七年级数学下册 8.3 实际问题与二元一次方程组（一）（解析版）

七年级下册数学《第八章二元一次方程组》8.3实际问题与二元一次方程组知识点一知识点一列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．（4）列：根据等量关系，列出方程组．（5）解：解方程组，求出未知数的值．（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．知识点二知识点二实际问题中的基本数量关系：◆◆行程问题：路程=速度×时间；◆◆工程问题：①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量；◆◆销售问题：①利润＝售价﹣进价，利润率=利润②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣题型一和、差、倍分问题题型一和、差、倍分问题【例题1】（2022春•南岗区期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货吨．【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论．【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，依题意得：2x+3y=15.55x+6y=35解得：x=4y=2.5∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．故答案为：24.5．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼设未知数时，一般是求什么设什么，并且所列方程的两个数与未知数的个数相等，解这类应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字﹣﹣﹣和、差、倍、分、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少……明确各种反映数量关系的关键字的含义．【变式1-1】（2022春•沭阳县期末）现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（）A．12张 B．14张 C．20张 D．21张【分析】根据“有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元”可得相应的方程组．【解答】解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得：x+y=33100x+20y=1620解得：x=12y=21即面额100的人民币有12张．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•朝阳区校级期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片银杏树叶1年的平均滞尘量比1片国槐树叶1年的平均滞尘量的2倍少4mg，若2片国槐树叶与1片银杏树叶一年的平均滞尘总量为84mg．请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树叶一年的平均滞尘量．【分析】首先，设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克，结合已知条件可列一元一次方程组即可完成解答．【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克，由题意得y=2x−42x+y=84解得x=22y=40答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程是解题关键．【变式1-3】（2021秋•广平县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的1【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：x+y＝55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程23x=4【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意得：x+y=552解得：x=30y=25答：较长铁棒的长度为30cm，较短铁棒的长度为25cm．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．【变式1-4】（2022春•新昌县期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？【分析】根据每位男孩看到蓝色游泳帽是红色游泳帽的2倍，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得游泳池里男孩和女孩各几人，本题得以解决．【解答】解：设游泳池里男孩x人，女孩y人，根据题意得：x−1=2yx−(y−1)=12解得，x=20y=9答：游泳池里男孩20人，女孩9人．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．【变式1-5】（2022•成武县校级开学）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？【分析】设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生，根据“当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生，依题意得：2(x+2y)=5604(x+y)=800解得：x=120y=80答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，1道侧门可通过80名学生．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．题型二配套问题题型二配套问题【例题2】（2022春•和平区校级期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人【分析】设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽刚好配套，根据等量关系：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数＝90；螺栓总数×2＝螺帽总数，列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，根据题意，得：x+y=902×15x=24y解得：x=40y=50即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼生产中的配套问题很多，如螺钉与螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套衣身与衣袖的配套等，各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系以及所需材料的总和表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决.【变式2-1】（2022秋•甘井子区校级期末）某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成这种茶具多少套？【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意得：x+y=62x⋅4=8y解得：x=3y=3则2×3＝6（套）．答：应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-2】（2022春•南关区校级月考）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成．用1m3钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套？【分析】设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套，根据用6m3钢材制作的部件刚好配套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套，根据题意得：x+y=640x解得：x=4y=2答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-3】（2021秋•梁河县期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少个千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，则用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，则用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意得：4×2x＝8（6﹣x），解得x＝3，，则6﹣x＝3（千克），2×3＝6（套）．答：应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套．【点评】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式2-4】一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？【分析】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料＝10；②4×桌面个数＝桌腿个数．据此可列方程组求解．【解答】解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿．由题意得x+y=10解得x=6y=46×50＝300（张）．答：用6m3木料做桌面，4m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300张方桌．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-5】（2021秋•全椒县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）求这个班男生、女生各有多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组解可；（2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）由题意得：x+y=50x=y−2解得：x=24y=26答：这个班有男生有24人，女生有26人；（2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个），女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个），因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1，所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，设男生应向女生支援a人，由题意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，解得：a＝4，答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．题型三数字问题题型三数字问题【例题3】（2022秋•中宁县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是（）A．26 B．62 C．35 D．53【分析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中，即可得出结论．【解答】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得：x+y=810x+y−(10y+x)=18解得：x=5y=3∴10x+y＝10×5+3＝53，∴原两位数为53．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接设未知数的方法，同时要注意两位（或三位）数的表示方法.【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，得到的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（）A．43 B．34 C．25 D．52【分析】设原来的两位数个位上的数是x，十位上的数是y，根据“十位上的数与个位上的数的和是7”，“得到的两位数与原来的两位数的差是9”作为相等关系列方程，解方程即可求解．【解答】解：设原来的两位数个位上的数是x，十位上的数是y，根据题意得，10x+y﹣（10y+x）＝9，解得：x＝4，y＝3，答案为43，故选：A．【点评】主要考查了利用二元一次方程组的模型解决实际问题的能力．本题中要注意用数位上的数字表示两位数的方法：10×十位数字+个位数字＝两位数．【变式3-2】（2022春•淄博期末）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻9：0010：0011：30里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是6是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0则10：00时看到里程碑上的数是（）A．15 B．24 C．42 D．51【分析】设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，根据小明连续三次看到的结果，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再代入（10y+x）中即可．【解答】解：设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，即两位数为为10x+y；则10：00时看到的两位数为x+10y，9：00﹣10：00时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y），11：30时看到的数为100x+y，11：30时﹣10：00时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）；依题意，得：x+y=6100x+y−(10y+x)解得：x=1y=5∴10：00时小明看到的两位数是10y+x＝51．故选：D．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式3-3】（2022秋•嘉峪关校级期末）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（）A．26 B．62 C．71 D．53【分析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可．【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：x+y=810y+x−36=10x+y解得：x=2y=6则这个两位数为6×10+2＝62．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式3-4】（2022春•肇源县期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这个两位数是多少？【分析】设个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．【解答】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得，x+y=710y+x+9=10x+y解得：x=4y=3答：这个两位数是为34．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．【变式3-5】一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．【分析】可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组的解即可．【解答】解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：x+y=810x+y=2(10y+x)+10解得：x=6y=2则原两位数为26．答：原来的两位数为26．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．题型四行程问题---相遇、追击问题题型四行程问题---相遇、追击问题【例题4】（2021秋•平桂区期末）甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，则甲、乙二人的平均速度各是（）A．3千米/时，4千米/时 B．4千米/时，2千米/时 C．2千米/时，4千米/时 D．4千米/时，3千米/时【分析】设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，根据“甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，依题意得：3x−3y=6x+y=6解得：x=4y=2∴甲的平均速度为4千米/小时，乙的平均速度为2千米/小时．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼行程问题中的基本关系式是：路程＝速度×时间.相遇问题常用到的等量关系：甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程.追及问题常用到的等量关系：快者路程－慢者行程=追及的路程.【变式4-1】（2021秋•金台区期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？【分析】设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，根据“如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两人的速度．【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，依题意得：(2+2.5)x+2.5y=363x+(2+3)y=36解得：x=6y=3.6答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式4-2】一列火车从A站开往B站，若火车以90千米/时的速度行驶，能准时到达B站，现火车以80千米/时的速度行驶了2小时后把速度提高到120千米/时，也能准时到达B站，求A、B两站之间的距离．【分析】根据题目中的等量关系列方程组解答，题目中存在的等量关系为：①以90千米/时×时间＝A站到B站的路程；②速度为80千米/时行驶的路程+速度为120千米/时行驶的路程＝A站到B站的路程．