中考数学一轮复习考点过关练习专题11 反比例函数的核心知识点精讲（讲义）（含解析）

【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】专题11反比例函数的核心知识点精讲1.了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.2.掌握反比例函数的图象与性质.3.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.4.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=SKIPIF1<0.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.【题型1：反比例函数的图像和性质】【典例1】（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（）A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1【答案】C【解答】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；反比例函数图象经过点（a，a+2），∴a（a+2）＝3，解得a＝1或a＝﹣3，故D选项错误，故选：C． 1.（2023•重庆）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2）【答案】C【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．2．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合题意；D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，一致，符合题意；故选：D．3．（2023•济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【答案】C【解答】解：∵，k＜0，∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，又∵﹣4＜﹣2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选：C．【题型2：求反比例函数解析式】【典例2】（2022•湖北）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为y＝．【答案】y＝．【解答】解：∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，∴k＝±4，∵反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得k＞1，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．1．（2023•青岛）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为y＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，），∴＝m．∴m＝8，∴反比例函数解析式为：y＝．2．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为y＝﹣．【答案】y＝﹣．【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），∴点A'（2，m），∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，∴m＝＝1，∴A（﹣2，1），∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．3．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，∴CE＝BE，∴AE＝BC＝，∴A（0，），C（﹣，2），∵D是AC的中点，∴D（﹣，），∴k＝﹣×＝﹣．故答案为：﹣．4．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO＝＝3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC（AAS），∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT﹣OB＝2a，∴C（a，2a），∵点C在y＝的图象上，∴2a2＝1，同法可证△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D（﹣2a，3a），设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，∴k＝﹣6a2＝﹣3，∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣【题型3：反比例函数系数K的几何意义】【典例3】（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S△OEA＝，∵S△OEA＝|k|，k＜0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．1．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为4．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．2．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝2．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，又根据k的几何意义可知，S△OBD＝S△AOC，则S梯形ACDB＝S△AOB．又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），所以，即．解得．又a＞b＞0，所以．故答案为：，2．3．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为24．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝12AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝kx（k＞0）上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（6a，6a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，则k＝24，故答案为：24．【题型4：与反比例函数有关的综合题】【典例4】（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；（2）（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+，得．解得．故A（1，3）．将其代入反比例函数y＝，得＝3．解得m＝3．故一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝＝5．设P（a，0），当AB＝AP时，5＝．解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．故P（5，0）；当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．解得a＝﹣8或a＝2．故P（﹣8，0）或（2，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．1．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．【答案】（1）y＝，y＝﹣x+4；（2）10；（3）2＜x＜6或x＜0．【解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y＝，∴m＝6，∴双曲线的解析式为y＝，将点B（n，1）代入y＝，∴n＝6，∴B（6，1），将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，∴，解得，∴直线解析式为y＝﹣x+4；（2）∵直线AB向下平移至CD，∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝﹣x+n，将点C（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，∴1+n＝0，解得n＝﹣1，∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），过点D作DG⊥AB交于G，设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，∴H（0，4），F（8，0），∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，∴∠HDG＝∠HFO，∵OH＝4，OF＝8，∴HF＝4，∴cos∠HFO＝，∵DH＝5，∴DG＝DH＝2，∵AB＝2，∴△ABD的面积＝2×2＝10；方法2：S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD＝HD（xB﹣xA）＝5×4＝10；（3）由图可知2＜x＜6或x＜0时，﹣x﹣1＞．2．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）C（4，2）．