高考数学一轮复习练案66第九章计数原理概率随机变量及其分布第六讲几何概型含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第六讲几何概型A组基础巩固一、单选题1．(2021·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是〖0,3〗上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗依题意可知，估计值为1＋1.5＝2.5，残差为y1－2.5，依题意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率为eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故选C．2．(2021·云南昆明一中检测)在区间〖0,8〗上随机取一个实数a，则方程x2＋2ax＋16＝0有实数根的概率为(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它与0≤a≤8的公共元素为4≤a≤8，所以p＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，选B.3．(2021·湖北武汉调研)在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗设MP＝xcm,0<x<16，则NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故选A.4.(2021·湖南湘潭模拟)如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,9)〖〖解析〗〗因为大正方形的面积为6×6＝36；而小正方的面积为1×1＝1；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有8个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：eq\f(8×1,36)＝eq\f(2,9).故选D.5．(2020·广西河池期末)在区间〖4,12〗上随机地取一个实数a，则方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率为(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗因为方程2x2－ax＋8＝0有实数根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故选D.6．(2021·贵州贵阳四校联考)在区间〖－2,2〗随机取一个数x，则事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0,x＋1，x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”发生的概率为(D)A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,x＋1x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”由题可知，该分段函数是一个增函数，y∈〖eq\f(1,2)，2〗，此时x∈〖－1,1〗，所以该事件发生的概率P＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2).故选D.7．(2021·贵州贵阳模拟)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为635,650,705，小明同学在640至705之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)〖〖解析〗〗640至705共25分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是645至650和700至705到站，共10分钟，所以所求概率为P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选C．8.(2021·山西太原模拟)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(C)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(7,16) D．eq\f(13,32)〖〖解析〗〗设正方形边长为a，则其面积S＝a2，阴影部分面积S′＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＝eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,8)＋eq\f(a2,16)＝eq\f(7a2,16)，∴所求概率p＝eq\f(S′,S)＝eq\f(7,16).故选：C．9.(2021·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗设六角星的中心点为O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故选C．10．(2021·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗设这两个数分别为x，y，则由条件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).11.(2021·河南三门峡模拟)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为eq\f(4\r(2),3)，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)〖〖解析〗〗设球半径为R，正四棱锥底面边长为a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(2),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故选A.12．(2021·安徽合肥质检)若在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)〖〖解析〗〗不等式x2＋y2≤1表示的区域是半径为1的圆，面积为π，且|x|＋|y|≤1满足不等式x2＋y2≤1表示的区域是边长为eq\r(2)的正方形，面积为2，∴在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率为eq\f(2,π)，故选B.二、多选题13．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)〖〖解析〗〗由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，则P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B，C正确；故D错误．故选ABC．14．(2018·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p1的最大值为eq\f(2,π＋2) D．p3的最小值为eq\f(π－2,π＋2)〖〖解析〗〗设AB＝c，AC＝b，则区域Ⅰ的面积S1＝eq\f(1,2)bc；区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，区域Ⅱ的面积S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由几何概型可知p1＝p2，故A正确；又整个区域的面积S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2,2bc)))π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(当且仅当b＝c时取等号)，即p1的最大值为eq\f(2,π＋2)，C正确；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(当且仅当b＝c时取等号)，即p3的最小值为eq\f(π－2,π＋2)，D正确；显然B错．故选ACD.三、填空题15．(2021·福建漳州调研)在半径为2的圆C内任取一点P，则以点P为中点的弦的弦长小于2eq\r(3)的概率为eq\f(3,4).〖〖解析〗〗由题可知，当且仅当弦心距d>eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2eq\r(3)，由几何概型的概率公式可得所求概率为eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).16．(2021·河北衡水中学调研)有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为eq\f(1,3).〖〖解析〗〗到点O1，O2距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为P＝1－eq\f(V球,V柱)＝1－eq\f(\f(4,3)π,2π)＝eq\f(1,3).17．(2021·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).〖〖解析〗〗∵阴影部分面积为12×(eq\f(1,6)πR2－eq\f(R,2)×eq\f(\r(3)R,2))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飞镖落在黑色部分的概率为eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故〖答案〗为2－eq\f(3\r(3),π).B组能力提升1.(2021·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)〖〖解析〗〗设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故选D.2．(2021·四川达州诊断)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1发生的概率为(A)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)〖〖解析〗〗矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1即：|eq\o(EF,\s\up6(→))|≤1，如图所示：所以P＝eq\f(S阴影,S矩形)＝eq\f(\f(1,2)·π·12,2)＝eq\f(π,4).故选A.3.(2021·福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为(A)A．eq\f(3－2\r(2)π,2) B．eq\f(π,6)C．eq\f(3－2\r(2)π,4) D．eq\f(π,8)〖〖解析〗〗分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，eq\r(2)l＝2(eq\r(2)R＋R)，∴l＝(2＋eq\r(2))R，∴所求概率P＝eq\f(πR2,2＋\r(2)2R2)＝eq\f(3－2\r(2)π,2).故选A.4．