高考数学一轮复习练案53第八章解析几何第五讲椭圆含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第五讲椭圆A组基础巩固一、单选题1．(2020·北京师大附中模拟)△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(D)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)〖〖解析〗〗∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，所以定点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即2a＝10，c＝4，∴b2＝9，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．选D.2．(2021·广东六校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(A)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1〖〖解析〗〗由题意及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，选A.3．(2021·新高考八省联考)椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点为F1、F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2〖〖解析〗〗在椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)中，a＝eq\r(m2＋1)，b＝m，c＝eq\r(a2－b2)＝1，如下图所示：因为椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的上顶点为点A，焦点为F1、F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，∵∠F1AF2＝eq\f(π,3)，∴△F1AF2为等边三角形，则|AF1|＝|F1F2|，即eq\r(m2＋1)＝a＝2c＝2，因此，m＝eq\r(3).故选C．4．(2021·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－eq\f(4,9)，则椭圆C的离心率为(D)A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(\r(5),3)〖〖解析〗〗设P(x0，y0)，则eq\f(y0,x0＋a)×eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化简得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故选D.5．(2021·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直线l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)〖〖解析〗〗直线l的斜率为－eq\f(3,4)，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c))2＋c2＝a2⇒eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故选A.6．(2021·江西景德镇一中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为(C)A．eq\f(\r(2)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)－\r(2),2)〖〖解析〗〗如图，A(0，b)，B(0，－b)，C(a,0)，F(c,0)，因为O，F，P，A四点共圆，∠AOC＝eq\f(π,2)，所以∠APF＝eq\f(π,2)，所以AC⊥BF，即kAC·kBF＝－1，eq\f(b－0,0－a)·eq\f(0－－b,c－0)＝－1，整理可得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，因为0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).故选：C．7．(2021·南昌二模)已知椭圆C：eq\f(y2,9)＋x2＝1，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(B)A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0〖〖解析〗〗设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y\o\al(2,1),9)＋xeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(y\o\al(2,2),9)＋xeq\o\al(2,2)＝1，两式相减得eq\f(y1－y2y1＋y2,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－9，∴直线AB的方程为y－eq\f(1,2)＝－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即9x＋y－5＝0，故选B.8．(2021·广东广州、深圳调研)已知F是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(A)A．eq\f(\r(7),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),2)〖〖解析〗〗设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，根据椭圆对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，则|PF′|＝eq\f(1,2)a，|PF|＝eq\f(3,2)a，由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，即4c2＝4a2－eq\f(9,4)a2＝eq\f(7,4)a2，∴椭圆的离心率e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(7,16))＝eq\f(\r(7),4)，故选A.9．(2021·广东汕头模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(1,2)，直线y＝kx与该椭圆交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(A)A．±eq\f(3,2) B．±eq\f(2,3)C．±eq\f(1,2) D．±2〖〖解析〗〗联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))⇒(b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))，由题意知eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))＝c，①∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，代入①可得eq\f(12c4,3c2＋4c2k2)＝c2⇒k＝±eq\f(3,2).故选A.二、多选题10．设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(AD)A．|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B．离心率e＝eq\f(\r(6),2)C．△PF1F2面积的最大值为eq\r(2)D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切〖〖解析〗〗由椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1可知，a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，故A正确；离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故B错误；所以△PF1F2面积的最大值为eq\f(1,2)×2c×b＝bc＝1，故C错误；由原点(0,0)到直线x＋y－eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切，故D正确；故选：AD.11．(2021·山东济宁期末)已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的动点，则(BC)A．C的焦距为eq\r(5) B．C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为eq\f(2\r(5),5)〖〖解析〗〗依题意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，则C的焦距为2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).设P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故选BC．12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(ABD)A．a1＋c1>2(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1 D．e1＝eq\f(e2＋1,2)〖〖解析〗〗由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq\o\al(2,2)＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq\o\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(e2＋1,2)，所以D正确；故选ABD.三、填空题13．(2021·重庆一中、湖北鄂州期中)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|的值为36.〖〖解析〗〗由题意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.14．(2021·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为eq\r(6)－eq\r(3).〖〖解析〗〗设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC为等腰直角三角形．∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，则a＝eq\f(2＋\r(2),4).∴|AF|＝2a－1＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).四、解答题15．(2021·江苏质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，焦距为2eq\r(3).(1)求C的方程；(2)若斜率为－eq\f(1,2)的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．〖〖解析〗〗(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2c＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，))又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，故y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋m))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋m))＝eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－1,2)，kOPkOQ＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(\f(m2－1,2),2m2－1)＝eq\f(1,4)＝keq\o\al(2,PQ)，即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．