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，∴∠OBA＝90°，在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝，∴OB＝4，∴A（2，4），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8；∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，∴∠AFD＝90°，∵∠ADO＝45°，∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，∴AF＝DF＝OB＝4，∵OF＝AB＝2，∴OD＝6，∴D（6，0），设直线AC的解析式为y＝ax+b，∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，联立①②解得，或，∴C（4，2）．一．选择题（共9小题）1．若点（﹣1，4）在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A． B．（﹣4，﹣1） C． D．（﹣4，1）【答案】D【解答】解：将点（﹣1，4）代入反比例函数解析式，得：，解得：k＝﹣4，∴反比例函数解析式为：．当时，y＝16，故不在反比例函数图象上，故A不符合题意；当x＝﹣4时，y＝1，故（﹣4，﹣1）不在反比例函数图象上，（﹣4，1）在反比例函数图象上，故B不符合题意，D符合题意；当时，y＝﹣16，故不在反比例函数图象上，故C不符合题意．故选：D．2．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0【答案】B【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣＝2，即该函数过点（﹣1，2），故结论正确，选项A不符合题意；B．∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项B符合题意；C．∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴该函数图象为第二、四象限，故结论正确，选项C不符合题意；D．∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴该函数图象为第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵当x＝1时，y＝﹣＝﹣2，∴若x＞1，则﹣2＜y＜0，故结论正确，选项D不符合题意；故选：B．3．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3【答案】D【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，∴a+3＜0，解得a＜﹣3．故选：D．4．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，30），B（2，b）两点（如图），则下列说法错误的是（）A．y与S之间满足的函数关系式为 B．点B的坐标为（2，60） C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2 D．若面条的横截面面积不超过0.8mm2，则面条的总长度不超过150m【答案】D【解答】解：设y与x之间的函数表达式为：y＝（S＞0），将（4，30）代入可得：k＝120，∴y与S之间的函数表达式为：y＝（S＞0），故A选项正确，不符合题意；将S＝2代入y＝可得y＝60，所以点B的坐标为（2，60），故B选项正确，不符合题意；当y＝100时，＝100，解得：S＝1.2，∴若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2，故C选项正确，不符合题意；实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m；∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2，∴y≥＝150，故面条的总长度至少为150m，故D选项错误，符合题意．故选：D．5．函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解答】解：连接OC，如图，∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，∴S△AOB＝3S△BOC，∴S△BOC＝×12＝4，∴|k|＝4，而k＞0，∴k＝8．故选：C．7．下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（）A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．【答案】C【解答】解：A、∵y＝x2+2x﹣3开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，且函数图象过（0，﹣3）点，∴该函数图象过一、二、三、四象限，故本选项不合题意；B、∵y＝2x的系数2＞0，∴该函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；C、在y＝﹣x+2中，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，∴该函数图象过一、二、四象限，故本选项符合题意；D、∵y＝中，3＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；故选：C．8．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3 C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3【答案】B【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，∴点B的横坐标为﹣3．观察函数图象，发现：当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．故选：B．9．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（）A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12【答案】B【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，而m＜0，n＜0，∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，∵AC＝3BC，∴AB＝2BC，∴S△ABO＝2S△OBC＝2，即﹣n＝1，解得n＝﹣2，∵﹣m＝2+1，解得m＝﹣6，∴m+n＝﹣6﹣2＝﹣8．故选：B．二．填空题（共4小题）10．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是k＞9．【答案】k＞9．【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴k﹣9＞0，解得k＞9．故答案为：k＞9．11．反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则k的值为﹣1．【答案】﹣1．【解答】﹣解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），把点（2，﹣1）代入y＝∴﹣1＝，解得：k＝﹣1；故答案为：﹣1．12．反比例函数在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，连接OA、OB，若S△AOB＝2，则k的值为8．【答案】8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴，，∵S△OBC﹣S△OAC＝S△AOB，∴，而k＞0，∴k＝8．故答案为：8．13．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了150度．【答案】150．【解答】解：设函数的解析式为y＝（x＞0），∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，∴k＝400×0.25＝100，∴解析式为y＝，∴当y＝0.4时，x＝＝250，∵小慧原来戴400度的近视眼镜，∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣250＝150度，故答案为：150．三．解答题（共3小题）14．已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝12．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当y＝﹣6时，求x的值．【答案】（1）；（2）﹣4．【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为，将x＝2，y＝12代入，得，解得k＝24，∴y关于x的函数表达式为；（2）当y＝﹣6时，，解得x＝﹣4．15．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？【答案】（1）该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝4x+4（0＜x＜6），停止加热过程中对应的函数解析式为y＝（6≤x≤42）；（2）对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．【解答】解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为y＝，∵点（12，14）在该函数的图象上，∴14＝，得k＝168，∴停止加热过程中对应的函数解析式为y＝，当y＝28时，28＝，得x＝6，当y＝4时，4＝，得x＝42，∴停止加热过程中对应的函数解析式为y＝（6≤x≤42），设该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝ax+b，∵点（0，4）、（6，28）在该函数的图象上，∴，得，∴该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝4x+4（0＜x＜6）；（2）将y＝12代入y＝4x+4中，12＝4x+4，得x＝2，将y＝12代入y＝中，12＝，得x＝14，14﹣2＝12（分钟），答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．