2023春步步高数学人教A版必修第二册第八章8 .6 .2 直线与平面垂直

8.6.2直线与平面垂直

【学习目标】1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念2掌握直线与平面

垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直3掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理

证明相关问题.

I导语】

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教

室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.正因为日常

生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究.

一、直线与平面垂直的定义

问题1如图，假设旗杆与地面的交点为点8,在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在

地面的影子BC,随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？

提示始终保持垂直.

问题2在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直，将这一结论推广到空间,

过一点垂直于已知平面的直线有几条？

提示可以发现，过一点垂直于己知平面的直线有且只有一条.

【知识梳理】

1.直线与平面垂直的定义及画法

一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线1与平面

定义

a互相垂直

记法

有关直线/叫做平面a的垂线,平面a叫做直线1的垂面,它们唯一的公共点P叫做

概念垂足

/

图示上歹

||叽法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的

垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

注意点：

定义中的任意一条直线指每一条直线，不同于无数条直线；若/_La,cUa,贝

例1（多选）下列命题中，不正确的是（）

A.若直线/与平面a内的一条直线垂直，则/_La

B.若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线

C.若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直

D.若直线/与平面a内的无数条直线垂直，贝i"_La

答案ABD

解析当/与a内的一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以A不正确；当/与a

不垂直时，/可能与a内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若/在a内，/也

可以和a内的无数条直线垂直，故D错误.

反思感悟对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直

于平面内无数条直线”不是一回事.

跟踪训练1（多选）下列说法，正确的是（）

A.若直线/垂直于a,则直线/垂直于a内任一直线

B.若直线/垂直于平面a,则/与平面a内的直线可能相交，可能异面，也可能平行

C.若a"b、aC.a,IYa,则/_L6

D.若a_Lb,/?,La,则a//a

答案AC

解析由线面垂直的定义知，A正确；当/La时，/与a内的直线相交或异面，但不会平行，

故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在a内，所以D错误.

二、直线与平面垂直的判定定理

问题3如图，过AABC的顶点A翻折纸片，得到折痕A。，将翻折后的纸片竖起放置在桌

面上（3D,。。与桌面接触）.观察并思考：折痕与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能

使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

提示不一定.折痕4。是BC边上的高时，AO与桌面垂直.

［知识梳理］

文字语言I如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言mUa,nUa,mCn=P,IVm,/_L〃=/_La

图形语言

例2如图所示，在正方体A5C。一A山CQi中，M为CG的中点，AC与80交于点0,求

证：40L平面MBD

证明方法一•.•四边形A8C。为正方形，

：.BD±AC,

又AA|_L平面ABCD,

：.AA\VBD且A4CAC=4,

平面4410,

：.BDl.A}0,

令正方体的棱长为2,连接0M,AiM（图略）,

则Ai0=#,OM=-\[3,A|M=3,

111

：.Ax0^-0M=A\M,

：.A\0±0M,

又0MnBD=0,

，A|OJL平面MBD.

方法二连接48,AiD,0M（图略）.

在正方体ABCO—AiBiGn中，

A\B=A\D,

。为8。的中点，

：.A\OVBD.

令正方体的棱长为2,

在RtZXAiA。和RtAOCM中，

•皎一0

tanNAA]。一AA—勺,

tanNCOA/=co=2'

故△AIAOS/XOCM,

，NAO4+NCOM=90。，

ZAi（9M=90o,

：.A\OVOM,

；8Or）OM=O,

BOU平面MBD,

OMU平面MBD,

.•.401•平面MBD.

反思感悟证明线面垂直的方法

（1）由线线垂直证明线面垂直：

①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅

助线），使它们与所给直线垂直.

（2）平行转化法（利用推论）：

@a//b,a_La=Z?_La;®a//p,q_La=4_L夕.

跟踪训练2如图，AB为。。的直径，附垂直于。。所在的平面，例为圆周上任意一点，

ANLPM,N为垂足.

