2023版新教材高中数学单元素养测评卷一空间向量与立体几何新人教A版选择性必修第一册

单元素养测评卷(一)空间向量与立体几何

时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若直线/的方向向量为a=(l,0,2),平面a的法向量为A=(—2,1,1),则()

A.1//aB.aC.Jua或/〃aD./与a斜交

2.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于130。，则直线/与平面a所

成的角等于()

A.130°B.60°C.40°D.50°

3]]

3.A,B,C三点不共线，对空间内任意一点。，若鬲彳应+«应龙，则尸，A,B,C

4oo

四点()

A.肯定不共面B.肯定共面C.不肯定共面D.无法推断是否共面

4.已知4(2,0,0),B(Q,2,0),C(0,0,2),则平面A6C的一个单位法向量是()

A.(1,1,1)B.(平,坐,当)C.(|.*,f)D.吟,—乎,f)

5.在四棱锥户-26切中，荔=(4,-2,3),茄=(一4,1,0),办=(-6,2,-8),

则这个四棱锥的高人等于()

A.1B.2C.13D.26

6.已知向量H=(4,—2,6),b=(—2,1,x),则使a〃6成立的x分别为()

510510

A.-,-3B.—,—3C.3D.—,3

7.

如图所示，反尸分别是四周体力回的棱OA,比的中点，〃是线段环的一个四等分点(靠

近£点)，设如=a,OB=b,OC=c,则勿=()

111111

B+6十

-一--a--

A.633363

311111

---D-a+-6十-

C.888636

8.在矩形2阅9中，AB=1,BC=y^,/^_L平面2颇，PA=\,则尸。与平面所成

的角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于点尸(1,-1,2),下列说法正确的是()

A.点户关于平面的对称点a的坐标为(1,-1,-2)

B.点户关于x轴的对称点8的坐标为(-1,-1,2)

C.点户关于在z平面的对称点只的坐标为(-1,-1,2)

D.点户关于y轴的对称点月的坐标为(-1,-1,-2)

10.下列关于空间向量的命题中，正确的有()

A.若非零向量a,b,c满足a_LZ),bLc,则有a〃c

B.若向量a,6与空间任意向量都不能构成基底，则2〃6

C.空间向量a=(—2,-1,1),6=(3,4,5)夹角的余弦值为一个

o

3

D.已知a=(—l,1,2),b=(0,2,3),若如+6与2a垂直，则

11.已知匕，股分别为直线工，心的方向向量(Z,心不重合)，A,2分别为平面a,

£的法向量(a,£不重合)，则下列说法正确的是()

A.v\HB.vi±R2<=^-/I±12C.m=a工BD_Ai_l_A2=a_L£

12.如图，已知正方体/6切-46K4的棱长为2,E,F,G分别为A。，AB,6K的中

点，以下说法正确的是()

A.三棱锥〃心的体积为1

B.4aL平面EFG

C.过点£,F,G作正方体的截面，所得截面的面积是

、回

D.平面反节与平面48切夹角的余弦值为七

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.空间中任意四个点4B,C,D,则成+应一而+2崩=.

14.已知直线/过定点4(3,2,1),且A=(1,0,1)为其一个方向向量，则点户(3,3,

2)到直线1的距离为.

15.已知向量。=(一2,1,1),点/(一3,-1,4),6(—2,-2,2).在直线46上，

存在一点£,使得班a,则点£的坐标为.

16.在棱长为1的正方体46切-/B'CD'中，已知点户是正方形A4'D'，内部(不

含边界)的一个动点，若直线/户与平面B'6所成角的正弦值和异面直线4户与园'所

成角的余弦值相等，则线段如长度的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)已知：d=(x,4,1),6=(—2,y,—1),c=(3,—2,z),a//b,

b_Lc,求：

(1)a,b,c；

(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥丘265中，底面力6切是边长为2的正方

形，侧棱/〃的长为3,且/〃和皿的夹角都是60°,“是。/的中点，设且=茄，6=花,

c—AM,试以a,b,c为基向量表示出向量眺并求新的长.