16．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）结合图象直接写出不等式kx+b的解集．【答案】（1）y＝﹣2x﹣4，y＝﹣；（2）8；（3）x＜﹣3或0＜x＜1．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，2），∴m＝﹣3×2＝﹣6，∵点B（1，n）在反比例函数图象上，∴n＝﹣6．∴B（1，﹣6），把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）如图，设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8；（3）观察函数图象知，不等式kx+b＞的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．1．反比例函数的图象一定经过点（）A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，4） D．（3，2）【答案】D【解答】解：反比例函数中k＝6，A、∵3×（﹣2）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵2×4＝8≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；D、∵3×2＝6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．故选：D．2．如图，点A是反比例图数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为6，则m+n＝（）A．﹣8 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣24【答案】D【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，而m＜0，n＜0，∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，∵AB＝2BC，△OAB的面积为6，∴S△OAB＝2S△OBC＝6，即﹣n＝3，解得n＝﹣6∵﹣m＝6+3，解得m＝﹣18，∴m+n＝﹣18﹣6＝﹣24．故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，AD＝OB，双曲线经过AB的中点F，交BC于点E，下列四个结论：①；②S菱形OABC＝40；③E点的坐标是；④连OF、CF，则S△COF＝10，则正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，∵A（5，0），∴OA＝5．设OD＝x，∴AD＝2OD＝2x．又AC⊥BD，∴OD2+AD2＝OA2．∴x2+4x2＝25．∴x＝．∴AC＝2AD＝4，OB＝2OD＝2．∴AC+OB＝6，故①正确．∴S菱形OABC＝AC•OB＝×4×2＝20，故②正确．又S菱形OABC＝BM•OA＝5BM＝20，∴BM＝4．在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，∴OM＝OA﹣AM＝5﹣3＝2．∵F为AB中点，∴FG是△ABM的中位线，∴FG＝BM＝2，MG＝AM＝．∴OF＝．∴F（，2）．∵双曲线过点F，∴k＝xy＝×2＝7．∴双曲线解析式为y＝（x＞0）．由上可知，BM＝4，故设E（x，4）．将其代入双曲线y＝（x＞0），得4＝，∴x＝．∴E（，4），故③正确．∵S菱形OABC＝20，∴S△COF＝S菱形OABC＝10，故④正确．综上所述，正确的结论有D个，故选：D．4．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与的图象交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式的解集为（）A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1 C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1【答案】D【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，故选：D．5．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°，双曲线y＝经过点A，则k的值为（）A． B．﹣9 C． D．﹣6【答案】B【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，∴∠AOB＝30°，设AB＝a，则OB＝2a，OA＝，由题意可知，∠COA＝30°，∵∠COA＝∠AOB＝30°，∠ACO＝∠BAO＝90°，∴△COA∽△AOB，∴，即＝，∴S△COA＝，∴|k|＝2SCOA＝9，∴k＝﹣9．故选：B．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为（）A．3 B． C． D．5【答案】B【解答】解：∵正方形OABC的边长是3，∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，∴，，3），∴，，∵△ODE的面积为4，∴，∴k＝3或﹣3（舍去），∴D（3，1），E（1，3），作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长＝PD+PE的最小值，∵CE＝CE′＝1＝AD，∴BE′＝4，BD＝2，∴DE′＝＝＝2，即PD+PE的最小值为，故选：B．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，1），两点，与x轴、y轴交于点C，D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P是第四象限内反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的坐标．【答案】（1），；（2）．【解答】解：（1）∵点在反比例函数的图象上，∴，解得k2＝﹣2，∴反比例函数的表达式为；∵点A（m，1）在反比例函数y＝﹣2的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，1），∵点A（﹣2，1），在一次函数y＝k1x+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的表达式为：；（2）由（1）得，一次函数的解析式为，令x＝0，则y＝﹣2；令y＝0，则，，∴，D（0，﹣2）∴，OD＝2，∴，∴S△COP＝2S△AOD＝4，设点，∴，解得，∴．8．如图，已知反比例函数和一次函数y＝2x﹣1交于点A，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点A的坐标为（1，1），在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？【答案】（1）y＝；（2）存在，（﹣，0）或（，0）或（2，0）或（1，0）．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣1的图象经过（a，b）、（a+k，b+k+2）两点，∴，解得：k＝2，∴反比例函数的解析式为：y＝，即y＝；（2）∵点A的坐标为（1，1），∴OA＝＝，当OP＝OA时，点P的坐标为（﹣，0）或（，0），当OA＝AP时，点P的坐标为（2，0），当PO＝PA时，点P的坐标为（1，0），综上所述：当点P的坐标为（﹣，0）或（，0）或（2，0）或（1，0）时，△AOP为等腰三角形．1．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣【答案】B【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，故A不符合题意；B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，故B符合题意；C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，故C不符合题意；D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，故D不符合题意，故选：B．2．（2023•海南）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（）A．2 B．﹣2 C． D．【答案】B【解答】解：由题意，将点（2，﹣1）代入y＝（k≠0），可得：＝﹣1，解得：k＝﹣2．故选：B．3．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，∴a＝，∵k＞0，∴a＞0，∴点M一定在第一象限．故选：A．方法二：∵反比例函数中，k＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，∴点M一定在第一象限．故选：A．4.（2023•浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【答案】B【解答】解：∵反比例函数y＝，∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，∴y2＜y1＜y3，故选：B．5．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，故选：D6．（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．7．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM