】

(1)由题意得丫=(3-2.4)x-(2.5-2)(30-x)=0.1x+15

即y关于x的函数关系式为y=0.1x+15

(2)由题意得2.4x+2(30-x)<70

解得x<25,

Vy=0.1x+15

.**当x=25时,y最大=17.5

30-x=5,

.••要使获得的收益最大，基地应种植郁金香25亩和玫瑰5亩.

【点睛】

此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意进行列出关系式与不等式进行求解.

3

20、(1)CF=-;(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由见解析；②△PFM的周长满足：2+2&

<(1+V2)y<l+lV2.

【解析】

(1)由折叠的性质可知，FB=FM,设CF=x,则FB=FM=l-x,在RtACFM中，根据FM2=CF2+CM2,构建方程即

可解决问题；

(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明△POFs^MOC,可得NPFO=NMCO=15。，延长即可解决问

题；

万

②设FM=y,由勾股定理可知：PF=PM=2—y,可得△PFM的周长=(1+及)y,由2VyVl,可得结论.

2

【详解】

(1)为AC的中点，

11

/.CM=-AC=-BC=2,

22

由折叠的性质可知，FB=FM,

设CF=x,贝!|FB=FM=1-x,

在RtACFM中,FM2=CF2+CM2,即(1-x)2=x2+22,

33

解得，x=—,即CF=—；

22

(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，

理由如下：由折叠的性质可知，ZPMF=ZB=15°,

VCD是中垂线，

.•.ZACD=ZDCF=15°,

,:ZMPC=ZOPM,

/.△POM^APMC,

.POOM

.MCOM

"~PM~~PO)

■:ZEMC=ZAEM+ZA=ZCMF+ZEMF,

.,.ZAEM=ZCMF,

VZDPE+ZAEM=90°,ZCMF+ZMFC=90°,ZDPE=ZMPC,

.*.ZDPE=ZMFC,ZMPC=ZMFC,

VZPCM=ZOCF=15°,

.,.△MPC^-AOFC,

.MPMC

••=9

OFOC

.MCOC

.OMOC

••=9

POOF

VZPOF=ZMOC,

/.△POF^AMOC,

.,.ZPFO=ZMCO=15°,

.,.△PFM是等腰直角三角形；

②•••△PFM是等腰直角三角形，设FM=y,

由勾股定理可知：PF=PM=XZy,

2

/.△PFM的周长=(1+逐)y,

V2<y<l,

...△PFM的周长满足：2+2及V(1+^/2)y<l+lV2.

【点睛】

本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解

题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

21>(1)x=l(2)-<r<—(1)曳

28EF3

【解析】

3_

(1)作AM_LBC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4、AM=1,据此知tanB=tanC=—,从而可设PH=lk,则CH=4k、

4

PC=5k,再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；

ARCE

(2)由PH=PE=lk、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9-8k,由△ABEsACEH得一=——，据此求得k的值，从而

BECH

得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；

(1)在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ_LEG、HNJ_BC,先证△EPQ^APHN得EQ=PN,由PH=lk、

3416129

HC=4k、PC=5k知sinC=-、cosC=-,据此得出NC=-k、HN=—k及PN=PC-NC=-k,继而表示出EF、EH

^5555^5

的长，从而出答案.

【详解】

⑴作AM_LBC于点M,连接AP,如图1,

D

图1

\•梯形ABCD中，AD//BC,且AB=DC=5、AD=1、BC=9,

；.BM=4、AM=1,

3

tanB=tanC=—,

4

VPH±DC,

.•.设PH=lk,贝lJCH=4k、PC=5k,

VBC=9,

PM=BC-BM-PC=5-5k,

AP2=AM2+PM2=9+(5-5k)2,

VPA=PH,

/.9+(5-5k)2=9k2,

17

解得：k=l或k=—,

8

17

当k=1时，CP=5k=y>9,舍去；

:.k=L

则圆p的半径为1.

⑵如图2,

图2

由(1)知，PH=PE=lk、CH=4k、PC=5k,

VBC=9,

二BE=BC-PE-PC=9-8k,

VAABE^ACEH,

.ABCE58&

・•1=,HBnp1=,

BECH9-8〃4k

13

解得：,

16

3939

贝|JPH=，,即圆P的半径为二,

1616

•・•圆B与圆P相交，且BE=9-8k=』,

2

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQLEG于G,HN_LBC于N,

图3

贝（JEG=EF、Z1=ZKEQ=QG、EF=EG=2EQ,

AZGEP=2Z1,

VPE=PH,

AZ1=Z2,

:.Z4=Z1+Z2=2ZL

AZGEP=Z4,

/.△EPQ^APHN,

AEQ=PN,

由⑴知PH=lk、HC=4k>PC=5k,

34

.".sinC=—、cosC=—,

55

1612

；.NC=—k、HN=—k,

55

9

.*.PN=PC-NC=-k,

5

18

EF=EG=2EQ=2PN=­kEH=力HN?+EN°=k,

.EH2s/5

••------=--------

EF3

故线段EH和EF的比值为定值.