M

19.（本小题满分12分）在如图所示的平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）/6切-

4AG"中，26=/。=附1=1,ZBAD^ZBAAi=ZDAAi=60°.

⑴证明：/6U平面4破

⑵若。是阳的中点，求力。长.

20.（本小题满分12分）如图，已知正方形/题的边长为1,4小平面被力，且如=1,

M,E,6分别为AGAB,6。的中点.

p

(1)求证："〃平面用"

⑵求直线4C到平面PEF的距离.

21.(本小题满分12分)如图，在正三棱柱A6C-4AG中，A8=44=2,0为比7的中

点.

⑴求证：平面/密，平面6S&

(2)求直线CG与平面题W所成角的正弦值.

22.(本小题满分12分)已知在长方形力63中，"=2/6=2/，点£是胆的中点，沿

庞折起平面/阳使平面/施文平面区期

⑴求证：在四棱锥力-BCDE中,ABLAC-,

(2)在线段4c上是否存在点“使二面角力-BE-6的余弦值为邛若存在，找出

1,J

点尸的位置；若不存在，请说明理由.

单元素养测评卷(一)

1.答案：C

解析：•.，a=(l,0,2),n—(—2,1,1),

'.a,72=0,即a_l_/2,/〃。或Jua.故选C.

2.答案：C

解析：由于直线)的方向向量与平面。的法向量的夹角等于130。，

所以它们所在直线的夹角为50°,

则直线，与平面。所成的角等于90°-50°=40°.故选C.

3.答案：B

―3—]—]—

解析：由于牝=彳勿+[神

4OO

则~OP~OA=—J应+!而+《龙，

4oo

即~OP-应=!VoB-~OA)(oc-OA),

oo

即其(初+标

由空间向量共面定理可知，崩，AB，龙共面，则一，A,B,C四点肯定共面.故选B.

4.答案：B

解析：由于2(2,0,0),6(0,2,0),C(0,0,2),

所以崩=(-2,2,0),而=(-2,0,2).

令平面4%的一个法向量为z?=(x,y,z),

n,AB=0[―2^+2y=0

可得＜，即｛,,令x=l,则y=z=l,所以〃=(1,1,1),

[入E―2X+2Z=0

故平面/及7的单位法向量是土即(坐，*'，*或(一乎，一坐，一坐),故选

B.

5.答案：B

解析：设平面力8切的法向量为A=(x,y,z),

n•逾=Q,4x—2y+3z=0,

则,.即

—4x+y=0.

、n,A£)=0,

不妨令x=3,则尸12,z=4,

可得〃=(3,12,4),

四棱锥的高A=|jf，,/?l=1|=2.

I川13

6.答案：A

5

解析：当日_16时，a•6=4X(—2)—2Xl+6x=-10+6x=0,解得才=可；

o

x—21

当a〃6时，则有£=一7=-解得x=-3.故选A.

64—2

7.答案：C

解析：如图所示，连接第

O

ob=应+逾=义应+；赤=/应+；(苏一ok)

311

+6十

=3涝+；由0+应)一白涝］=^OA+^dB+^dc=8-a8-

Z4ZZooo

8.答案：A8-

解析：以点力为坐标原点，AD,46,2户所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间

直角坐标系，

则户(0,0,1),。他,1,0),1=(隹，1,-1),

平面力及/的一个法向量为〃=(0,0,1),

—►FL•ni

所以cos〈PC,ri)=-----------

\PC\\n\2

又由于■n)e[0,JI],所以Be,n)=120。，

所以斜线/T与平面A6切的法向量所在的直线所成的角为60°,

所以斜线AC与平面265所成的角为30°.