(1)求证：AN_L平面PBM；

(2)若AQ_LP8,垂足为。，求证：NQ1PB.

证明(1)：A8为。。的直径，：.AM±BM.

又B4_L平面ABM,8MU平面ABM,

又•.•B4CAM=A,PA,

AMU平面PAM,

平面PAM.

又ANU平面PAM,：.BM1AN.

又AN1PM,且BMCPM=M,BM,PMU平面PBM,

.*.AN_L平面PBM.

(2)由(1)知AN_L平面PBM,

PBU平面PBM,：.AN±PB.

又ANC\AQ=A,AN,4QU平面AN0,

平面ANQ.

又NQU平面ANQ,：.PB±NQ.

三、直线与平面所成的角

问题4当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大,

观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？

提示铅笔和它在桌面上的射影所成的角.

【知识梳理】

直线与平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,

斜线

这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线巩

/

0/

斜足斜线和平面的交点,如图中直4

/%L/

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和

7

射影斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中

斜线PA在平面a上的射影为直线A0

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的英自，如图中/B4。；

直线与平面

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是鳖；一条直线和平面平行，

所成的角

或在平面内，它们所成的角是£

取值范围设直线与平面所成的角为仇则0WW90。

例3如图，在正方体ABCQ-AIBCJA中.

⑴求AB与平面A4OQ所成的角；

⑵求A\B与平面BBQiD所成的角.

解(1)；4B_L平面AAQQ,

ZAAiB就是AiB与平面A4|D(D所成的角，

在中，/B44i=90。，AB=AAt,

：.ZA4|fi=45°,

：.A\B与平面AAyD\D所成的角是45。.

(2)如图，连接4G交囱。।于点0,连接80.

"：A\OVB\D\,BB\VA\O,881nBBB\,BiDC平面SB。。,

；.AiO_L平面BB\D\D,

：.ZAiBO就是A\B与平面BB\D\D所成的角.

设正方体的棱长为1,则48=啦，4。=乎.

又；NAOB=90°,

，sinNA8O=驾=),又0°WN4BOW900,

AIDZ

ZA,50=30°,

：.A}B与平面B8QQ所成的角是30。.

反思感悟求直线与平面所成的角的步骤

(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角.

(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角.

(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形).

⑷答.

跟踪训练3如图，在正方体ABC。一ASG。中，求直线AiB和平面AQCBi所成的角.

解如图，连接8C”8G与BC相交于点O,连接AQ.

设正方体的棱长为a.

因为AiBilBiB,BiC\QB]B=Bi,B\Ci,S8U平面BCGBI,

所以AiBJ_平面BCGBi,

所以AiB_LBG.

又因为BG_L8iC,AlBiQBlC=Bi,A\B\,BiCU平面AIQCBI,

所以8G_L平面A\DCB\,

所以40为斜线A,B在平面AiDCBi上的射影，ZBAiO为A\B和平面A\DCB\所成的角.

在RtZ\4BO中，AiB=®t,80=芋a,

所以BO=^A\B.

所以/84。=30。，

所以直线4B和平面4DCB1所成的角为30。.

四、直线与平面垂直的性质定理

问题5我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的

性质呢？

提示在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定

平行.

I知识梳理】

文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行

符号语言Q_LQ,bA,a=>a//b

图形语言My

注意点：

(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.

(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行

关系转化的依据.

例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB_L平面PAD,AD=AP,E是

尸。的中点，M,N分别在AB,PC上，S.MNVAB,MN_LPC证明：AE//MN.

证明平面PAD,AEu平面PAD,

J.AELAB,

入AB"CD,：.AELCD.

"：AD=AP,E是尸£)的中点,：.AEA.PD.

又CDCiPD=D,CD,PDu平面PC。，

；.AE_L平面PCD.

'：MNLAB,AB//CD,:.MNLCD.

又,：MNLPC,PCDCD=C,PC,CQu平面PC。，

平面PCD,J.AE//MN.

反思感悟证明线线平行的常用方法

⑴利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

跟踪训练4如图，aC£=l,PALa,PB邛,垂足分别为A,B,aUa,.求证：a///.

证明VB4±a,/Ua,：.PA±l.

同理PB_U.

\'PAnPB=P,PA,PBU平面

，/_L平面PAB.

又；％_La,aCa,：.PA±a.

'：a±AB,PAHAB=A,PA,ABU平面以B,

；.a_L平面PAB.

：.a//l.

-课堂小结

1.知识清单：

(1)直线与平面垂直的定义.

(2)直线与平面垂直的判定定理.

(3)直线与平面所成的角.

(4)直线与平面垂直的性质定理.

2.方法归纳：转化思想，数形结合.

3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.

N随堂演练

1.(多选)下列说法正确的是()

A.一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直

B.过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30。

C.一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直

D.一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直

答案BCD

2.（多选）卜列命题正确的是（）

a//b,]〃_La,]

A.\=>bLaB.\=blla

a.LaJa.Lb\

a〃"\a-Laf]

C.।=小尸D.

a.LaJb-La\

答案ACD

3.如图，在正方体中，M是棱。。的中点，则过点仞且与直线48和BiG

都垂直的直线有（）

a

©

B、q

A.1条B.2条

C.3条D.无数条

答案A

解析与直线AB和8G都垂直即与直线AB和BC都垂直，故所求的直线垂直于平面A8C£）,

所以过点M且与直线AB和81G都垂直的直线有且仅有直线DD\.

4.如图所示，在三棱锥产一ABC中，《4_L平面ABC,M=AB,则直线PB与平面ABC所成角

的度数为.

少4

答案45°

解析因为以，平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为48,所以NP8A即为直线

尸8与平面ABC所成的角.在△南8中，/04P=90。，PA=AB,所以NP8A=45。，即直线

PB与平面ABC所成的角等于45°.

课时对点练

基础巩固

1.已知△ABC,若直线/LAB,ILAC,直线机，8C,m±AC,则/，机的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.不确定

答案C

解析依题意知/_!■平面ABC,小_1_平面ABC,

：.l//m.

2.如图，在正方体中，与A5垂直的平面是（）

A.平面O2GC

B.平面AQBi

C.平面ALBIGG

D.平面408

答案B

解析连接4，。向（图略），VADilAiD,ADilAiB,,AiDQA]Bi=A],A\D,平面

AQBj,

.•.A£>i_L平面A\DB\.

3.（多选）下列说法中，正确的有（）

A.如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直

B.过直线/外一点P,有且仅有一个平面与/垂直

C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面

D.过点A垂直于直线”的所有直线都在过点4垂直于a的平面内

答案BCD

4.如图，aC0=l,点、A,CCa,点8q夕，且BC邛,那么直线/与直线AC的关系

是（）

A.异面B.平行C.垂直D.不确定

答案C

解析'：AB±a,lUa,：.ABU,

又,：BC邛,又从：.BCU,

又ABCBC=B,AB,BCU平面ABC,

，/_L平面ABC,

又ACU平面ABC,：.l±AC.

5.如图，三棱柱ABC—AIBIG的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点。是侧面BBGC的

中心，则AQ与平面ABC所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案A

解析取8c的中点E,连接。E,AE（图略），则。平面A8C,故OELAE,/D4E即为

A。与平面A8C所成的角，设三棱柱ABC—4向G的棱长为1,则AE=竽，所以tan

NDAE=^,所以/ZME=30。.

6.如图所示，定点A和B都在平面a内，定点用a,PBLa,C是平面a内异于A和8的动

点，JIPCVAC,则△4死为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

答案B

解析易证AC_L平面PBC,又BCU平面PBC,

所以ACLBC.

