新高考一轮复习导学案第79讲 超几何分布与二项分布（原卷版）

第79讲超几何分布与二项分布1.伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.1、现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2、甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．3、某工厂的某种产品成箱包装，每箱SKIPIF1<0件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取SKIPIF1<0件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为SKIPIF1<0，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记SKIPIF1<0件产品中恰有SKIPIF1<0件不合格品的概率为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值点SKIPIF1<0；（2）现对一箱产品检验了SKIPIF1<0件，结果恰有SKIPIF1<0件不合格品，以（1）中确定的SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的值．已知每件产品的检验费用为SKIPIF1<0元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付SKIPIF1<0元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？1、若随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(X＝3)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(40,243) C.eq\f(10,27) D.eq\f(3,5)2、袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(18,125) D.eq\f(54,125)3、从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.eq\f(4,35) B.eq\f(6,35) C.eq\f(12,35) D.eq\f(36,343)3、在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是eq\f(65,81)，则事件A在一次试验中出现的概率是________．4、在SKIPIF1<0次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为SKIPIF1<0，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（）A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1考向一独立重复试验与二项分布例1、已知一个射手每次击中目标的概率为P＝eq\f(3,5)，求他在4次射击中下列事件发生的概率．(1)命中一次；(2)命中两次．变式1、已知一个射手每次击中目标的概率为P＝eq\f(3,5)，求他在4次射击中下列事件发生的概率．求：(1)恰在第三次命中目标的概率；(2)刚好在第二次、第三次两次击中目标的概率．变式2、已知一个射手每次击中目标的概率为P＝eq\f(3,5)，求他在4次射击中下列事件发生的概率．求：(1)至少命中一次的概率；(2)至多命中两次的概率．变式3、学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为SKIPIF1<0；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，SKIPIF1<0．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为SKIPIF1<0．求p为何值时，SKIPIF1<0取得最大值．方法总结：判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.考向二超几何分布例2、袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．变式1、袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的黑球数X的分布列．变式2、一机床生产了SKIPIF1<0个汽车零件，其中有SKIPIF1<0个一等品、SKIPIF1<0个合格品、SKIPIF1<0个次品，从中随机地抽出SKIPIF1<0个零件作为样本.用SKIPIF1<0表示样本中一等品的个数.（1）若有放回地抽取，求SKIPIF1<0的分布列；（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.①求误差不超过SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的值；②求误差不超过SKIPIF1<0的概率（结果不用计算，用式子表示即可）方法总结：(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.1、已知随机变量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.2、随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.3、（多选）若随机变量SKIPIF1<0，下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．期望SKIPIF1<0C．期望SKIPIF1<0 D．方差SKIPIF1<04、（多选题）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竞哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为SKIPIF1<0次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：SKIPIF1<0）（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.15、唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有SKIPIF1<0多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取SKIPIF1<0件作检验，这SKIPIF1<0件唐三彩中优质品的件数记为SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，再从这批唐三彩中任取SKIPIF1<0件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果SKIPIF1<0，再从这批唐三彩中任取SKIPIF1<0件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为SKIPIF1<0，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为SKIPIF1<0，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率；(2)已知每件唐三彩的检验费用为SKIPIF1<0元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为SKIPIF1<0元，求SKIPIF1<0的分布列及数学期望．6、习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)若市民的满意度评分相互