安徽省巢湖市2022-2023学年数学高三上期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．2．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（）A． B． C． D．3．已知，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．4．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．且 B．且 C．且 D．且5．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（）A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减6．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}7．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不修要条件8．抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．9．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．1 B．-1 C．2 D．-211．已知集合,则（）A． B． C． D．12．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，是互相垂直的单位向量，若与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．14．在中，，，，则__________．15．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．16．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，．（1）若，证明：．（2）若，，求的面积．18．（12分）已知分别是的内角的对边，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面积．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．19．（12分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值．20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明:平面（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．2、B【解析】

根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，，，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数的最大值为，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.3、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．【详解】已知，赋值法讨论的情况：（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；（2）当时，令，，则，排除A选项.故选：D.【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．4、B【解析】由且可得，故选B.5、C【解析】

先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.6、C【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C.【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.7、B【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：，，为正数，当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．8、A【解析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.【详解】由题意知，抛物线焦点F1,0，准线与x轴交点F'(-1,0)，双曲线半焦距c=1，设点Q(-1,y)ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥抛物线的准线，从而PF⊥x轴，所以P1,2∴2a=P即a=故双曲线的离心率为e=故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.9、D【解析】

设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.10、B【解析】

根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【详解】∵是定义在R上的奇函数，且；∴；∴；∴的周期为4；∵时，；∴由奇函数性质可得；∴；∴时，；∴.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.11、B【解析】

计算，再计算交集得到答案【详解】,表示偶数，故.故选：.【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.12、B【解析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由，所以其共轭复数.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．14、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【详解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案为：1．【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．15、1【解析】

根据均值的定义计算．【详解】由题意，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查均值的概念，属于基础题．16、【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，所以其概率为.故答案为：【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）由余弦定理及已知等式得出关系，再由正弦定理可得结论；（2）由余弦定理和已知条件解得，然后由面积公式计算．【详解】解：（1）由余弦定理得，由得到，由正弦定理得．因为，，所以．（2）由题意及余弦定理可知，①由得，即，②联立①②解得，．所以．【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．【详解】（Ⅰ）因为，所以，所以，由正弦定理可得，；（Ⅱ）由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，因为，所以；（Ⅲ）由于，．所以．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．19、（1）x2=4y．（2）.【解析】试题解析：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以抛物线C1的方程为x2=4y．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，∴OQ的方程为y=-x根据切线与圆切，得d=r，即，化简得x04=4x02+4p2，由方程组，解得Q（，），所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=点F（0，）到切线PQ的距离是d=，所以S1==，S2=，而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以==+1≥2+1，当且仅当时取“=”号，即x02=4+2，此时，p=．所以的最小值为2+1．考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.20、（1），（2）最大值，最小值【解析】

（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.【详解】（1）因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得：因为直线的极坐标方程为.所以所以即（2）如图所示：圆心C到直线的距离为：所以圆上的点到直线的最小值为：则点M(2，0)到直线的距离为最大值：【点睛】本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量，，最后求得二面角的余弦值为.【详解】解：（1）连结∵，且是的中点，∴∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴又为菱形，且为棱的中点，∴∴.又∵，平面∴平面.（2）由题意有，∵四边形为菱形，且∴分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为由，得，令，得取平面的法向量为∴二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题