【点睛】

此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线.

22、(1)75；473;(2)CD=4V13.

【解析】

(1)根据平行线的性质可得出NADB=NOAC=75。，结合NBOD=NCOA可得出△BODs^COA,利用相似三角形

的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出NABD=75o=NADB,由等角对等边可得

出AB=AD=4g，此题得解；

(2)过点B作BE/7AD交AC于点E,同(1)可得出AE=46，在R3AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度,

再在RtACAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解.

【详解】

解：⑴VBD/7AC,

.•.ZADB=ZOAC=75°.

VZBOD=ZCOA,

/.△BOD^ACOA,

.ODOB\

''~OA~'OC~3'

又•.,AO=3g,

.*.OD=；AO=5

.,.AD=AO+OD=4石.

VZBAD=30°,NADB=75。，

.••ZABD=180o-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

，AB=AD=46.

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,如图所示.

VAC±AD,BE〃AD,

.,.ZDAC=ZBEA=90°.

VZAOD=ZEOB,

/.△AOD^AEOB,

.BOEOBE

',~DO~~AO~~DA'

VBO：OD=1；3,

.EOBE_1

"'~AO~~DA~3"

•；AO=35

.•.EO=5

；.AE=4B

VZABC=ZACB=75°,

AZBAC=30°,AB=AC,

，AB=2BE.

在RtAAEB中,BE2+AE2=AB2,即(473)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

.♦.AB=AC=8,AD=1.

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,BP82+l2=CD2,

解得：CD=4V13.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：(1)利用相

似三角形的性质求出OD的值；(2)利用勾股定理求出BE、CD的长度.

23、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；［变式探究］见解析；［结论运用］PG+尸”的值为1；［迁移拓展］(6+2)

dm

【解析】

小军的证明：连接4尸，利用面积法即可证得；

小俊的证明：过点尸作PG_LCF,先证明四边形尸。尸G为矩形，再证明△尸GC咨△(:£「，即可得到答案；

［变式探究］小军的证明思路：连接AP,根据SAABC=SA4BP-SAACT,即可得到答案；

小俊的证明思路：过点C,作CGJ_OP,先证明四边形CF0G是矩形，再证明ACGPgZkCEP即可得到答案；

［结论运用I过点E作E0_L8C,先根据矩形的性质求出BF,根据翻折及勾股定理求出DC,证得四边形E0C。是矩

形，得出b£=3F即可得到答案；

［迁移拓展］延长A0,5C交于点后作〃HJLA尸，证明△ADEs/\bCE得到FA=FB,设DH=x,利用勾股定理求出x

得到8〃=6,再根据NA&£=N3CE=90。，且M,N分别为A£,的中点即可得到答案.

【详解】

小军的证明：

连接AP,如图②

图②

9

：PD±AB9PE±AC,CFLAB,

SAABC-SAABP+SAACPt

111

:.一ABxCF=-ABxPD+—ACxPE,

222

VAB=AC9

:・CF=PD+PE.

小俊的证明：

过点P作尸G，C尸，如图2,

VPD±AB,CFA.AB9PGA.FC,

:.ZCFD=ZFDG=ZFGP=90°,

・•・四边形PDFG为矩形，

:・DP=FG,ZDPG=90°,

:.NCGP=90。，

V-PE±AC,

，NCEP=90。，

：.4PGC=/CEP,

VNBDP=NOPG=90。，

：.PG//AB,

:・NGPC=NB,

VAB=AC,

；.NB=NACB,

：.NGPC=NECP,

在4PGC^OACEP中

NPGC=NCEP

<ZGPC=ZECP,

PC=CP

:.APGCWACEP,

：.CG=PE,

：.CF=CG+FG=PE+PD；

［变式探究］

小军的证明思路：连接4尸，如图③,

"JPDLAB,PELAC,CFLAB,

SAABC=SAABP-SAACP,

111

/.-ABxCF=-ABxPD--ACxPE,

222

'：AB=AC,

：.CF=PD-PEt

小俊的证明思路：

过点C,作CGLDP,如图③，

9

：PD±AB9CF±AB9CG工DP,

:./CFD=4FDG=NOGC=900,

：.CF=GD,ZDGC=90°,四边形。尸OG是矩形,

VPE±AC,

:.NCEP=90。，

:・/CGP=/CEP,

VCG±DP,AB±DP9

：・NCGP=NBDP=9。。,

:.CG//AB,

:・NGCP=NB,

9：AB=AC,

工NB=NACB,

VNACB=NPCE,

:・NGCP=NECP,

在A。6尸和4CEP中，

ZCGP=ZCEP=90

<NGCP=NECP,