北京市房山区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

第m．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．13．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≤3，且k≠0．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴b2﹣4ac=36﹣4×k×3=36﹣12k≥0，且k≠0解得：k≤3，且k≠0，则k的取值范围是k≤3，且k≠0，故答案为：k≤3，且k≠0．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，得出b2﹣4ac的符号与x14．若把函数y=x2+6x+5化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m=﹣1．【考点】二次函数的三种形式．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，比较系数，可知m、k的值，再代入k﹣m，计算即可求解．【解答】解：y=x2+6x+5=（x2+6x+9）﹣9+5=（x+3）2﹣4，所以，m=﹣3，k=﹣4，所以，k﹣m=﹣4﹣（﹣3）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（﹣1，m），B（2，m）．写出一组满足条件的a、b的值：a=1，b=﹣1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，m），B（2，m）两点，把经过A（﹣1，m），B（2，m）两点代入解析式得到：a﹣b+c=m，4a+2b+c=m，所以a=﹣b，可以选定满足条件的a，b【解答】解：把A（﹣1，m），B（2，m）两点代入y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=m，4a+2b+c=m所以b=﹣a，由此可设a=1，b=﹣1，故答案为1，﹣1．【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，本题是一个需要熟练掌握的问题．16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为6或2或4．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．【解答】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°﹣30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB===2；如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BC÷cos30°=4．故答案为：6或2或4．【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．三．解答题：（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：2sin60°+（3.14﹣π）0﹣+（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×+1﹣2+2=3﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，求sinA和tanB的值．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先由勾股定理求出另一直角边AC的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，∴AC=6，∴sinA===，tanB==．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边．19．已知：二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向上，并且经过原点O（0，0）．（1）求a的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．【分析】（1）根据二次函数图象开口向上判断出a＞0，再把原点坐标代入函数解析式求解即可；（2）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标即可．【解答】解：（1）∵图象开口向上，∴a＞0，∵函数图象经过原点O（0，0），∴a2﹣1=0，解得a1=1，a2=﹣1（舍去），∴a=1；（2）y=x2﹣3x=x2﹣3x+﹣=（x﹣）2﹣，故抛物线顶点坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数的性质以及三种形式的转化，熟记性质并熟练掌握配方法的操作是解题的关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，则AD即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．∴AD=CD=×4=2．∵CB===2，AC=AD+CD=2+4=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA===．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．21．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣50343…（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当﹣4＜x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为﹣5＜y≤4．【解答】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），设y=a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图，（3）当﹣4＜x≤1时，﹣5＜y≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．22．如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把B的坐标代入y1=﹣x+2求得m的值，得出B（4，﹣2），再代入入y2=即可求得k的值；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵据题意，点B的坐标为（2m，﹣m）且在一次函数y1=﹣x+2的图象上，代入得﹣m=﹣2m∴m=2．∴B点坐标为（4，﹣2），把B（4，﹣2）代入y2=得k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数表达式为y2=﹣；（2）当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．23．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，求【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为2和当m≠0时，△=b2﹣4ac=（m+1）2≥0有实数根，得出无论m（2）根据（1）求出x的根，再根据x为整数，m为整数，求出m的值，从而求出x的值，再根据，x1≠x2，且x为正整数，即可求出m的值．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x﹣2=0∴x=2，方程有实数根；②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）=9m2﹣6m+1﹣8m2=（m+1）2≥0，不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合上所述可知m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣（2）设x1，x2为抛物线y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2与则有x1==1﹣，x2==2∵x为整数，m为整数，∴m=1，﹣1，∴x1=0，2，∵x1≠x2，且x为正整数，∴m=1．【点评】此题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．24．小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500（20≤x≤50）．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的两个问题：（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的表达式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意可以得到w与x的函数关系式；（2）根据题意可以将w关于x的函数关系式化为顶点式，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即这个函数的表达式是w=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，∴当x=35时，w取得最大值，即销售单价为35元时，每月可获得最大利润．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）根据题意，设计方案如图，选用的测量工具：高为1.5m（2）根据正切函数进行设计测量方法，先测得CA的大小，因为四边形ACDE是矩形；可得DE=AC，AE=CD=1.5；根据相正切函数求得BE，即AB=BE+1.5．【解答】解：（1）测量方案示意图如图；选用的测量工具：高为1.5m（2）CA（测角仪离电线杆的距离）=a，DC测角仪的高=1.5m，∠BDE（测角仪测的仰角）=α根据正切函数；可得：tanα=；因为DE=CA=a（m），AE=CD=1.5m即BE=tanα•a（m），则AB=BE+AE=（tanα•a+1.5）m．故电线杆高度为（tanα•a+1.5）米【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3m…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：该函数没有最大值，也没有最小值．【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠1，故答案为x≠1；（2）令x=4，∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y2=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由抛物线的开口向下，可知当当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2；（3）先根据题意画出点M关于y轴对称点M′的轨迹，然后根据点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，列出关于k的不等式组即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=﹣=1．解得：m=1．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．解得：x1=﹣1，x2=3．∵a=﹣1＜0，∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．①当k＜0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0．解得：k≥﹣2．②当k＞0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴k﹣4≤﹣3．解得；k≤1．∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想列出关于k的不等式组是解题的关键．28．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＜DC，∠BCD=60°，∠ADC=45°，CA平分∠BCD，AB=AD=，求四边形ABCD的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】在CD上截取CF=CB，连接AF．过点A作AE⊥CD于点E，过A作AG⊥CB，交CB的延长线于G，根据全等得出S△AGB=S△AED，S△ACG=S△ACE，推出S四边形ABCD=2△ACE，证△ABC≌△AFC，推出AF=AD，求出AE=ED=2，，FE=ED=2．，求出△ACE的面积即可．【解答】解：在CD上截取CF=CB，连接AF．过点A作AE⊥CD于点E，过A作AG⊥CB，交CB的延长线于G，∵CA平分∠BCD，AG⊥BC，AE⊥CD，∴AG=AE，∠G=∠AED=∠AEC=90°，在Rt△AGB和Rt△AED中∴Rt△AGB≌Rt△AED（HL），∴S△AGB=S△AED，同理S△ACG=S△ACE，即S四边形ABCD=S△ABC+S△ACE+S△AED=S△ACE+SS△ACG=2△ACE∵CA平分∠BCD，∠BCD=60°，∴∠BCA=∠FCA=30°，在△ABC和△AFC中∴△ABC≌△AFC，∴AF=AB，∵AB=AD，∴AF=AD，在Rt△ADE中，∠D=45°，，∴sin，∴AE=ED=2，在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴tan，∴，∵AE⊥CD，∴FE=ED=2．，∴S四边形ABCD=2S△ACE=2××CE×AE=2××2×2=4．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，解直角三角形等知识点的应用，关键是推出四边形ABCD的面积等于2个△ACE的面积和求出△ACE的面积．29．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y