2020年高中数学必修第一册：函数的表示法 教学设计（北师大版）

第二章函数

第2.2节函数的表示法教学设计

教材分析

函数的表示法是“函数及其表示''这一节的主要内容之一.

学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同

表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.

教学目标与核心素养

教学目标：

(1)明确函数的三种表示方法；

(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；a

(3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.

二.核心素养

1.数学抽象：函数的表示方法的理解

2.逻辑推理：通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通

过画图像，培养学生的动手操作能力；

3.数学运算：会函数图像，根据图像分析函数的定义域，值域

4.直观想象：通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源

于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。

5.数学建模:通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，

能够解决生活中的实际问题.

教学重难点

教学重点

函数的三种表示方法，分段函数的概念

教学难点

根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像

课前准备

PPT

教学过程

1.函数的表示方法

(1)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简

称解析式。

如初中：学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式，都是解析法.

(2)列表法列表法直接通过表格读数,不必通过计算就表示出了两个变量之间的对应值，非常直观.

但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若自变量有无

限多个数，则只能给出局部的对应关系.

(3)图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随

时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。(见课本P53页图2-2我国人口出生

变化曲线)比如心电图：

但不是所有函数都可以用图像表示：如狄利克雷函数：

/1,%为有理数

/(%)=(0,X为无理数

2.函数表示的三种方法对比:

函数表示方法优点缺点

1、简明、全面地概括了变量间的关系；

解析法2、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函不够直观形象

数值。

不需要计算就可以直接看出只适用于自变量数目

列表法与自变量相对应的函数值少的函数

图像法直观形象反映变化趋势不精确

所以：为了清楚地表示一个函数关系，需要有针对性地选择适当的表示方法，有时需要多种方

法综合运用.在实际问题中，还常常需要把函数的某种表示方法转化为另一种表示方法.

例3画出函数f(x)=|x|的图象.

解:由绝对值的意义，可知

其图象为第一、二象限的角平分线，如图2-6.

例4：画出取整函数产[x」的局部图象.

解依题意知函数y=[xj的定义域为R,值域是Z.

它的局部图象如图：2-7

题型一：1.下列图象中不能表示函数的图象的是（）

2.对于集合4={刈）3区2},B={y|0W）W3},则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到8的函数

的是（）

题型二：求函数解析式的方法:

(1)代入法

例.已知函数/(x)=3x+2,则/(x+1)―3x+5.

【解答】解：I•函数f(x)=3x+2,

将上式中的“x”用“"1”代入

f(x+1)=3(x+1)+2=3x+5.

故答案为：3x+5.

(2)换元法

例：.若f(2x+l)=6x+5,则/G)的解析式是()

A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x+lC.f(x)=3x-1D.f(x)=3x+4

【解答】解：令2r+l=f,・・・xJzL；

x2

：.f(r)=3(r-1)+5=3f+2；

・•./(x)=3x+2.

故选：A

(3)配凑法

例.已知函数/(G2)=犬+4公5,则/(x)的解析式为()

A.f(x)-x2+lB.f(x)=f+l(x>2)

C.f(x)=?D.f(x)=x2(x>2)

【解答】解：f(V^+2)=x+4Vx+5=(Vx+2)2+l;

：.f(x)=x2+l(x>2).

故选：B.

(4)待定系数法

例.已知/(x)是一次函数，且/(尤-1)=3x-5,则/(x)的解析式为()

A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-3

【解答】解：设/(x)=kx+b,(原0)

'.f(x-1)—k(x-1)+b—3x-5,即fcv-k+b—3x-5.

比较得:k=3,b=-2,

：.f(x)=3x-2,

故选：B.

(5)方程组法

例1：若函数/(x)对于任意实数x恒有/(龙)(-X)=3x-1,则/(x)等于()

A.x+\B.x-1C.2x+lD.3x+3

【解答】解：函数/(X)对于任意实数X恒有/(x)-2/(-X)=3x-1,

令x=-x,则：/(-x)-2f(x)=3(-x)-1.

则.ff(x)-2f(-x)=3x-l

1f(-x)-2f(x)=3(-x)-l

解方程组得：/(x)=x+l.

故选：A.

例2.已知函数“x)满足f(x)-2f(L)=2x-l,x40,则/(x)的解析式为—

X

【解答】解：在/(x)-2f(A)=2x7①中令X=工，

XX

得/(JL)-2/(x)=2-1②，

XX

由①②联立消去/(I)得f(x)=-2丫-A+i,

x33x

故答案为：/(x)=-4--1-+1.

33x

题型三：函数图像表示

例.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正

确的是()

A.连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天

B.这15天日平均温度的极差为15℃

C.由折线图能预测16日温度要低于19℃

D.由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数

【解答】解：A选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7,8,9HII

的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；

8选项，这15天日平均