2024～2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之新定义问题含答案

2024～2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之新定义问题一、选择题1．定义一种新运算a∗b=−ab，那么(m−n)∗m的运算结果为（）A．m2−mn B．−m2+mn 2．定义新运算：a∗b=a+ba−b(a≠b且A．1 B．75 C．7 D．3．定义一种新运算：a&b=4ab−A．3 B．−3 C．5 D．−54．定义新运算：m⊕n=−nm(m≠0)A．当x<0时，y随x增大而增大 B．该函数图象经过点(2C．该函数图象位于第一、三象限 D．当−2<x<−1时，−2<y<−15．定义新运算：p⊕q=pq(q>0)，−pA． B． C． D．6．设a，b是实数，定义一种新运算：a∗①a∗②(a③(−a)∗④a∗其中所有正确推断的序号是（）A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③7．若定义一种新的运算mΔn=m+n1+mn，例如：3Δ2=3+2A．35 B．−35 C．28．定义一种新运算：当a>b时，a∗b=ab+b；当a<b时，a∗A．−1<x<1或x<−2 B．x<−2或1<x<2C．−2<x<1或x>1 D．x<−2或x>29．对代数式A定义新运算：A2=|A|．在代数式a+b+c中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．例如：a+b2+c=a+|b|+c=a−b+c①a2②a+(b+c)③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为−a−b+c．A．4 B．3 C．2 D．110．对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m①18⊗2=22；②11⊗2+1以上说法中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a<b时，min{a，b}=a.如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4.已知一种关于x的新函数y=min{x+1，-x+m}，且m>-1，则关于y的函数下面说法错误的是（）.A．若m=1，则当y≤-2时，则x≤-3或x≥3B．当函数图象经过(0，12)时，该函数图象的最高点的坐标为(−14C．(m2，y1)(m+12，y2)是函数图象上的两点，则y1D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或512．在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，把点P1(y,11−x)叫做点P的友好点．已知点A1的友好点为点A2A．(12,2) B．(2,13．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=5n+3；②当n为偶数时，F(n)=n2k（其中，k是使F(n)为奇数的正整数），……，两种运算交替重复进行，例如，取n=20，则运算过程如图所示：若n=3A．3 B．9 C．18 D．4814．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是45其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．415．定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)，满足a1+a2=0A．1 B．2 C．3 D．416．定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与B=a2x2+b2x+①若A=−x2−43②若k为常数，关于x的方程A=k与B=k的解相同，则k=0；③若p，q为常数，pA+qB的最小值为p−q，则A有最小值，且最小值为1.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题17．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω(a)，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以ω(13)=4．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：ω（27）．（2）若m，n都是“英华数”，且m+n=100，则ω(m)+ω(n)=．18．对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）.例如：F(1，1)=2m+2n，F(−1，0)=3m.当F(1，−1)=−8，F(1，2)=13，则F(x，y)=；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，19．对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b={例如2☆3=2−3=18.计算[2☆(−4)]×[(−420．定义：Φ[a，b，c]是以a、b、c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]=ax2+bx+c，其中a、b、c均为实数.例如Φ[1，2，3]=x2+2x+3、Φ[2，0，−2]=2x2−2．

①当三、解答题21．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形——筝形．定义：在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，我们把这样四边形性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是；从边看：筝形有两组邻边分别相等；从角看：；从对角线看：．判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．方法1：从边看：运用筝形的定义；方法2：从对角线看：；如图，四边形ABCD中，．求证：四边形ABCD是筝形．应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．22．已如有理数a(a≠1)，定义11−a为a的差倒数，如（1）−3的差倒数为；（2）如果a1=−1，a2是a1的差倒数．a323．对于整数n，定义[n]为不大于n的最大整数，例如：[3]＝1，[4]＝2，[5]＝2．（1）直接写出[10]的值；（2）显然，当[n]＝1时，n＝1，2或3．①当[n]＝2时，直接写出满足条件的n的值；②当[n]＝10时，求满足条件的n的个数；（3）对72进行如下操作：72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，即对72进行3次操作后变为1，类似地：①②对整数m进行3次操作后变为2，直接写出m的最大值．24．在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝－1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为；②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；（2）在该数轴上，点C表示的数为－m，点D表示的数为－m＋3，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为5，直接写出m的最大值与最小值．25．新定义：若无理数T的被开方数T（T为正整数）满足n2<T<(n+1)2（其中n为正整数），则称无理数T的“青一区间”为(n，n+1)；同理规定无理数−T的“青一区间”为(−n−1，（1）17的“青一区间”是；−23的“青一区间”是（2）若无理数−a（a为正整数）的“青一区间”为(−3，−2)，a+3（3）实数x，y，m满足关系式：2x+3y−m+3x+4y−2m=26．对于正数x，用符号[x]表示x的整数部分，例如[0.1]=0，[2.5]=2，[3]=3.点A(a，b)在第一象限内，以A为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直.其中垂直于y轴的边长为a，垂直于x轴的边长为[b]+1，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A的矩形域.例如：点(3，32)根据上面的定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐标系中画出点(2，72（2）点P(2，72)，Q(a，7227．定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（1）填空：i3=；i（2）填空：①(3+i)(3−i)=；②(5+i)2=（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下题：已知x+4i=(2−x)−yi（x，y为实数），求x、y的值．28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34（Ⅰ）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（Ⅱ）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（Ⅲ）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】D12．【答案】A13．【答案】C14．【答案】C15．【答案】B16．【答案】C17．【答案】（1）9（2）1918．【答案】9x19．【答案】120．【答案】-59；-621．【答案】其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO；筝形面积为对角线乘积的一半．22．【答案】（1）1（2）解：a1由题意，得：a2=11−(−1)=∴每3个数一循环，a1∵2024÷3=674…2，∴a=674×=1011−1+=1010123．【答案】（1）解：[10]＝3；（2）解：①n＝4，5，6，7，8；②当[n]＝10时，可得100≤∴n＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120；∴满足条件的n的个数为21（3）解：①2；②设第三次操作为：[a]＝2，则4≤a＜9∴设第二次操作为：[b]＝8，则64≤b＜81∴设第一次操作为：[m]＝80，则6400≤m＜6561∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．24．【答案】（1）解：①2；②∵B点到OM的“闭距离”为3，

∴当m＜0时，m=2-3=-1，

当m＞0时，m-2=3，m=5，

∴m的值为-1或5.（2）解：∵点C表示的数为-m，点D表示的数为-m+3，在线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为5，

∴当m＜0时，可得不等式组

−m−m≤5−m+3−m≥5，

解得：−52≤m≤−1，

当m＞0时，可得不等式组

m−−m≥5m−+3−m≤5，

解得：5225．【答案】（1）(4，5)（2）解：∵无理数−a的“青一区间”为(∴2<a∴22<a<∵a+3的“青一区间”为(∴3<a+3∴32<a+3<∴6<a<13，∴6<a<9，∵a为正整数，∴a=7或a=8当a=7时，3a+1当a=8时，3a+1∴3a+1的值为2或（3）解：∵2x+3y−m∴x+y−2023≥0，2023−x−y≥0，∴x+y−2023=0，∴x+y=2023，∴2x+3y−m∴2x+3y−m=0，3x+4y−2m=0，两式相减，得x+y−m=0，∴m=x+y=2023，∴m的算术平方根为2023，∵44∴44<202326．【答案】（1）点(2，72)的矩形域如图所示：（2）a的值为56或1127．【答案】（1）−i；1（2）10；24+10i（3）解：∵x+4i=(2−x)−yi，∴x=2−x，−y=4，∴x=1，y=−4．28．【答案】解