7.在长方体ABCD-AIBIGA中，EGBD,FWBQi，KEF1AB,则EF与AAi的位置关系

是________

答案平行

解析如图，AB±EF,且48不垂直于平面BB。。,

EF与381不相交，EF//BB\,

又：.EF//AAi.

8.在矩形ABC。中，AB=1,BC=巾,附_L平面ABC。，用=1,则PC与平面ABC。所成

的角是.

答案30。

解析由题意知/PCA为PC与平面ABC。所成的角.

BA1S

在RtZ\R4C中，tanNPCA3，

：.ZPCA=30°.

9.如图所示，四边形ABC。是正方形，DE_L平面ABC。，DE=DA=2.

⑴求证：AC_L平面BOE；

⑵求AE与平面BDE所成角的大小.

⑴证明：四边形ABC。是正方形，.•.AC_L8D

：£>E_L平面ABC。，ACU平面ABCD,：.ACLDE,

,：BD,OEU平面8£>E,BDCDE=D,

；.AC_L平面BDE.

(2)解设ACABO=O,连接EO,如图所示.

：ACJ_平面BDE,，EO是直线AE在平面BDE上的射影,

ZAEO即为AE与平面所成的角.

在RtZ\E4O中，EA=、A»+D庶=2巾,AO=也

AO1

•♦在RtzXEOA中，sinNAEO="人=/，

AZA£O=30°,即AE与平面3DE所成的角为30。.

10.如图，在正方体A8CD-AiBiGA中，E”与异面直线AC,AQ都垂直.求证：EF//BD\.

证明如图所示，连接AS,B1D1,BiC,BD,

平面ABC。，ACU平面ABC£>,

ADDilAC.

又ACLBD,DD\C\BD=D,DD],BOU平面BQCiBi,

；.ACJ_平面BDDB,

又U平面BDDB,

：.ACYBD\.

同理可证BDi±BiC,

又ACCBC=C,AC,81CU平面ABC,

平面ABiC.

'JEFYAxD,A\D//BiC,：.EF^B\C.

XVEFlAC,ACnBiC=C,AC,8CU平面ABC,

，EF_L平面ABC,：.EF//BD\.

综合运用

11.如图，在正方形ABC。中，E,F分别是BC,8的中点，G是EF的中点，现在沿AE,

A尸及E尸把这个正方形折成一个空间图形，使B,C,。三点重合，重合后的点记为，，那

么，在这个空间图形中必有（）

A.AG_LZ\EFH所在平面

B.所在平面

C._LZ\4EF所在平面

D."GLZXAEF所在平面

答案B

解析根据折叠前、后AH1.HE,尸不变，可推出AH,平面

12.在四面体P-ABC中，若B4=P8=PC,则点P在平面ABC内的射影一定是aABC的（）

A.外心B.内心

C.垂心D.重心

答案A

解析如图，设点P在平面ABC内的射影为点。，连接0P,则尸。上平面ABC,

连接04,OB,0C,

：.P0±0A,POLOB,P0L0C,

又PA=PB=PC,

，RtZ\P0gRtZ\P0B彩RtZ\P0C,

则0A=0B=0C,

；.0为△ABC的外心.

13.如图所示，在正三棱柱ABC-ABiG中，若AB：B5=/：1,则与平面BBiGC所

成角的大小为()

A.45°B.60°C.30°D.75°

答案A

解析如图，取8c的中点。，连接AD,BiD,

：AZ)_L8C且AZ)_L8Bi,BCCBB尸B,BC,881U平面8CGB,

.\AOJ_平面BCCB,

.../ABi。即为AS与平面BB1GC所成的角.

设AB=也，则A4i=l,AO=乎，ABi=木,

:.sin/ABiD=^=坐,ZAB]D=45°.

ADIL

即ABi与平面BBCiC所成的角为45。.

14.如图，在直三棱柱ABC-481G中，BC=CG，当底面45Ci满足条件时，有

ABiLBG.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

答案/4GBi=90。

解析如图所示，连接8C,由8C=CG,可得BGL