9.答案：ACD

解析：求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，

如点(x,y,z)关于y轴的对称点为(一筋y,一z),关于平面。yz的对称点是(一x,y,z),

点(x,y,z)关于x轴的对称点为(x,—y,—z),关于平面。ry的对称点是(x,y,—z),

故A选项点户关于平面的对称点4的坐标为(1,-1,-2),故A正确；B选项点

P关于x轴的对称点总的坐标为(1,1,-2),故B错误；

C选项点户关于2yz平面的对称点R的坐标为(一1,-1,2),故C正确；

D选项点户关于y轴的对称点月的坐标为(-1,-1,-2),故D正确.故选ACD.

10.答案：BCD

解析：对于A,若非零向量a,b,c满足a_L6,bLe,则a与c的位置关系不确定，也

有可能平行，故A错误；

对于B,若向量a,6与空间任意向量都不能构成基底，则只能两个向量是共线向量，

故a〃b,故B正确；

对于C,由于a=(—2,—1,1),6=(3,4,5),所以㈤=7(-2)，+(—1)、+12

二/,|引=将针不亭=5/，a•b=-2X3—lX4+lX5=-5,设a与8的夹角为9,

则c°s"=孝勺=6焉=一乎'故C正确；

对于D：由于3=(—1,1,2),b=(0,2,3),所以而+6=瓜一1,1,2)+(0,2,

3)=(一4，k+2,2A+3),2a—6=2(—1,1,2)-(0,2,3)=(—2,0,1),由于ka+b

与2a—6垂直，所以(Aa+Z?)•(2a—6)=0,即一4X(—2)+0X(A+2)+1X(2A+3)=0,

3

解得k=故D正确.故选BCD.

11.答案：BD

解析：由于。1,切分别为直线11,，2的方向向量(Z,4不重合)，

则Vi//切=，〃故选项A错误；

则％_L皈=/I_L，2,故选项B正确；

由于〃1,刀2分别为平面a,£的法向量(。，£不重合)，

则4〃£,故选项C错误；

则m_L〃2<=>q_L£,故选项D正确.故选BD.

12.答案：ABC

113

9

解析：对于A,Vc-EFG=--S^ECFCG=-X-X2=1,故A正确；

o。乙

对于B,以加为x轴，如为了轴，加为z轴，建立空间直角坐标系，C(0,2,0),4⑵

0,2),£(1,0,0),尸(2,1,0),6(1,2,2),

ACAC

贝心1c=(—2,2,-2),>=(1,1,0),丘=(0,2,2),i•>=0,1•EG=0,

则4cL平面加5,B正确；

对于C,作G”的中点从做的中点必窈的中点7,连接如GM,FM,TN,ET,则正

六边形的侬7为对应截面面积，正六边形边长为镜，则截面面积为5=6X^X(^2)2=

3(,故C正确;

对于D,平面力及力的一个法向量为。=(0,0,1),

平面陟的一个法向量为A，=(—2,2,-2),设两个平面夹角为9,

In•A。

cos，=|"|天而』3=坐，故D错误.故选ABC.

2小3

13.答案：AD

解析：或+应一为+2诙=赤+应+2茄=成一筋+2诙=万+2砺=花.

14.答案：*

解析：设@=苏=(0,1,1),?=讶=(¥，0，坐)，则a・u=坐,

则点P到直线1的距离d=q>«♦〃)2=\2—(曰)2=乎.

62

15.答案:5)一百5

解析：设范'=△诵，由于4(-3,-1,4),夙一2,-2,2),所以罚=(1,-1,-2),

AE—(9—4,—2几)，A0=(3,1,—4),0E=AE-A0=(—3,一4一1,—2几+4),

一9

由于应LLa,所以一2(4—3)+(一4一1)+(—2几+4)=0,解得X=三，又/(—3,一

5

L4),AE=(A,—A,—24),所以点£的坐标为(一段，一”，刍.