16．(2021·安徽六校教育研究会联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，长轴长为4eq\r(2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．〖〖解析〗〗(1)由题意易得，a＝2eq\r(2)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以由Δ>0，得m2<8k2＋4①由根与系数关系得x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)，则y1＋y2＝eq\f(2m,1＋2k2)，所以线段MN的中点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)，\f(m,1＋2k2))).又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由点P在直线l′上，得eq\f(m,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)－1))，所以m＝－eq\f(1＋2k2,k)②由①②得，k2>eq\f(1,2)，即k>eq\f(\r(2),2)或k<－eq\f(\r(2),2)，所以实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).B组能力提升1．(2021·安徽六校联考)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(A)A．eq\r(3)－1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)〖〖解析〗〗由题意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2⇒e2＋2e－2＝0，解得：e＝eq\r(3)－1，故选A.2．(2021·广东深圳统测，10)已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为(B)A．2 B．4C．8 D．16〖〖解析〗〗由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，所以a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4.故选B.3．(2021·江苏南京金陵中学调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于eq\f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))〖〖解析〗〗设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，所以|AF′|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3.因为点P到直线l的距离不小于eq\f(6,5)，所以eq\f(3b,\r(42＋－32))≥eq\f(6,5)，解得b≥2.又b＜a，所以2≤b＜3，故eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)＜1.所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))).4．(2020·甘肃诊断)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，且经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求椭圆C的方程；(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，eq\r(2))，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．〖〖解析〗〗(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a2)＋\f(1,4b2)＝1,a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)))解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋eq\r(2)，代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋y2＝1整理可得(1＋4k2)x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0，Δ＝(8eq\r(2)k)2－16(1＋4k2)>0，解得k>eq\f(1,2)或k<－eq\f(1,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4,1＋4k2)，∴y1y2＝k2x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))<0，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝(1＋k2)eq\f(4,1＋4k2)＋eq\r(2)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(2)k,1＋4k2)))＋2<0，解得k<－eq\f(\r(6),2)或k>eq\f(\r(6),2).故直线l斜率的取值范围为(－∞，－eq\f(\r(6),2))∪(eq\f(\r(6),2)，＋∞)．5．(2021·湖南省六校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，四点P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，P3(0，－eq\r(3))，P4(1,1)中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m(m>0)与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当△MON面积取最小值时，求此时直线l的方程．〖〖解析〗〗(1)根据椭圆的对称性，必过P1，P2.必不过P4，代入点P3得，b2＝3，代入点P1得，a2＝4.∴椭圆C的方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝kx＋m))，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k2＋3))x2＋8kmx＋4m2－12＝0.直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知Δ＝64k2m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k2＋3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2－12))＝0，整理得m2＝4k2＋3.由条件可得k≠0，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,k)，0))，N(0，m)，∴S△MON＝eq\f(1,2)|OM|·|ON|＝eq\f(1,2)|m|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,k)))＝eq\f(m2,2|k|)，∵m2＝4k2＋3，∴S△MON＝eq\f(4k2＋3,2|k|)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4|k|＋\f(3,|k|))).∵|k|>0，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4|k|＋\f(3,|k|)))≥2eq\r(3)，当且仅当4|k|＝eq\f(3,|k|)，即|k|＝eq\f(\r(3),2)，k＝±eq\f(\r(3),2)时等号成立，S△MON的最小值为2eq\r(3)，∵m2＝4k2＋3，∴m2＝6，又m>0，解得m＝eq\r(6).故此时直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),2)x＋eq\r(6)或y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\r(6).第五讲椭圆A组基础巩固一、单选题1．(2020·北京师大附中模拟)△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(D)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)〖〖解析〗〗∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，所以定点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即2a＝10，c＝4，∴b2＝9，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．选D.2．(2021·广东六校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(A)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1〖〖解析〗〗由题意及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，选A.3．(2021·新高考八省联考)椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点为F1、F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2〖〖解析〗〗在椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)中，a＝eq\r(m2＋1)，b＝m，c＝eq\r(a2－b2)＝1，如下图所示：因为椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的上顶点为点A，焦点为F1、F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，∵∠F1AF2＝eq\f(π,3)，∴△F1AF2为等边三角形，则|AF1|＝|F1F2|，即eq\r(m2＋1)＝a＝2c＝2，因此，m＝eq\r(3).故选C．4．(2021·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－eq\f(4,9)，则椭圆C的离心率为(D)A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(\r(5),3)〖〖解析〗〗设P(x0，y0)，则eq\f(y0,x0＋a)×eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化简得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故选D.5．(2021·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直线l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)〖〖解析〗〗直线l的斜率为－eq\f(3,4)，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c))2＋c2＝a2⇒eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故选A.6．(2021·江西景德镇一中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为(C)A．eq\f(\r(2)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)－\r(2),2)〖〖解析〗〗如图，A(0，b)，B(0，－b)，C(a,0)，F(c,0)，因为O，F，P，A四点共圆，∠AOC＝eq\f(π,2)，所以∠APF＝eq\f(π,2)，所以AC⊥BF，即kAC·kBF＝－1，eq\f(b－0,0－a)·eq\f(0－－b,c－0)＝－1，整理可得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，因为0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).故选：C．7．(2021·南昌二模)已知椭圆C：eq\f(y2,9)＋x2＝1，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(B)A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0〖〖解析〗〗设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y\o\al(2,1),9)＋xeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(y\o\al(2,2),9)＋xeq\o\al(2,2)＝1，两式相减得eq\f(y1－y2y1＋y2,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－9，∴直线AB的方程为y－eq\f(1,2)＝－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即9x＋y－5＝0，故选B.8．(2021·广东广州、深圳调研)已知F是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(A)A．eq\f(\r(7),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),2)〖〖解析〗〗设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，根据椭圆对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，则|PF′|＝eq\f(1,2)a，|PF|＝eq\f(3,2)a，由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，即4c2＝4a2－eq\f(9,4)a2＝eq\f(7,4)a2，∴椭圆的离心率e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(7,16))＝eq\f(\r(7),4)，故选A.9．(2021·广东汕头模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(1,2)，直线y＝kx与该椭圆交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(A)A．±eq\f(3,2) B．±eq\f(2,3)C．±eq\f(1,2) D．±2〖〖解析〗〗联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))⇒(b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))，由题意知eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))＝c，①∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，代入①可得eq\f(12c4,3c2＋4c2k2)＝c2⇒k＝±eq\f(3,2).故选A.二、多选题10．设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(AD)A．|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B．离心率e＝eq\f(\r(6),2)C．△PF1F2面积的最大值为eq\r(2)D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切〖〖解析〗〗由椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1可知，a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，故A正确；离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故B错误；所以△PF1F2面积的最大值为eq\f(1,2)×2c×b＝bc＝1，故C错误；由原点(0,0)到直线x＋y－eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切，故D正确；故选：AD.11．(2021·山东济宁期末)已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的动点，则(BC)A．C的焦距为eq\r(5) B．C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为eq\f(2\r(5),5)〖〖解析〗〗依题意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，则C的焦距为2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).设P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故选BC．12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(ABD)A．a1＋c1>2(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1 D．e1＝eq\f(e2＋1,2)〖〖解析〗〗由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq\o\al(2,2)＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq\o\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(e2＋1,2)，所以D正确；故选ABD.三、填空题13．(2021·重庆一中、湖北鄂州期中)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|的值为36.〖〖解析〗〗由题意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.14．(2021·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为eq\r(6)－eq\r(3).〖〖解析〗〗设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC为等腰直角三角形．∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，则a＝eq\f(2＋\r(2),4).∴|AF|＝2a－1＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).四、解答题15．(2021·江苏质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，焦距为2eq\r(3).(1)求C的方程；(2)若斜率为－eq\f(1,2)的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．〖〖解析〗〗(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2c＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，))又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，故y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋m))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋m))＝eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－1,2)，kOPkOQ＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(\f(m2－1,2),2m2－1)＝eq\f(1,4)＝keq\o\al(2,PQ)，即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．16．(2021·安徽六校教育研究会联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，长轴长为4eq\r(2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．〖〖解析〗〗(1)由题意易得，a＝2eq\r(2)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以由Δ>0，得m2<8k2＋4①由根与系数关系得x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)，则y1＋y2＝eq\f(2m,1＋2k2)，所以线段MN的中点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)，\f(m,1＋2k2))).又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由点P在直线l′上，得eq\f(m,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)－1))，所以m＝－eq\f(1＋2k2,k)②由①②得，k2>eq\f(1,2)，即k>eq\f(\r(2),2)或k<－eq\f(\r(2),2)，所以实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).B组能力提升1．(2021·安徽六校联考)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(A)A．eq\r(3)－1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)〖〖解析〗〗由题意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2⇒e2＋2e－2＝0，解得：e＝eq\r(3)－1，故选A.2．(2021·广东深圳统测，10)已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为(B)A．2 B．4C．8 D．16〖〖解析〗〗由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，所以a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4.故选B.3．(2021·江苏南京金陵中学调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于eq\f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))〖〖解析〗〗设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，所以|AF′|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3.因为点P到直线l的距离不小于eq\f(6,5)，所以eq\f(3b,\r(42＋－32))≥eq\f(6,5)，解得b≥2.又b