【解答】解：设从A站到B站的行驶时间为x，A、B两站之间的距离为y千米，由题意得90x=y80×2+120(x−2)=y解得，x=8答：A、B两站之间的距离为240千米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意找出等量关系是解题的关键．【变式4-3】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走20km，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度．【分析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据如果乙先走20km，那么甲1小时就能追上乙可以列出方程x＝20+y，根据乙先走1小时，甲只用15分钟就能追上乙可以列出方程0.25x＝（1+0.25）y，联立列方程组求解即可．【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，由题意得，x=20+y0.25x=(1+0.25)y解得：x=25y=5答：甲的速度是25千米/时，乙的速度为5千米/时．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个行程问题，主要考查的是追及问题，根据路程＝速度×时间即可列出方程组．【变式4-4】甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【分析】设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据：相向而行时甲的路程+乙的路程＝400，同向而行时甲的路程＝乙的路程，列方程组求解即可．【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：40x+40y=400210x=180y解得：x=60答：甲的速度分别为6013m/s，乙的速度分别为7013m/【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据相向而行路程之和等于两地间距离、同向而行俩人路程相等列方程是关键．【变式4-5】（2022春•新乐市校级月考）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200米，则8路公交车的行驶速度为（）A．100m/分钟． B．200m/分钟 C．300m/分钟 D．400m/分钟【分析】设8路公交车的速度是a米/分，小王沿街匀速行走的速度是b米/分，每隔t分钟发一班车，则两辆车之间的距离为at米，由题意：每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．列出方程组，求出t的值，即可解决问题．【解答】解：设8路公交车的速度是a米/分，小王沿街匀速行走的速度是b米/分，发车间隔的时间为t分钟，则两辆车之间的距离为at米，由题意得：12(a−b)=at4(a+b)=at解得：t＝6，即发车间隔的时间是6分钟，∴8路公交车的行驶速度为1200÷6＝200（m/分钟），故选：B．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．题型五行程问题---航行问题题型五行程问题---航行问题【例题5】（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方程组为（）A．3x−y=603x+y=120 B．3(x+y)=120C．3(x−y)=1203(x+y)=60 D．【分析】根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得3(x+y)=1203(x−y)=60故选：B．【点评】此题是由实际问题抽象出二元一次方程组，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．解题技巧提炼航行问题：顺流速度=静水速度＋水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度.顺风速度=无风速度＋风速；逆风速度=无风速度－风速.往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程【变式5-1】（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为．【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，依题意，得4(x+y)=10004(x−y)=600解得x=200y=50答：风的速度为50里/分钟．故答案为：50里/分钟．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式5-2】（2022春•蓬江区校级月考）已知A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．【分析】根据题意找到等量关系：（飞机的速度+风速）×顺风飞行的时间＝1200km，（飞机的速度﹣风速）×逆风飞行的时间＝1200km，设飞机的速度为xkm/h，风速为ykm/h，根据提示2中的等量关系列出方程组求解即可．【解答】解：设飞机的速度为xkm/h，风的速度为ykm/h．可列方程组21化简得x+y=800x+y=360解得x=420y=60答：飞机的速度为420km/h，风速为60km/h．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．【变式5-3】A市至B市的航线长9750km，一架飞机从A市顺风飞往B市需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机的平均速度与风速？【分析】飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可．【解答】解：设飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，由题意，得12.5x+12.5y=975013x−13y=9750解得x=765y=15答：飞机的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时．【点评】本题考查了二元一次方程组的实际运用，掌握行程问题的顺风速度＝静风速度+风速和逆风速度＝静风速度﹣风速，由此建立方程组是关键．【变式5-4】已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度．【分析】本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此可列方程组求解．【解答】解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y．18(x+y)=36024(x−y)=360解得：x=17.5y=2.5答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度+水流速度＝顺水速度，静水速度﹣水流速度＝逆流速度”这一关系式也必须掌握．【变式5-5】（2021春•安居区月考）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？【分析】设两码头之间的距离为x千米，货轮的速度为y千米/小时，根据逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，列方程组求解．【解答】解：设两码头之间的距离为x千米，货轮的速度为y千米/小时，由题意得，48(y−8)=x32(y+8)=x解得：x=1536y=40答：两码头之间的距离为1536千米．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度+水流速度＝顺水速度，静水速度﹣水流速度＝逆流速度”这一关系式也必须掌握．题型六行程问题---环形跑道问题题型六行程问题---环形跑道问题【例题6】（2021•重庆模拟）某体育场的环形跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次；如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，则列出的方程组是（）A．30(x+y)=40080(y−x)=400 B．30(y−x)=400C．30(x+y)=40080(x−y)=400 D．【分析】此题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400米；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400米．【解答】解：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；②根据同向而行，得方程为80（y﹣x）＝400．那么列方程组30(x+y)=40080(y−x)=400故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼环形跑道问题：同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.