高考数学一轮复习练案28第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第三讲平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(BA．－1 B．0C．1 D．2〖〖解析〗〗由已知得|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ＝60°，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cosθ－|b＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.2．(2021·安徽六校联考)向量a＝(2，4)，b＝(5，3)，则a·(a－b)＝(D)A．－10 B．14C．－6 D．－2〖〖解析〗〗∵a－b＝(－3，1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.3．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2eq\r(3)，则|b|＝(B)A．eq\r(3) B．1C．4 D．3〖〖解析〗〗因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，又因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos60°＋4|b|2＝(2eq\r(3))2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故选B.4．(2021·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，且|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝8，∠ACB＝eq\f(2π,3)，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(A)A．24 B．12C．24eq\r(3) D．12eq\r(3)〖〖解析〗〗设|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝x，∵2eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(64－16)＝24.故选A.5．(2021·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)〖〖解析〗〗解法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|所以a·b＝0.因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq\r(2).因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因为θ∈〖0，π〗，所以θ＝eq\f(3π,4).解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为eq\f(3π,4).解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为eq\f(3π,4).6．(2021·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影等于(C)A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3〖〖解析〗〗因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.因为|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|sin60°＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos∠ABC＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).二、多选题7．(2021·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(CD)A．a＋b B．a＋eq\f(1,2)bC．a－b D．eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b〖〖解析〗〗∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b|2＝eq\f(1,3)(4a2－4a·b＋b2)＝1，故选C、D.〖优解〗如图，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是单位向量.eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b＝eq\f(2\r(3),3)(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(2\r(3),3)eq\o(DA,\s\up6(→))，又∵|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，故选C、D.8．(2021·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(BC)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))〖〖解析〗〗∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq\f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故选B、C.三、填空题9．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cosa，b＝－eq\f(\r(2),10)．〖〖解析〗〗cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×（－8）＋2×6,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).10．(2021·湖北省部分重点中学高三起点考试)已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，若(a－b)⊥a，则实数x等于7．〖〖解析〗〗∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2＝a·b，25＝3x＋4，解得x＝7.11．(2021·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为－1．〖〖解析〗〗∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cosa，b＝|b|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－5,5)＝－1.12．(2020·武汉市部分学校高三调研测试)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝2.〖〖解析〗〗由已知可得a·b＝1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.四、解答题13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．〖〖解析〗〗(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).14．(2021·湖北宜昌高三适应性训练)在△ABC中，AB＝3AC＝9，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，点P是△ABC所在平面内一点，则当eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值时，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值．〖〖解析〗〗由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠C＝eq\f(π,2)，则BC＝eq\r(AB2－AC2)＝6eq\r(2).以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，6eq\r(2))，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6eq\r(2))2＋x2＋y2＝3x2－6x＋3y2－12eq\r(2)y＋81＝3〖(x－1)2＋(y－2eq\r(2))2＋18〗，所以当x＝1，y＝2eq\r(2)时取得最小值，此时P(1，2eq\r(2))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(2))·(0，－6eq\r(2))＝24.B组能力提升1．(2021·广东百校联考)若向量a，b满足|a|＝eq\r(10)，b＝(－2，1)，a·b＝5，则a与b的夹角为(C)A．90° B．60°C．45° D．30°〖〖解析〗〗∵b＝(－2，1)，∴|b|＝eq\r(（－2）2＋12)＝eq\r(5)，∵|a|＝eq\r(10)，a·b＝5，∴cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又a，b∈〖0，π〗，∴a与b的夹角为45°.故选C.2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，a)，若|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．2 B．4C．6 D．8〖〖解析〗〗eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，a－2)，由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，可得(－1)2＋(a－2)2＝1，解得a＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋2×2＝6，故选C.3．(2021·辽宁葫芦岛六中月考)已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为eq\f(π,3)，则a·b＝(B)A．2 B．3C．4 D．5〖〖解析〗〗∵a＝(2sin13°，2sin77°)＝(2sin13°，2cos13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a与a－b的夹角为eq\f(π,3)，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故选B.4．(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则实数λ的值为eq\f(1,6)；若M，N是线段BC上的动点，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值为eq\f(13,2)．〖〖解析〗〗本题考查平面向量的线性运算以及数量积．由题意eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAD＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,6).以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，不妨设M(t，0)(0≤t≤5)，则N(t＋1，0)，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝t2－4t＋eq\f(21,2)＝(t－2)2＋eq\f(13,2)≥eq\f(13,2)，所以当t＝2时，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))取最小值为eq\f(13,2).5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝eq\f(5,13).(1)若sinA＝eq\f(4,5)，求cosC；(2)若b＝4，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最小值．〖〖解析〗〗(1)在△ABC中，由cosB＝eq\f(5,13)得，sinB＝eq\f(12,13)，∵sinB＝eq\f(12,13)>sinA，∴B>A，故A为锐角，∴cosA＝eq\f(3,5)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(33,65).(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，16＝a2＋c2－eq\f(10,13)ac≥2ac－eq\f(10,13)ac＝eq\f(16,13)ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝accos(π－B)＝－accosB＝－eq\f(5,13)ac≥－5.故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最小值为－5.第三讲平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(BA．－1 B．0C．1 D．2〖〖解析〗〗由已知得|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ＝60°，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cosθ－|b＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.2．(2021·安徽六校联考)向量a＝(2，4)，b＝(5，3)，则a·(a－b)＝(D)A．－10 B．14C．－6 D．－2〖〖解析〗〗∵a－b＝(－3，1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.3．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2eq\r(3)，则|b|＝(B)A．eq\r(3) B．1C．4 D．3〖〖解析〗〗因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，又因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos60°＋4|b|2＝(2eq\r(3))2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故选B.4．(2021·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，且|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝8，∠ACB＝eq\f(2π,3)，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(A)A．24 B．12C．24eq\r(3) D．12eq\r(3)〖〖解析〗〗设|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝x，∵2eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(64－16)＝24.故选A.5．(2021·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)〖〖解析〗〗解法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|所以a·b＝0.因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq\r(2).因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因为θ∈〖0，π〗，所以θ＝eq\f(3π,4).解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为eq\f(3π,4).解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为eq\f(3π,4).6．(2021·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影等于(C)A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3〖〖解析〗〗因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.因为|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|sin60°＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos∠ABC＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).二、多选题7．(2021·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(CD)A．a＋b B．a＋eq\f(1,2)bC．a－b D．eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b〖〖解析〗〗∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b|2＝eq\f(1,3)(4a2－4a·b＋b2)＝1，故选C、D.〖优解〗如图，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是单位向量.eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b＝eq\f(2\r(3),3)(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(2\r(3),3)eq\o(DA,\s\up6(→))，又∵|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，故选C、D.8．(2021·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(BC)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))〖〖解析〗〗∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq\f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故选B、C.三、填空题9．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cosa，b＝－eq\f(\r(2),10)．〖〖解析〗〗cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×（－8）＋2×6,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).10．(2021·湖北省部分重点中学高三起点考试)已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，若(a－b)⊥a，则实数x等于7．〖〖解析〗〗∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2＝a·b，25＝3x＋4，解得x＝7.11．(2021·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为－1．〖〖解析〗〗∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cosa，b＝|b|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－5,5)＝－1.12．(2020·武汉市部分学校高三调研测试)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝2.〖〖解析〗〗由已知可得a·b＝1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.四、解答题13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．〖〖解析〗〗(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).14．(2021·湖北宜昌高三适应性训练)在△ABC中，AB＝3AC＝9，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，点P是△ABC所在平面内一点，则当eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值时，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值．〖〖解析〗〗由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠C＝eq\f(π,2)，则BC＝eq\r(AB2－AC2)＝6eq\r(2).以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，6eq\r(2))，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6eq\r(2))2＋x2＋y2＝3x2－6x＋3y2－12eq\r(2)y＋81＝3〖(x－1)2＋(y－2eq\r(2))2＋18〗，所以当x＝1，y＝2eq\r(2)时取得最小值，此时P(1，2eq\r(2))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(2))·(0，－6eq\r(2))＝24.B组能力提升1．(2021·广东百校联考)若向量a，b满足|a|＝eq\r(10)，b＝(－2，1)，a·b＝5，则a与b的夹角为(C)A．90° B．60°C．45° D．30°〖〖解析〗〗∵b＝(－2，1)，∴|b|＝eq\r(（－2）2＋12)＝eq\r(5)，∵|a|＝eq\r(10)，a·b＝5，∴cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又a，b∈〖0，π〗，∴a与b的夹角为45°.故选C.2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，a)，若|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．2 B．4C．6 D．8〖〖解析〗〗eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，a－2)，由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，可得(－1)2＋(a－2)2＝1，解得a＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋2×2＝6，故选C.3．(2021·辽宁葫芦岛六中月考)已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为eq\f(π,3)，则a·b＝(B)A．2 B．3C．4 D．5〖〖解析〗〗∵a＝(2sin13°，2sin77°)＝(2sin13°，2cos13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a与a－b的夹角为eq\f(π,3)，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故选B.4．(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则实数λ的值为eq\f(1,6)；若M，N是线段B