2024～2025学年中考数学重难创新题 方程（组）含答案

2024～2025学年中考数学重难创新题方程（组）

注意事项：

创新角度：解题方法的迁移、现场学习型一、选择题1．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2A．② B．①③ C．②③④ D．②④二、综合题2．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求ab+b（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．三、实践探究题3．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1．把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为x=4请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换"法解方程组3x−2y=5①，（2）已知x，y满足方程组3①求x2+4y2的值．②求1x4．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为m请你参考小明同学的做法解方程组：（1）x+y6（2）5x5．在解方程组2x+5y=3，①4x+11y=5，②解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.把y=-1代入①，得x=4，∴方程组的解决为x=4，请用“整体代换”法解下列方程组：（1）4x−3y=6，8x−7y=18，（2）26．善于思考的小明在解方程组4x+10y=6，①8x+22y=10②解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得y=-1.把y=-1代入①，得x=4，∴原方程组的解为x=4，请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：（1）解方程组2x−3y=7，（2）已知x，y，z满足3x−2z+12y=47，x+z+4y=19，7．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=−1，把y=−1代入①得x=4，∴方程组的解为x=4y=−1请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x−2y=5①9x−4y=19②（2）已知x，y满足方程组3x2−2xy+12y2（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．8．【引入命题】设A(x)是关于字母x的一个整式，若x1是方程A(x)=0的一个根，则整式A(x)必有一个因式(x−x1)，即A(x)=(x−x（1）若A(x)=(x−2)A1(x)，则A(x)=0（2）【回归课本】设一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根x1，x2，则方程可化为：a(x−x1)(x−x2)=0，即ax2−a(x（3）【探究引申】设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个根x1，x2，x3，则原方程可化为：a(x−x1)(x−x2)(x−x3)=0，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：（4）【拓展提高】利用以上规律探究：若方程a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0(9．阅读与思考：根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：若一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根分别为x1，x2（2）类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根分别为m（3）思维拓展：已知实数m，n满足2m2−3m−1=010．著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.【提出问题】我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？【构造关系】将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照n：1：1n（1）当系变倍数为3时，求解一元二次方程x2（2）【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根x1，x2，当n=2时，其“系变方程”也有两个实数根p、q，且x1（3）已知关于x的方程(3x2+tx−2)2+(−2x2−tx+3)2=(x2+1)2有四个实数根11．阅读材料：材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求mn解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．∴nm根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2=；（2）已知实数m，n满足2m2−2m−1=0，2n的值；（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．12．（换元思想）阅读材料：材料1若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2材料2已知实数m、n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且解：由题知m、n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，∴nm根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程x2−4x−3=0的两根为x1，x2，则x1+（2）已知实数m，n满足2m2−2m−1=0，2n2（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+113．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：（1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝，α•β＝；若2，3是方程x2+mx+n＝0的两根，则m＝，（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值，14．已知：a、b、c均为非零实数，且a>b>c，关于x的一元二次方程ax（1）填空：4a+2b+c0，a0，c0（填“>”，“<”或“=”）；（2）若关于x的一元二次方程ax（3）若a=1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围.15．先阅读，再回答问题：如果x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2，x1x2与系数a、b、c的关系是：x1+x2=−ba，x1x2=ca，例如：若x1、x2是方程2x2﹣x﹣1=0的两个根，则x1+x2=﹣ba=−−12=12（1）求x1+x2，x1x2；（2）求x2

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，解得：x1=3，x2=1（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，ab+ba=a2+b当a=b时，原式=2（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，则1x1+1x2=x1x2x1x2则方程x2+mnx+13．【答案】（1）解：将方程②方形为3x+6x-4y=19，即2(3x-2y)+3x=19③，

