2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-5. 2 . 2 同角三角函数的基本关系

2023人教版新教材高中数学必修第一册

5.2.2同角三角函数的基本关系

基础过关练

题组一已知一个三角函数值求其余两个值

1.（2020福建南平期末）已知a为第二象限角，且sina=|,则tana=（

3434

A.-B.--C.--D.-

4343

2.已知角a的终边在第三象限，且tana=2,则sina-cosa=（）

A.-1B.1C.-yD.y

3.已知角A为AABC的内角，cosA-g,贝ljsinA=.

题组二正、余弦齐次式的求值问题

1

a-zcoscr

4.（2021黑龙江哈尔滨六中月考）已知tan--则的值为（

sina+cosa

-

43

A.~3B.--C--3D.-

44

甘3sina+5cosa

5.（2020辽宁葫芦岛期末）则tana的值为（

sin«-2cosa

「2323

AC，16D.--

-116

1

6.已知tan0=2,则的值为（

sin20-cos20

A.-Bc-D.2

4JL3

4sina—2cosa

7.（2022四川乐山期末）已知=1.

5cosa+3sina

⑴求tana的值;

(2)求sinacosa-cos?a+1的值.

题组三利用sina±cosa与sinacosa之间的关系求值

8.（2022北京五中通州校区月考）已知sina-cosa则sinacosa=（）

7777

A.--B,--C,—D.-

918189

9.（多选）（2022河北邯郸大名一中月考）已知。£（0,口），sin。+cos。=|,则下

列结论正确的是（）

2

A.。4”)B.cos9=--

7

C.tan9=--D.sin0-cos0=-

4

10.（2022浙江桐庐中学月考）已知sinacosa冗＜a，求

34

cosa-sma.

题组四利用同角三角函数的基本关系化简或证明

11.已知sina=高,则sir?a-cos4a的值为（）

131

A-艮-C

5-5-5-

12.（2020山西长治二中期末）已知sina+cosa=应，则tana+吧的值为

12

2-D.

3IT1

A.tan?B.—C.1D.-1

5tan手

14.化简sin2a+cos4a+sin2acos2a的结果是（

11

AyB.-C.lD1

fl—、-r2sinxcos%-ltanx-1

15•求证：嬴2x『工

tanx+1

16.(2022湖南师大附中月考)已知f(a)=警空+产吧，其中a是第三象限

'l+coscr71-cosa

角.

⑴化简f(a);

⑵若f(a)=4,求sina,cosa的值.

能力提升练

题组一利用同角三角函数的基本关系求值

1.（2022江西赣州期中）已知tan0=2,则（sin9-3cos。产1的值为（

44

A-B-

-55

11

c--

5-D.5

5

贝r

-ns•n0cos

2.已知0是第三象限角，且sinf+cosf-9-u10的值为（）

.V2

A.—Bn.—V2

33

c;1Dn.Y1

3.已知0<a<2,ln(l+cosa)=s,In―--=t，则In(sina)-()

21-coscr

A.s-tB.s+t

11

c.-(s-t)D.-(s+t)

4.(多选)已知0£(0,Ji),且满足sin0,cos0=-||,sin9|>cos0|,则

下列说法正确的是()

A.9B.tan。=-^

C.cos9=-2D.sin。+cos。=-1

5.(2022湖北石首第一中学月考)已知sincos，且x£律，2。则

m+5m+5\2/

tanx=.

6.(2022安徽淮北一中月考)设sin9,cos。是4x?+2ax+a=0的两根，则a的值

为.

7.(2021江苏淮安六校联考)(1)若sina=2cosa,求史坦吧+cos2a的值；

sma—cosa

、

(2)已知sina+cosa=—7•,a£(0,“)，求sina-cosa的值.

题组二利用同角三角函数的基本关系化简或证明

8.（2020河南商丘一中期末）关于x的方程2x2+（V^+l）x+m=0的两个根为sin。

和cos。，则5二

11—tang

tan。

9.（2020辽宁省实验中学期中）求证：

（］）H-2sinxcosxH-tanx

cos2x-sin2x1-tanx'

-5

/c\sma小・,sin°a

（2）—5--2sma+cos2asina=——.

coszacosza

答案全解全析

基础过关练

1.C由sina=|,可得cosa=+1,

又a为第二象限角，所以cosa=-1.

所以tana=2吧二一3故选。

cosa4

2.C由角a的终边在第三象限，可知sina<0,cosa<0,由题设知

rsina_

■cosa，角牟得cosa,sina所以sina-cos

<sin2a+cos2a=1,3''

a=-^+f=-f,故选C.

3.答案|

解析因为角A为AABC的内角，所以Ae(0,n),因为cosA=-1,所以sin

A=Vl-cos2A=|.

4.A因为tana冶所以婚^^二号二一工故选A.

3

n-i>i_3sina+5cosa3tana+51rrr>i,23上心、加「

5.D因为一------=-——所以tana.故选D.

sina-2cosatana—2516

1sin20+cos20tan20+122+l5

6.C由题意可得故选c.

sin20-cos20sin20-cos20tan20-122-l3*

7.解析(1)由题可知4sina-2cosa=5cosa+3sina,

整理得sina-7cosa,即tana=7.