(2021·河南阶段测试)《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，随机在线段AC1上取一点，过该点作垂直于AC1的平面α，则平面α“解”正方体ABCD－A1B1C1D1所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为(D)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗如图所示，由正方体的性质可知，AC1垂直于平面A1BD和平面CB1D1，设P和Q分别是平面A1BD和平面CB1D1与线段AC1的交点，易知VA1－ABD＝VC－C1B1D1＝eq\f(1,6)V正，当平面α取平面A1BD或平面CB1D1时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段AP或QC1上取点，而AP＝PQ＝QC1，所以所求的概率为eq\f(AP＋QC1,AC1)＝eq\f(2,3).5．(2021·湖北武汉武昌区调研)已知a，b是区间〖0,4〗上的任意实数，则函数f(x)＝ax2－bx＋1在〖2，＋∞)上单调递增的概率为(D)A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)〖〖解析〗〗由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤4，,0≤b≤4，))函数f(x)在〖2，＋∞)上递增⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤4，,\f(b,2a)≤2))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤4，,b≤4a))由图可知所求概率P＝eq\f(16－2,16)＝eq\f(7,8).故选D.第六讲几何概型A组基础巩固一、单选题1．(2021·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是〖0,3〗上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗依题意可知，估计值为1＋1.5＝2.5，残差为y1－2.5，依题意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率为eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故选C．2．(2021·云南昆明一中检测)在区间〖0,8〗上随机取一个实数a，则方程x2＋2ax＋16＝0有实数根的概率为(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它与0≤a≤8的公共元素为4≤a≤8，所以p＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，选B.3．(2021·湖北武汉调研)在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗设MP＝xcm,0<x<16，则NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故选A.4.(2021·湖南湘潭模拟)如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,9)〖〖解析〗〗因为大正方形的面积为6×6＝36；而小正方的面积为1×1＝1；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有8个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：eq\f(8×1,36)＝eq\f(2,9).故选D.5．(2020·广西河池期末)在区间〖4,12〗上随机地取一个实数a，则方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率为(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗因为方程2x2－ax＋8＝0有实数根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故选D.6．(2021·贵州贵阳四校联考)在区间〖－2,2〗随机取一个数x，则事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0,x＋1，x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”发生的概率为(D)A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,x＋1x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”由题可知，该分段函数是一个增函数，y∈〖eq\f(1,2)，2〗，此时x∈〖－1,1〗，所以该事件发生的概率P＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2).故选D.7．(2021·贵州贵阳模拟)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为635,650,705，小明同学在640至705之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)〖〖解析〗〗640至705共25分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是645至650和700至705到站，共10分钟，所以所求概率为P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选C．8.(2021·山西太原模拟)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(C)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(7,16) D．eq\f(13,32)〖〖解析〗〗设正方形边长为a，则其面积S＝a2，阴影部分面积S′＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＝eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,8)＋eq\f(a2,16)＝eq\f(7a2,16)，∴所求概率p＝eq\f(S′,S)＝eq\f(7,16).故选：C．9.(2021·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗设六角星的中心点为O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故选C．10．(2021·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗设这两个数分别为x，y，则由条件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).11.(2021·河南三门峡模拟)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为eq\f(4\r(2),3)，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)〖〖解析〗〗设球半径为R，正四棱锥底面边长为a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(2),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故选A.12．(2021·安徽合肥质检)若在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)〖〖解析〗〗不等式x2＋y2≤1表示的区域是半径为1的圆，面积为π，且|x|＋|y|≤1满足不等式x2＋y2≤1表示的区域是边长为eq\r(2)的正方形，面积为2，∴在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率为eq\f(2,π)，故选B.二、多选题13．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)〖〖解析〗〗由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，则P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B，C正确；故D错误．故选ABC．14．(2018·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p1的最大值为eq\f(2,π＋2) D．p3的最小值为eq\f(π－2,π＋2)〖〖解析〗〗设AB＝c，AC＝b，则区域Ⅰ的面积S1＝eq\f(1,2)bc；区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，区域Ⅱ的面积S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由几何概型可知p1＝p2，故A正确；又整个区域的面积S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2,2bc)))π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(当且仅当b＝c时取等号)，即p1的最大值为eq\f(2,π＋2)，C正确；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(当且仅当b＝c时取等号)，即p3的最小值为eq\f(π－2,π＋2)，D正确；显然B错．故选ACD.三、填空题15．(2021·福建漳州调研)在半径为2的圆C内任取一点P，则以点P为中点的弦的弦长小于2eq\r(3)的概率为eq\f(3,4).〖〖解析〗〗由题可知，当且仅当弦心距d>eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2eq\r(3)，由几何概型的概率公式可得所求概率为eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).16．(2021·河北衡水中学调研)有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为eq\f(1,3).〖〖解析〗〗到点O1，O2距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为P＝1－eq\f(V球,V柱)＝1－eq\f(\f(4,3)π,2π)＝eq\f(1,3).17．(2021·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).〖〖解析〗〗∵阴影部分面积为12×(eq\f(1,6)πR2－eq\f(R,2)×eq\f(\r(3)R,2))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飞镖落在黑色部分的概率为eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故〖答案〗为2－eq\f(3\r(3),π).B组能力提升1.(2021·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)〖〖解析〗〗设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故选D.2．(2021·四川达州诊断)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1发生的概率为(A)A．eq