555

16.答案：*

解析：如图，以，为坐标原点，DA,DC,DD'所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，

设尸(X,0,Z),0<^<1,0<^<1,由2(1,0,0),C(0,1,1),〃(0,0,0),

AP=(x-l,0,z),DC=(0,1,1),而=(1,0,0),

设直线/户与平面A4'96所成角为。和异面直线4〃与〃。/所成角为。，

□cosQ——COS〈AP,DC')=-r-/2、2,

yj2-y]z+(x—1)

sin0=|cos〈"，DA)|=/~一方,0<T<1,

yjz+(jr-1)2

由sin9=cosa,可得2=镜(1—x),

则|DP\=ylx+z=yfx+2(1—^)2

=M(x—|)」|,

当x=|时，线段如长度的最小值为算.

JO

x4]

17.解析：(1”・•刘〃6,—o=~=-7，解得万=2,尸一4,

一乙y—1

故a=(2,4,1),6=(—2,—4,—1).

又由于力_Lc,所以6・。=0,即-6+8—z=0,解得z=2,

故c=(3,-2,2).

(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,—6,1),

设向量a+c与人+。所成的角为。，।a+°i=q丽，16+°|=q酝，

(a+c)•(6+c)=5—12+3=-4,

.一42

贝Ucose―—I—I———...

738•枷1n9

18.解析：BN=BC+CN=AD+^CM

=AD+^(AM~Ad)

=AD+^[AM-（AD+A3）]

=--^AB+^AD+^AM.

11

所以厮L-|a

2-2-

111

-+--

|丽2=丽;22+-2

=]（/+方2+c~2a•b~2a•c+2b•c）

_17

=~,

所以|丽=华，即m的长为华.

乙乙

>>--------9»

19.解析：（1）证明：连接物和4氏由于ACi=77+诙+4Ai,筋=诙一诵，BA】="AI

-AB,

••.AG.防=（茄+花+/4）•（而-赢）=0,

:.ACILBD,

同理AG.BAi=o,AGLAIB,

旦断Ai8=B,

所以AG_L平面A.BD.

⑵严11=（诵+通+"1）2=赤+就+4A/+2罚.法+2罚"A/2法.4A]

=1+H-1+3X2X1X1XCOS60°=6.

1AC11=V6.

.•.I初斗瓯=坐

20.解析：⑴证明：取物的中点“连接就和刨则JW0C且妙=法，

又底面力及力为正方形，：.MN//AESLMN=AE=^AB,

.••四边形觎密为平行四边形，C.AN//ME,

又如t平面PAD,侬平面PAD,

.•.超〃平面PAD.

⑵建立以，为坐标原点，DA,DC,而分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系,

如图所示.

则?(0,0,1),4(1,0,0),<7(0,1,0),£(1,0),吊1,0),所以砺=(一

1一1一1〃•赤=0

W，0),PE=(1,—1),DE=(1,0),设平面aF的法向量为n=(x,y,z),贝!J,,

[n・PE=0

f1,1

-pr+l尸0

即I1，

x+~y—z=0

令x=2,则p=2,z=3,所以〃二⑵2,3),

由于反尸分别为28,6。的中点，所以用〃ZC

又ZR平面即：⑸七平面阳；所以平面屋F；

由于港=(0,0),所以点/到平面郎的距离d=芈[=*=本.

2In\71717

A/17

所以直线〃'到平面曲的距离为号.

21.解析：(1)证明：由于三棱柱Z6C-46K为正三棱柱，所以△46C为正三角形，

由于0为%的中点，所以

由于阳_L平面46C平面A6G所以烟_L/0,

由于BBCBC=B,BBC平'面BCG&,平面比Qfi,

所以第，平面BCCB,

又由于/上平面AQG,所以平面NG_L平面BCCB.

(2)设AC,4G的中点分别为。，a,由三棱柱A8C-4BG为正三棱柱可知，

OBLOC,OBLOa,OO.LOC,以｛/,OC,。。｝为基底建立空间直角坐标系⑦xyz.

由于"6=/4=2,所以J(0,-1,0),8($,0,0),<7(0,1,0),为邪,0,2),

G(0,1,2),

由于。为比1的中点，所以。(坐1,0),

所以存(乎，0),AC1=(O,2,2),CC1=(O,0,2),

设n=(x,y,z)为平面AQG的法向量，

In•AQ=0,