⑵原式=sinacosa-cos2a+(sin2a+cos2a

sinacosa+sin2a

=sm•acosa+sm•2a=-----------------

sin2a+cos2a

tana+tan2a_28

tan2a+l25

4./.\216

8.B*/sina-cosa・・(sina-cosa)=一

39

即l-2sinacosa谭.・.sinacos&=磊故选B.

9.ABD因为sin9+cos0」①，

所以(sin9+cos0)2=l+2sin0cos0=^~,

贝！J2sin0cos9=~||,

因为0£(0,n),所以sin0>0,cos0〈0,

所以。故A正确；

(sin9-cos0尸=1-2sin9cos9=—,

25

所以sin9-COS。=[②，故D正确；

联立①②,可解得sin9=1,cos。=-*故B正确；

tan。=岑=-方故C错误.

cosG3

故选ABD.

10.解析因为“<a<早，

4

所以cosQ<sinQ,即cosa-sina<0,

因为sinacosa=-,

所以(cosa-sina)2=l-2cosasina21

所以cosa-sina=-当

11.BVsina=£

5

•2-t•2114

..cosa=i-sma=1-=-

55

.'.sin4a-cos4a=(/sin2a+cos2a\)(/si2na一cos2a\)14.3

555

12.DVsina+cosa=y/2,

(sina+cosa)2=2,/.sinacosa=|,

cosa1

.•.t,ana,c+o-sa--s=in-a--,+---=------=2o.

sinacosasinasinacosa

(,3n'

cos(-n2n+—COS

13.D原式二

cos2^cos

14.C原式=sin2a+cos2a(cos2a+sin2a)=sin2a+cos2a=1.

15.证明证法一:

2sinxcosx-(sin2x+cos2x)

左边二

cos2x-sin2x

-(sin2x-2sinxcosx+cos2x)

cos2x-sin2x

2

(sinx-cosx)

sin2x-cos2x

(sinx-cosx)2

(sinx-cosx)(sinx+cosx)

sinx-cosxtan%-l»4

—--=;~77=右边,

sinx+cosxtanx+1

•二原等式成立.

sinx

证法二：,/右边二蔡一二sin""尢

2m±+1sinx+cosx

cos%

4、上l-2sinxcosx(sinx-cosx)2

左边二—sinz-x-c-os^zx=—sinz-x---co-s二zx

(sinx-cosx)2

(sinx-cosx)(sinx+cosx)

sinx-cosx

sinx+cosx,

••・左边=右边,故原等式成立.

16.解析（1）Ya是第三象限角,

.\sina<0,cosa〈0,又一cosa>0,1+cosa>0,

1-cosa^1+cosa(1-cosa)2^(1+cosa)21-cosa,1+cosa2

•0.f(a)=------+-------:

1+cosa1-cosal-cos2al-cos2aIsina||sina|sina

/.f(a).

sina

⑵f(a)=-3=4,

sina

.•.sina吗贝"cosa=-VF^=-f.

能力提升练

1.A,?tane=2,

(sin9-3cos6)*2-3l=sin29-6sin9cos9+9cos29-1

=8cos29-6sin。cos。

_8cos20-6sin0cos0

sin20+cos20

_8_6tan0

tan20+l

_8-6x2__4

22+l5,

故选A.

2.A由sir?0+cos4。=|,得

(sin29+cos29)2-2sin29cos29=-,sin29cos29=-.

99

•二。是第三象限角，

sin9cos9>0,/.sin9cos9=—.

3

3.C依题意得s-t=ln(l+cosa)+ln(l-cosa)

=ln(l-cos2a)=ln(sin'a),

V0<a<-,Asina>0,

2

s-t=21n(sina),BPIn(sina)=j(s-t),故选C.

4.ABD因为0£(0,"),且满足sin0•cos。

所以sin9>0,cos。〈0,所以。£,TT),所以A正确；

因为sin29+cos2。-1,所以sin2。+cos2。+2sin。cos。=

1--=—,sin20+cos29-2sin9cos9=1+—=—,

25252525

所以(sin9+cos9)2=—,(sin9-cos0)2=—,

因为Isin0|>|cos9|,sin9>0,cos9<0,

所以sin9+cos。三①，sin9-cos。=(②，所以D正确；

联立①②，解得sin94cos。=-：，所以tan。=当=-；，所以B正确，C错误.

55cos63

故选ABD.

5.答案

4

解析2TT^,sinx<0,cosx>0.由sin2x+cos2x=l,可得

(m+l)+(m+s)解得m=0或m=8.当m=0时,sinx=-|,cosx=/符合题意，此时

tanx=--;当m=8时，sinx=—,cosx=--,不符合题意.综上,tanx=--.

413134

6.答案1-V5

p=4a2—16a>0,

解析依题意可得卜nJ+cos。=*,

(sin。•cosO=%

由4a-16a^0得aWO或a24.

2

由sin0+cos0和sin0•cos0=?得1+2X^=^-,即a?-2a-4=0,

解得a=l-遮或a=l+V5.

因为0<l+V5<4,

所以a=l+V^应舍去，所以a=l-V5.

故答案为1-V5.

7.解析⑴由sina=2cosa,得tana=2,

tana+1,12+1,116

所rr以i\i-si-n-a-+-c-o-sa+,cos2