【变式6-1】（2021春•昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔32分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔9【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，由题意：如果同时同地出发，反向而行，每隔32分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔9【解答】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，依题意，得：32解得：x=4答：甲每分钟跑49圈，乙每分钟跑2【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式6-2】甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔10min相遇一次，已知甲比乙跑得快，环形跑道每圈400米，甲、乙二人每分钟各跑多少米？【分析】设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔10min相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，依题意，得：2(x+y)=40010(x−y)=400解得：x=120y=80答：甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式6-3】甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程＝环形周长建立方程求出其解即可．【解答】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得2.5x×4−4x=y4x+300=y解得：x=150y=900乙的速度为：150米/分，甲的速度为：2.5×150＝375米/分；答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．【点评】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．【变式6-4】在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．（1）你能求出甲、乙两人的速度吗？（2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？【分析】（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；根据题意列方程组即可得到结论；（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；根据题意得，40(x+y)=400200(x−y)=400解得：x=6y=4答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒；（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意得，20(6−m)=a100(4−m)=a解得：m=3.5a=50答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．【变式6-5】小亮和小莹练习赛跑，如果小亮先让小莹跑3秒，那么小亮跑6秒就能追上小莹；如果小亮让小莹先跑20米，那么小亮跑10秒就追上小莹．（1）两人每秒各跑多少米；（2）在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，第一次相遇时，用是多少秒．【分析】（1）设小莹每秒跑x米，小亮每秒跑y米，根据题意可得，小亮10秒比小莹多跑20米，小莹跑9秒跟小亮跑6秒的路程相等，据此列方程组求解；（2）利用在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，得出两人跑的距离差为400进而得出答案．【解答】解：（1）设小莹每秒跑x米，小亮每秒跑y米，由题意得，10x+20=10y9x=6y解得：x=4y=6答：小莹每秒跑4米，小亮每秒跑6米；（2）设a秒时两人第一次相遇，根据题意可得：6a﹣4a＝400，解得：a＝200．答：200秒时两人第一次相遇．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．题型七工程问题题型七工程问题【例题7】一件工作，甲，乙合作20天后乙再单独做8天才完成，如果甲的效率提高10%，乙的效率提高20%，合作20天就可完成全部工作，则甲独做这件工作多少天可以完成（）A．28天 B．34天 C．48天 D．58天【分析】设总工程为1，甲每天完成总工程的x，乙每天完成总工程的y，根据工作总量＝工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作20天就可完成全部工作”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入1x【解答】解：设总工程为1，甲每天完成总工程的x，乙每天完成总工程的y，依题意得：20x+(20+8)y=120×(1+10%)x+20×(1+20%)y=1解得：x=1∴1x∴甲独做这件工作34天可以完成．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼工程问题：①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量；【变式7-1】（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？【分析】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果．【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，根据题意得，150=30(x+y)150=(30−5)[(1+50%)x+y]解得x=2y=3答：甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km．【变式7-2】某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？【分析】设甲装饰公司平均每天收取的费用为x万元，乙装饰公司平均每天收取的费用为y万元，根据“甲、乙两个公司各做6天，费用9.6万元；甲公司单独做2天，乙公司单独做8天，付费用9.2万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元．根据题意得，6x+6y=9.62x+8y=9.2解得x=0.6y=1答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式7-3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？（2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，单独请哪组，商店所付费用较少？【分析】（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，根据两组合作8天需付3520元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解；（2）求出两组的总费用，然后选择较少的一组．【解答】解：（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，由题意得，8(x+y)=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲单独工作一天需要300元，乙单独工作一天商店需付140元；（2）甲单独完成需付：300×12＝3600（元），乙单独完成需付：140×24＝3360（元）．答：选择乙组商店所付费用较少．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．【变式7-4】（2023•定安县一模）阅读理解：为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．（1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：x+y=()24x+16y=()，乙：x+y=()根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示，y表示；乙：x表示，y表示；（2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【分析】（1）甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可；（2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲．【解答】解：（1）甲：x+y=2024x+16y=360乙：x+y=360x甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量．（2）x+y=20①24x+16y=360②①×16﹣②得：﹣8x＝﹣40，解得：x＝5，把x＝5代入①得：5+y＝20，解得：y＝15，∴方程组的解为：x=5y=15则24x＝120，16y＝240，答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解．