把方程①代人③得2×5+3x=19，

∴x=3，

把x=3代入①方程得y=2，

∴方程组得解为x=3y=2（2）解：①原方程组变形为3x2+4y2−2xy=47①2x2+4y2+xy=36②

①+②×2得7(x2+4y2)=117，

解得x2+4y2=17，

把x2+4y2=17代入②方程得2×17+xy=36，

解得xy=2，

∴x2+4y2的值为17；

②∵(x+2y)4．【答案】（1）解：令m=x+y6，原方程组化为m+n=3m−n=−1解得：m=1n=2∴x+y解得：x=13y=−7∴原方程组的解为x=13y=−7（2）解：令m=1x，原方程组可化为：5m+2n=113m−2n=13解得：m=3n=−2∴x=经检验，x=1∴原方程组的解为x=15．【答案】（1）解：4x−3y=6，①8x−7y=18，②

将方程②变形为8x-6y-y=18，即2（4x-3y）-y=18.③

把①代入③，得2×6-y=18，解得y=-6.

把y=-6代入①，得x=-3.

∴方程组的解为（2）解：2（x+3）+（2y−1）=11，①4（x+3）−3（2y−1）=17.②

将方程②变形为4（x+3）+2（2y-1）-5（2y-1）=17，

即2[2（2x+3）+（2y-1）]-5（2y-1）=17.③

把①代入③，得2×11-5（2y-1）=17，解得y=1.

把y=1代入①，得x=2，

∴方程组的解为6．【答案】（1）解：2x−3y=7，①6x−5y=25，②

将方程6x-5y=25变形为3（2x-3y）+4y=25.③

把方程①代入③，得3×7+4y=25，解得y=1.

把Y=代入①，得x=5，

∴原方程组的解为（2）解：3x−2z+12y=47，①x+z+4y=19，②

将方程①变形为：3（x+z+4y）-5z=47，③

把方程②代入③7．【答案】（1）解：3x−2y=5①9x−4y=19②将方程②变形，3x+6x−4y=19，即3x+2(3x−2y把方程①代入③，得：3x+2×5=19，解得：x=3，把x=3代入①，得：3×3−2y=5，解得：y=2，∴方程组的解为x=3y=2（2）解：3x将方程组变形，得：(x将④−③，得：xy2+2xy将xy=2代入④，得：x2∴x∴x2+4（3）解：由（2）可得xy=2，当x，y均为整数时，x=1y=2或x=−1y=−2或x=2y=1当x=1，y=2时，x2当x=−1，y=−2时，x2当x=2，y=1时，x2当x=−2，y=−1时，x2∴在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为x=1y=2或 x=−18．【答案】（1）x=2（2）解：根据题意得：关于x的一元二次方程x2∴Δ=(2m)解得：m>2，由（1）得：x1+x∵x∴−2m+m解得：m1=0（不合题意，舍去），∴m的值为3．（3）解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根为因式分解：a=a(x−=a[∴一元三次方程根与系数的关系为：x1+x2+又已知方程x3−4x2+3x+d=0有三个根α∴a=1，b=−4，c=3，∴x即α2（4）x1+9．【答案】（1）32；（2）∵一元二次方程2x2−3x−1=0∴m+n=3∴m（3）∵实数m，n满足2m∴m，n是关于x的一元二次方程∴m+n=3∴110．【答案】（1）解：当系变倍数为3时，系变方程为：3x2+2x−1=0，解得：x（2）解：设原方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当n=2∵x1⋅x2∴原式=∴当p=18，q=2时，原式取到最小值（3）解：令m=3x2+tx−2∵(3x2+tx−2)2+(−2x即(3x2+tx−2)(−2x∴3x2+tx−2=0或2x则系变方程为：nax2+bx+cn=0∴若原方程有解，则系变方程必有解，且解存在倍数关系，∵3x2+tx−2=0且无论t取何实数，两个方程都有实数解∴x1x2=x11．【答案】（1）-3（2）解：∵m、n满足2m2−2m−1=0∴m、n可看作方程2x∴m+n=1，mn=−1∴m2（3）解：设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2∴p+2q=3，p•2q=−2，∴p212．【答案】（1）−3（2）解：∵m，n满足2m2−2m−1=0∴m，n可看作方程2x2−2x−1=0的两实数根．∴m+n=1∴m2（3）解：设t=2q，代入