上海市2023-2024学年高一下学期期末考试数学质量检测试题（附答案）

上海市2023-2024学年高一下学期期末考试数学质量检测试题一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分）1.复数，，若为实数，则________．2.已知为单位向量，,与的夹角为，则在方向上的投影是.3．数列中，且满足求数列的通项公式____．4．，若，，则_________.5．已知（用反正弦表示），则.6．已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大值的________．7．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则_____.8．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为________．9．在△中，，，则的取值范围是_______.10．已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为_____.二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）11．△ABC中，已知，且，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．13．设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（

）A． B． C． D．14．假设实数满足，，，则的取值（）A.是唯一确定的B.不唯一，但有限多C.有无穷多D.不存在符合题意的三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15.（本题满分10分,第（1）题4分，第（2）题6分）已知复数．(1)若，求m的值；(2)若z是纯虚数，求的值．16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）函数的部分图象如图所示.(1)求A，，的值；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.17.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F（1）求的值；（2）求的最小值．18.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）设数列的前项和是，且满足，其中为实数，.（1）求证：是等比数列.（2）当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值.（3）当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值.四、附加题19．（本题满分10分）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点A、B、C分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）.（1）写出点A、B、C的坐标；（2）若原点O为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．20．（本题满分10分）已知二次函数满足：对任意实数，有恒成立；数列满足．（1）求函数的解析式；（2）设，是否存在非零整数，使得对任意，都有恒成立？若存在，求出所有符合的；若不存在，说明理由.答案一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分）1.复数，，若为实数，则________．【正确答案】2.已知为单位向量，,与的夹角为，则在方向上的投影是.【正确答案】3．数列中，且满足求数列的通项公式_______．【正确答案】4．，若，，则_________.【正确答案】5．已知（用反正弦表示），则.【正确答案】6．已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大值的________．【正确答案】7．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则_____.【正确答案】8．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为________．【正确答案】9．在△中，，，则的取值范围是_______.【正确答案】【详解】，所以，显然又有则，其中，故故的取值范围是.10．已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为_____.【正确答案】33由等差数列通项的性质，必为关于的二次函数.又因为，，故为的顶点.故设，代入得，解得.所以.计算得且，故.二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）11．△ABC中，已知，且，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【正确答案】B12．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【正确答案】A13．设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（

）A． B． C． D．【正确答案】B14．假设实数满足，，，则的取值（）A.是唯一确定的B.不唯一，但有限多C.有无穷多D.不存在符合题意的【正确答案】B在平面直角坐标系内，设点，，则由题意，可推出，可推出，可推出由，围成的△的面积.记，则，解得所以，故的取值可能为或，选B.三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15.（本题满分10分,第（1）题4分，第（2）题6分）已知复数．(1)若，求m的值；(2)若z是纯虚数，求的值．【正确答案】(1)(2)4或100(1)因为，所以，所以，所以或．①当时，，符合题意；②当时，，舍去．综上可知：．(2)因为z是纯虚数，所以，所以或,所以，或,所以或,所以或100．16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）函数的部分图象如图所示.(1)求A，，的值；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.【正确答案】(1)，，(2)或(1)由图可知，，，所以，即，所以.将点代入得，，又，所以；(2)由（1）知，由题意有，所以，即，因为，所以，所以或，即或，所以的值为或.17.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F（1）求的值；（2）求的最小值．【正确答案】（1）1

（2）（1）设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，（2），所以当时，的最小值为.18.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）设数列的前项和是，且满足，其中为实数，.（1）求证：是等比数列.（2）当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值.（3）当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值.【正确答案】（1）见解析（2）14（3）36（1）证：时，，作差得即，由题，，故（且）而时，，即也成立由易得，故，即是以为公比的等比数列.（2）由（1），是以1为首项，为公比的等比数列，所以.，由题意，，，所以时，，单调递增；时，，单调递减，，，由题意只需，即，所以整数的最小值为14.（3）由（1），，，故.对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，且.可算得（项），，，因为，，，所以，，.，因此所求的最小值为36.四、附加题19．（本题满分10分）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点A、B、C分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）.（1）写出点A、B、C的坐标；（2）若原点O为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】（1）见解析（2）（1），，（2）先证明一个引理：若，则．因为，所以，所以，所以：回到原题，连结、、，则：．由三角形的重心为原点得即所以两式平方相加可得，所以，同理，所以，故三角形面积为定值．20．（本题满分10分）已知二次函数满足：对任意实数，有恒成立；数列满足．（1）求函数的解析式；（2）设，是否存在非零整数，使得对任意，都有恒成立？若存在，求出所有符合的；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）