《数学分析》(2)复习

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多元函数微分学★

《数学分析》〔2〕复习〔课本ch13,ch14,ch15,ch16〕

2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，全微分3.了解隐函数存在定理，会求由方程或方程组所确定的多元隐函数的偏导数〔包括二阶偏导数〕1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续及他们之间的关系考试要求4.求二元函数的极值，用拉格朗日乘数法求条件极值，最值问题数学分析〔2〕——多元函数微分学一、多元函数微分学中的根本概念及其联系数学分析〔2〕——多元函数微分学★多元函数微分学基此题型二、求二元、三元初等函数的偏导数与全微分三、复合函数求导法——求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分四、复合函数求导法——求隐函数的(偏)导数与全微分五、复合函数求导法——变量替换下方程的变形六、多元函数的极值与最值问题重难点一、多元函数微分学中的根本概念及其联系1.二元函数的极限数学分析〔2〕——多元函数微分学是以“任意方式”题型一：求极限常用方法：等价无穷小代换；利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量，

两边夹定理.题型二：证明重极限不存在

常用方法：沿不同路径极限不同（如：沿过点的直线）；2)沿某一路径极限不存在.=e

练习=0(4)

证明二重极限不存在数学分析〔2〕——多元函数微分学2.讨论函数的连续性、可偏导性、可微性连续可微

可微的判定:必要条件:与都存在;充分条件:和在连续;是否为零?ii〕用定义判定可微性：一、多元函数微分学中的根本概念及其联系数学分析〔2〕——多元函数微分学一、多元函数微分学中的根本概念及其联系偏导数连续可微连续偏导数存在极限存在数学分析〔2〕——多元函数微分学练习数学分析〔2〕——多元函数微分学数学分析〔2〕——多元函数微分学定义

若极限存在，则称此极限值为函数在点处对x的偏导数，一元函数在点的导数：对于x的偏改变量二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代数学分析〔2〕——多元函数微分学★计算偏导数的方法：求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需将其他变量看成常数，再用一元函数的求导法对此变量求导，即可得到偏导数。多元函数求偏导数的实质是“在固定其他自变量的前提下，对某个自变量求导数”的问题。★全微分：全微分=各个偏微分之和二元函数三元函数二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分数学分析〔2〕——多元函数微分学练习数学分析〔2〕——多元函数微分学根据结构图，“分线相加，连线相乘”“分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意1.复合函数求导2.全微分形式不变性三、复合函数求导法——求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分数学分析〔2〕——多元函数微分学1.设,其中f(u,v)可微，求：。2.

设函数z=f(x+y,x-y,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与。练习数学分析〔2〕——多元函数微分学四、复合函数求导法——求隐函数的(偏)导数与全微分对于一个方程的隐函数求导，解题方法有如下二种：〔1〕公式法那么；〔2〕推导法。1、隐函数存在定理2、隐函数求导法隐函数的个数=方程的个数隐函数的自变量个数=变量总个数̶方程的个数数学分析〔2〕——多元函数微分学(1)［公式法］(2)［推导法］(直接法)——方法步骤③①②

x、y、z等各变量地位等同公式不必记,要求掌握［推导法］方法1将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；方法2将方程(组)两边同时取微分.数学分析〔2〕——多元函数微分学1.A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D练习数学分析〔2〕——多元函数微分学2.

设z=f(x,y)由方程确定,则练习数学分析〔2〕——多元函数微分学五、复合函数求导法——变量替换下方程的变形2.练习数学分析〔2〕——多元函数微分学六、多元函数的极值1、无条件极值二元函数：(极值必要条件)如果z

f(x,y)在点(x0,y0)处有极值，且两个一阶偏导数存在，则它在该点的偏导数必为零，即驻点可能是极值点，可能是偏导数不存在的点。使一阶偏导数为零的点称为驻点极值点未必是驻点，数学分析〔2〕——多元函数微分学时,具有极值1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.极值的求法第一步：求驻点第二步：判定〔对每一个驻点，求〕数学分析〔2〕——多元函数微分学六、多元函数的极值2、条件极值拉格朗日乘数法设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件数学分析〔2〕——多元函数微分学2