【青松雪】中考数学几何模型【模型10】胡不归模型

初中数学（北师大版）中考数学几何模型【模型10】胡不归模型主讲人：王建林【模型介绍】胡不归问题：有一则小故事，说的是从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．从他此刻位置A到家的位置

B之间是一片砂石地，根据“两点之间线段最短”，他义无反顾的选择了走直路，但当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着：胡(何)不归？胡(何)不归？而如果先沿着驿道

AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型介绍】【模型建立】如图，一动点在直线

MN

外的运动速度为V1，在直线

MN

上运动的速度

为

V2，且

V1<V2，定点

A

在直线

MN

上，定点

B

在直线

MN

外，动点C

在直线

MN

上，试确定点

C

的位置使

的值最小．【问题分析】

，记

，即求“BC+kAC”的最小值．【问题解决】构造射线

AD使得sin∠DAC=k，即：

，则CH=kAC，

问题变成求

BC+CH

最小．核心方法：利用三角函数构造和

kAC相等的线段【典型例题】【例1】(1)如图，在△ABC

中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC

于点

E，D

是线段

BE

上的一个动点，则

的最小值是________．(2)如图，平行四边形

ABCD

中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P

为边CD上的一

动点，则

的最小值等于________．(3)如图，在△ABC

中，∠BAC=30°，且AB=AC，P

是底边上的高AH

上一点，若

AP+BP+CP

的最小值为

，则

BC=________．【典型例题】【例2】(1)如图，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，点

D、F

分别是

边

AB、BC上的动点，连接

CD，过点

A

作

AE⊥CD交

BC

于点

E，垂足为G，连

接

GF，则

的最小值是________．(2)如图，在平面直角坐标系中，点

，点

P

为

x

轴上的一个动点，当

2AP+OP

最小时，点

P

的坐标为________．(3)如图，四边形

ABCD

是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点

M

为对角线BD上的

一动点(不含点B)，则2AM+BM

的最小值为________．【典型例题】【例3】如图，已知△ABC

是等边三角形．(1)如图1，AH⊥BC于

H，点

P

从

A

点出发，沿高线

AH

向下移动，以

CP

为边在

CP

的下方作等边△CPQ，连接

BQ，求∠CBQ

的度数；(2)如图2，若点D为△ABC

内任意一点，连接

DA，DB，DC．证明：以

DA，DB，

DC为边一定能组成一个三角形；(3)在(1)的条件下，在

P点的移动过程中，设

x=AP+2PC，点

Q

的运动路径长度

为

y，当

x

取最小值时，写出

x，y

的关系，并说明理由．【典型例题】【例4】如图1，在平面直角坐标系中将

y=2x+1向下平移3个单位长度得到直线

l1，

直线l1

与

x

轴交于点

C，直线

l2:y=x+2与

x

轴、y

轴交于

A、B

两点，且与直线l1

交于点D．(1)填空：点

A

的坐标为

，点

B

的坐标为

；直线

l1

的表达式为

；(2)在直线

l1

上是否存在点

E，使

S△AOE=2S△ABO？若存在，则求出点

E

的坐标；若

不存在，请说明理由．(3)如图2，点

P为线段

AD

上一点(不含端点)，连接

CP，一动点

H从C

出发，

沿线段CP

以每秒1个单位的速度运动到点

P，再沿线段PD

以每秒

个单位的

速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【典型例题】【例5】已如二次函数y=-x2+2x+3的图象和

x

轴交于点

A、B(点

A

在点

B

的左侧)，

与

y

轴交于点

C．(1)如图1，P

是直线

BC

上方抛物线上一动点(不与

B、C

重合)，过P作

PQ//x

轴

交直线BC于Q，求线段PQ

的最大值；(2)如图2，点

G

为线段OC上一动点，求

BG+0.6CG的最小值及此时点

G

的坐标；(3)如图3，在(2)的条件下，M

为直线

BG

上一动点，N

为

x

轴上一动点，连接AM，

MN，求

AM+MN

的最小值．【典型例题】【例6】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c

的图象经过点

A(-1,0)，

B(0,)，C(2,0)，其对称轴与x

轴交于点

D．(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)点

M

为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点

N，使得以

A，B，M，

N

为顶点的四边形为菱形，求点

M

的坐标；(3)若

P

为

y轴上的一个动点，连接PD，求0.5PB