新高考一轮复习导学案第68讲 圆锥曲线中的离心率问题（微专题）（解析版）

第68讲圆锥曲线中的离心率问题题组一、由概念与性质求圆锥曲线离心率值的问题例1、（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的渐近线的方程为SKIPIF1<0，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为SKIPIF1<0，根据双曲线两条渐近线对称关系可得SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为SKIPIF1<0，故选：D.变式1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则点P是以SKIPIF1<0为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．故选：A.变式2、（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设左顶点SKIPIF1<0，上顶点SKIPIF1<0，则直线AB的方程为SKIPIF1<0，以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题组二、由等量关系求圆锥曲线中离心率值的问题例2、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点A和点B，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为原点），则双曲线的离心率为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】只需把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线SKIPIF1<0的准线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选D．变式1、（2023·安徽·统考一模）已知直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用点差法证明二级结论SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0，则两式相比可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0即可求出离心率.【详解】设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，显然点SKIPIF1<0在椭圆内，记坐标原点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，易知三条直线斜率均存在，又SKIPIF1<0，两式相减整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以两式相比可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是双曲线C：SKIPIF1<0的左，右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线的左，右两支分别交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的内切圆圆心，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据双曲线的定义先推出SKIPIF1<0为正三角形，然后根据余弦定理解决.【详解】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0内切圆圆心，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0中，由余弦定理，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故选：C.变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线SKIPIF1<0，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】设SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立求得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，代入双曲线方程化简即可得出结果.【详解】设SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在双曲线上，所以SKIPIF1<0化简得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B题组三、由不等关系求圆锥曲线中离心率的范围问题例3、（2023·云南玉溪·统考一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的公共点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称且SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0轴右侧，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，当SKIPIF1<0时求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，由SKIPIF1<0，即可得到关于SKIPIF1<0的不等式，解得即可.【详解】解：联立抛物线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的方程消去SKIPIF1<0整理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0时，代入SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，已知点SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0轴右侧，取交点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，不合题意．②SKIPIF1<0时，代入SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称且SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0轴右侧，取交点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两端同除以SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.变式1、（2023·广东茂名·统考一模）已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若SKIPIF1<0的内心到y轴的距离不小于SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为A是线段BD的中点，又SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的内心G在线段EA上.因为DG平分SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为G到y轴的距离不小于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0变式2、（2023·广东汕头·统考一模）过双曲线SKIPIF1<0上的任意一点SKIPIF1<0，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故离心率SKIPIF1<0，又因为双曲线的离心率SKIPIF1<0，所以双曲线离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题组四、由存在性求圆锥曲线中离心率的范围问题例4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0(-c，0)，SKIPIF1<0(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0的面积相等，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.【详解】SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积可表示为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.两边平方得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0,因为离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.变式1、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在C上存在点P（不是顶点），使得SKIPIF1<0，则C的离心率的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可求离心率的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由对称性可知，SKIPIF1<0，如图所示，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且三角形的内角和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0综上，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．变式2、（2023·广东·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0上的任意一点SKIPIF1<0都满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，代入不等式SKIPIF1<0中，化简，得SKIPIF1<0恒成立，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：A变式3、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得SKIPIF1<0为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（