【变式7-5】（2022春•杭州月考）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，依题意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，依题意得：8m+8n=16m+12n=1解得：m=1∴甲组单独完成装修所需时间为1÷1乙组单独完成装修所需时间为1÷1施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）；施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）；施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．题型八商品销售问题题型八商品销售问题【例题8】（2022•义乌市模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元【分析】设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设每件商品定价x元，进价y元，根据题意得：x=y+458(0.85x−y)=12×(45−35)解得：x=200y=155即该商品每件进价155元，定价每件200元，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼销售问题基本的数量关系式：①利润＝售价﹣进价，利润率=利润②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣.【变式8-1】（2022秋•西安期末）直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．（1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？（2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？【分析】（1）利用返的现金＝付款金额×13%，即可求出结论；（2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，根据“购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）6000×13%＝780（元）．答：该粉丝可以到线上客服处返780元现金．（2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，根据题意得：x+y=6000x−2y=600解得：x=4200y=1800答：该粉丝所买的空调的单价是4200元，电视的单价是1800元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式8-2】（2022•甘井子区校级模拟）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？【分析】（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，根据“打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省的钱数＝打折前购买所需费用﹣打折后购买所需费用，即可求出结论．【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，依题意，得：6x+3y=60050×0.8x+40×0.75y=5200解得：x=40y=120答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式8-3】（2022秋•和平区期末）（列二元一次方程组求解）水果经营户老李用520元从水果批发市场批发苹果和橙子共50千克，然后到水果市场去卖，已知苹果和橙子当天的批发价和零售价如表所示：品名苹果橙子批发价（元/千克）812零售价（元/千克）1015（1）求老李购进的苹果和橙子各多少千克？（2）如果苹果和橙子全部卖完，请直接写出老李能赚元．【分析】（1）设老李购进苹果x千克，橙子y千克，根据老李用520元从水果批发市场批发苹果和橙子共50千克，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论．【解答】解：（1）设老李购进苹果x千克，橙子y千克，根据题意得：x+y=508x+12y=520解得：x=20y=30答：老李购进苹果20千克，橙子30千克；（2）（10﹣8）×20+（15﹣12）×30＝2×20+3×30＝40+90＝130（元），∴苹果和橙子全部卖完，老李能赚130元．故答案为：130．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式8-4】（2022秋•南山区校级期末）某商场第1次用390000元购进A、B两种商品，销售完后获得利润60000元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）商品价格进价（元/件）售价（元/件）A10001200B12001350（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，B商品按原售价销售，而A商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于18000元，则A种商品是打几折销售的？【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，列出方程组可求解；（2）设A商品打m折销售，由（1）得A、B商品购进的数量，结合（2）中数量的变化，再根据第2次经营活动获得利润等于18000元，得出方程即可．【解答】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据题意得：100x+1200y=390000(1200−1000)x+(1350−1200)y=60000解得：x=150y=200答：商场第1次购进A商品150件，B商品200件；（2）设A商品打m折销售，根据题意得：购进A商品的件数为：150×2＝300（件），则：300×(1200×m解得：m＝8，答：A商品打8折销售．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程．【变式8-5】（2022秋•渠县期末）正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．（1）商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？（2）若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售，在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到利润25.5%的预期目标．【分析】（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合商场用12000元购进某品牌衬衫和短袖共140件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设每件衬衫降价m元，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，依题意得：x+y=140120x+60y=12000解得：x=60y=80答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件．（2）设每件衬衫降价m元，依题意得：180×60×25%+（180﹣m）[60×（1﹣25%）﹣5]+60×（1+20%）×80﹣12000＝12000×25.5%，解得：m＝15．答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．题型九解决分类问题题型九解决分类问题【例题9】（2021春•奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表：购票人数1～50人51～100人100以上票价10元/人8元/人5元/人（1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？（2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多少人？【分析】（1）本题等量关系有：甲班人数×8+乙班人数×10＝920；（甲班人数+乙班人数）×5＝515，据此可列方程组求解；（2）A团队a人，B团队（160﹣a）人，根据收费标准进行分类讨论，并列出方程进行解答．【解答】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人．由题意得：8x+10y=9205(x+y)=515解得：x=55y=48答：甲班55人，乙班48人；（2）设A团队a人，B团队（160﹣a）人，①当1≤a≤50时，由题意得：10a+5（160﹣a）＝950，解得a＝30，则160﹣a＝130．即A团队30人，B团队130人；②当51≤a＜60时，由题意得：8a+5（160﹣a）＝950，解得a＝50，不合题意，舍去．③当60≤a＜100时，由题意得：8a+8（160﹣a）＝950，明显该等式不成立．④当100≤a＜110时，5a+8（160﹣a）＝950．解得a＝110，不合题意，舍去；⑤当a≥110时，5a+10（160﹣a）＝950．解得a＝130，则160﹣a＝30．即A团队130人，B团队30人；综上所述，A团队30人，B团队130人或A团队130人，B团队30人．解题技巧提炼本题运用了分类讨论思想，找到两个基本的等量关系式后，应根据不同范围的重量找